2022年高中数学函数知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学函数学问点总结.8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）相同函数的判定方法：表达式相同；定义域一样两点必需同时具备 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数yx4x的定义域是lgx32（答：0,22,33,4）函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零；正切函数ytanxxR ,且xk,k2,k余切函数ycotxxR ,且xk反三角函数的定义域函数 yarcsinx 的定义域是 1, 1,值域是,

2、函数 yarccosx 的定义域是 1, 1 ,值域是 0, ,函数 yarctgx 的定义域是 R ,值域是 .,函数 yarcctgx 的定义域是R ,值域是0, .当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时,范畴,再取他们的交集,就得到函数的定义域；10. 如何求复合函数的定义域？先分别求出满意每一个条件的自变量的如：函数f x 的定义域是a,b,ba0,就函数Fxf x fx的定义域是 _；（答：a,a）fgx 的定义域,复合函数定义域的求法：已知yfx的定义域为m,n,求y可由mgxn解出 x 的范畴,即为yfgx的定义域；11、函数值域的求法名师归纳总结 - - - - - - -第

3、 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、直接观看法对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到；例 求函数 y= 2、配方法1 的值域 x配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；例、求函数y=2 x -2x+5 ,x-1 , 2 的值域；3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的具体写出来,期望大家能够看懂ba y 2 型：直接用不等式性质k+xbxb. yx 2 mx n 型, 先化简,再用均值不等式例： y1+x x2x+ 11 12x2x mx

4、 nc yx 2 mx n 型 通常用判别式x 2 mx nd. y 型x n法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉例： yx2xx12 1 （ x+1） （ x+1）+1 （x+1）x111211x16、函数单调性法7、换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模型；换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用；例 求函数 y=x+x1的值域；8 数形结合法名师归纳总结 例求函数 y=x2 2 +x8 2的值域；第 2 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：原函数

5、可化简得：y= x-2 + x+8 上式可以看成数轴上点P（x）到定点 A（ 2）,B（ -8 ）间的距离之和；由上图可知：当点 P 在线段 AB上时,y= x-2 + x+8 = AB =10 当点 P 在线段 AB的延长线或反向延长线上时,y= x-2 + x+8 AB =10 故所求函数的值域为：10 ,+）多种方法综合运用 总之,在具体求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题型特点,然后再挑选恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法；12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？切记：做题,特殊是做大题时,肯定

6、要留意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不 要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂如：fx1exx,求f x .15 令tx1,就t0xt21f t et21t21f x x e21x21x0. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判定函数单调性的方法有三种：1 定义法：依据定义,设任意得x1,x2,