2022年高中数学常见递推数列通项的求法知识点分析新人教A版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 常见递推数列通项的求法欢迎下载就ananan1an1an2a3a2 a2a 1a 123n11 23n21232121 313类型 1、an 1angn型解题思路：利用累差迭加法,将anan1gn1 ,an1an2=gn2 , ,23n13n2321 3n13a2a =g 1 , 各式相加,正负抵消,即得a . 所以an233nn23nn1例 1、在数列 a 中,1a3,an1ann11,求通项公式an. 13n评注：此题解题的关键是把递推关系式an1an23n1转化为an1an23n1,解：原递推式可化为：an1an1n11进而求出

2、anan1 an1an2 a3a2a2a1a1,即得数列an的通项公式；练习：n就a2a111,a3a2111、 已知an满意a 11,an1ann 11求an的通项公式；1223na4a311, ,anan1n1112、 已知an的首项a 11,an1an2n（nN*）求通项公式；34n3、 已知an中,a 13,an1an2n,求an；逐项相加得：ana 111. 故an41. nn类型 2an1fnan型例 2在数列an中,1a0且an1an2n1,求通项a . 解：依题意得,a 10,a2a 1,1a3a 23 ,anan12n112n3,解题思路：利用累乘法 , 将an1fn1,an

3、1 2fn2,a2f1各式相乘得,把以上各式相加,得anana 1an132 n3nn112n3n12an1an2【评注】由递推关系得, 如gan1an1La2fn1fn2Lf1,即得an. 是一常数,即第一种类型, 直接可得是一等差数列； 如anan2a1特别数,而是关于n 的一个解析式,可以确定数列an不是等差数列,将递推式中的n 分别用n,1 n2,43, ,2代入得n1个等式相加,目的是为了能使左边相互抵消得an,而右边往例 4在数列a n中,1a1,an1nn1,求通项a . 往可以转化为一个或几个特别数列的和；an例 3、已知数列an满意an1an23n1,a 13,求数列an的通

4、项公式；解：由条件等式an1nn1得,a na n1an1a2nn1n211,得an1. anan21an12nn解：由an1an23n1【评注】此题亦可构造特别的数列,由ann1nn1得,n1an11,就数列nan是得an1an23n1anan以a为首项,以1 为公比的等比数列,nana1.qn1111得an1. 第 1 页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -n精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 5、设数列 a 是首项为 1 的正项数列,且n1an12na n2a n1a n0（n=1,2,3 ）,a 11211为首项,以2 为公比的等比数列

5、；就它的通项公式是a = （ 2000 年高考 15 题） . an12n1,即通项an2n11解：原递推式可化为：【评注】 此题求解的关键是把递推式中的常数“1” 作适当的分别,配凑成等比数列的结构,n1 an1nanan1an=0 从而构造出一个新的等比数列；练习： 1、已知an满意a 13,an12 an1求通项公式；an1an 0,an1nn1an 2、已知an中,1a1,an3 an12（n2）求an；就a21,a32,a43, ,an1nn1分析：构造帮助数列,an13 an11 ,就an3n1a 12a23a34a n 同类变式 逐项相乘得：a n1,即an=1 . n1、已知数

6、列an满意an12 an2n1 ,且1a2,求通项ana1n分析：（待定系数）,构造数列anknb 使其为等比数列,练习： 1、已知：a11,an2 n1an1（n2）求数列a n的通项；即an1kn1 b2anknb,解得k,2 b132 n1求得an52n12 n12、已知an中,a n1nn2an且a 12求数列通项公式；类型 3、an1candc0,c1 型2、已知：1a1,n2时,an1an12 n1,求an的通项公式；2解题思路：利用待定系数法,将an 1cand化为an 1xcanx的形式,从而构解：设anAnB1an1An1 B造新数列a nx是以a1x为首项,以 c 为公比的

7、等比数列. 2an1an11An1A1B例 6数列an满意an12an1,a 12,求an. 2222解：设,即an12anx,对比原递推式,便有1A2B1解得：A64a 14632故 由an12 an,1得an112an1 , 即a nn112, 得 新 数 列an1是 以1A1B22a1第 2 页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2an121类型 4an 1cangn型a n4 n6 是以 3 为首项, 2为公比的等比数列例 7 已知数列an的前 n 项和S 满意S n2 an2 na n4n631n1an

8、314n622n（ 1）写出数列的前3 项a 1,a2,a3；（ 2）求数列an的通项公式 . 3、已知数列an满意an13 an23n1,a13,求数列an的通项公式；解：an13an23n1两边除以3n1,得an1an2311,解：（ 1）由a1S 12a12,得1a2. 3n13n3n由a1a2S 22a24, 得a26, 就an1an2311,3n13n3n由a 1a 2a3S 32a36, 得a3142 当n2时, 有anSnS n12anan12, 即an故ananan1an1an2an2an3a2a 1a13n3nan1an13n23n23n3323 13令an2an1, 就a

9、n2an1, 与比较得 ,2第 3 页,共 8 页2123112312213an2是以1a24为首项 , 以 2 为公比的等比数列. 33n3n3n33232n11131131211an242n12n1, 故an2n1233n3nnn32引申题目：因此an2n11 13n112n121n,1、已知an中,1a1,an2an12n（n2）求an3n133n33232、在数列 an 中,a 1,1an12an4n 31,求通项公式an；,公比是 2. 就an2n3n13n1解：原递推式可化为：322an13n2an3n1评注：此题解题的关键是把递推关系式an13 an23n1转化为an1an231

10、1,3n13n3n比较系数得=-4 ,式即是：an143n2an43n1. 进 而 求 出anan1an1an2an2an3+ +a2a1a 1, 即 得 数 列3n3n13n13n23n23n332313就数列an43n1是一个等比数列,其首项a143115an的通项公式,最终再求数列an的通项公式；3nan43n152n1即an43n152n1. 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载an15n12,就数列an5n是3、已知数列an满意an12 an32n,a12,求数列an的通项公式；由a 151651 0 及式, 得a

11、n5n0,就解：an12an32n两边除以2n1,得an1an3,就an1an3,an5n2n12n2n12n以a 15 11为首项,以2 为公比的等比数列,就an5n12n1,故an2n15n；,22故数列an是以a121为首,以3 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 25n转化为an15n12 an5n评注：此题解题的关键是把递推关系式an12 an32n212an1n1 3,所以数列an的通项公式为an3n12n；从而可知数列an5n是等比数列, 进而求出数列an5n的通项公式, 最终再求出数列an2n222的通项公式；2an11,求通项公式a ；评注：此题解题的关键是把递推关系

12、式an12 an32n转化为an1an3,说明数列类型 5、取倒数2n12n2an是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出an1n13,进而求出数列an例 8、已知数列 a 中,其中1a1 ,且当 n 2 时,a n2n2n2an1的通项公式4、如数列的递推公式为a 1113a n2 3n1n,就求这个数列的通项公式解：将an2an11两边取倒数得：11n2,这说明1是一个等差数列,an1anan1ana n5、如数列的递推公式为a 113ann 2 31n,就求这个数列的通项公式首项是1 a 11,公差为 2,所以11n1 221,即an11. a n2 na n6、已知数列an满意an

13、12 an35n,a 16,求数列an的通项公式；例 9、数列an中,且1a1 3,an12an,求数列an的通项公式 . 2 an1解：设an1x5n12anx5n 提示 a111 21 a n12n1an2n11n12nan1,a 11,求an例 10、an将an12an35n代入式,得2an35nx5n12 an2x5n,等式两边消去an解：a112 an,得35nx5n12x5n,两边除以5 ,得 n3x52x,就 x=1,代入式,12n即bn1bn2nann得an15n12 an5nb 1212n1122n就bn名师归纳总结 12第 4 页,共 8 页- - - - - - -精选学

14、习资料 - - - - - - - - - 例 11、数列an中,a n12n1a n,a 12,求an的通项；an学习必备欢迎下载2lgan,即lgann12,所以解由题意知a 0,将a n1a n2两边取对数得lgan112nanlgalg32n1,数列lgan是以lg a =lg3为首项,公比为2 的等比数列,lg12n1an111a nlga 12n1解：an12 n1a nan1an2n1即a n32n1. 设bn1b n1b n211bnbn11an的通项公式；例 13、已知数列an满意an123na5,a17,求数列ann2n式两边取常nb nb n11解：由于an123na5

15、n,a 17,所以an0,an10；在an123na5 n2nbn1bn2211用对数得lgan15lgannlg3lg2n设lgan1xn1 y5 lganxny11bn2bn3212 5lganxny,两边消去nb 3b21将式代入 11式,得5lgannlg3lg2xn1 y235lgan并整理,得lg3xnxylg25xn5y,就b 2b 1122lg3yxlg5x5y,故xlg3lg2b nb 1111111n1114222 1x2ylg3122n16422232n0及12式,2代入11式,得lgan1lg3n1lg3lg2b n1112nn1an22n14164222n2n5 lg

16、anlg3nlg3lg212练习：41641、在数列an中,a 11 ,an1aan3,求a 由lga1lg31lg3lg2lg7lg31lg3lg2n= 41644164第 5 页,共 8 页类型 6、取对数法得lganlg3nlg3lg20,名师归纳总结 - - - - - - -例 12 如数列 an 中,a =3 且an1an2（n 是正整数）,就它的通项公式是4164精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载就lgan1nlg3nn1lg3lglg2425,解将an32 a n1两边平方整理得a2a213；数列 a2 是以2 a 1=4 为首项, 3 为416

17、nnnlgalg3lg3公差的等差数列；a n 2a2 1n1 33n1；由于an0,所以an3n1；4164所以数列lganlg3nlg3lg2是以lg7lg3lg3lg2为首项,以5 为公比的【评注】求递推数列的通项的主要思路是通过转化, 构造新的熟知数列, 使问题化生疏为熟识.我们要依据不同的递推关系式, 实行不同的变形手段, 从而达到转化的目的. 41644164其他类型：等比数列,就lganlg3nlg3lg2lg7lg3lg3lg25n1, 因此1、数列an中,a18,a42且满意an22an1annN*41644164求数列an的通项公式；lganlg7lg3lg3lg2 5n1

18、lg3nlg3lg2设Sn|a 1|a2|an|,求Sn；4164464设b =n1annN*,T nb 1b 2bnnN*,是否存在最大的整数111lg7lg34lg36lg245n1 12n11111n11m ,使得对任意nN*,均有T nm 成立？如存在,求出 32m 的值；如不存在,请说明理由；lg34lg316lg24lg734316245n1l g 31624111解：（1）由题意,an2an1an1an,a n为等差数列,设公差为d ,lg734316245n1由题意得283 dd2,an82n1 102n. n115n1n5n115n115n4n15n11（ 2）如102n0就

19、n5,n5 时,Sn|a1|a2|an|l g 316245 nl g 134316245 nl g 131624, 就a 1a 2a n8102 nn9 nn2,an75n135n4n125n11；2416n6时,S na 1a 2a 5a6a7an评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 通 过 对 数 变 换 把 递 推 关 系 式an123na5 n转 化 为S 5S nS 52S 5Snn29 n40故S n9 nn240n5lgan1lg3n1 lg3lg25 lganlg3nlg3lg2,从而 可知 数列n29 nn641644164（3）bnn 121an2 n11 11n1

20、1lganlg3nlg3lg2是等比数列,进而求出数列lganlg3nlg3lg2 的通项n2n41644164Tn1 111111n1111n1 1公式,最终再求出数列an的通项公式；222334nn练习：n1 .2 n1、如数列的递推公式为a 112an2n,求这个数列的通项公式如Tnm对任意nN*成立,即nn1m对任意nN*成立,a n3216类型 7、平方（开方）法nn1nN*的最小值是1 ,2m1,m的最大整数值是7；第 6 页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -例 13、如数列 an 中,a =2 且an32 a n1（n2 ）,求它的通项公式是a . 162精选学

21、习资料 - - - - - - - - - 即存在最大整数m7,使对任意nN*,均有Tnm.学习必备欢迎下载3 的等比数列,于是,故；例 3. 已知数列,其中,求通项公式；32解：原递推式可化为： ,就数列是以为首项,公比为说明：本例复习数列通项,数列求和以及有关数列与不等式的综合问题；3. （ A、B、C为常数,下同）型递推式提高相关阅读可构造为形如的等比数列；利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的价值,下面介绍一下利用构造法求递推例 4. 已知数列,其中,且,求通项公式an；数列的通项公式的方法和策略. 一、构造等差数列法解：将原递推变形为,设bn；例 1. 在数列 a n 中

22、,求通项公式an；得 设式可化为,比较得于是有解：对原递推式两边同除以可得：令数列是一个以为首项,公比是3 的等比数列；就即为,就数列b n 为首项是,公差是的等差数列,因而,代入式中得；故所求的通项公式是 二、构造等比数列法 1. 定义构造法 利用等比数列的定义,通过变换,构造等比数列的方法；例 2. 设在数列 a n 中,求 a n 的通项公式；解：将原递推式变形为 / 得：,即 设所以,即,代入式中得：为所求；4. 型递推式 可构造为形如的等比数列；例 5. 在数列中,求通项公式；解：原递推式可化为,比较系数可得：,上式即为是一个等比数列,首项,公比为；所以；即,故为所求；三、函数构造法

23、 对于某些比较复杂的递推式,通过分析结构,联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数,再构造“ 桥函数” 来求出所给的递推数列的通项公式的方法；式可化为,就数列b n 是以 b1为首项,公比为2 的等比数列,于是,代入式得：,解得例 6. 在数列中,求通项公式an；为所求；2. （A、B 为常数）型递推式名师归纳总结 可构造为形如的等比数列；- - - - - - -分析：第一考虑所给递推式与公式的联系；解：设,就同理, , ；第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即,猜想；下面用数学归纳法加以证明（证明略）；学习必备欢迎下载由于即,解得,于是为所求；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页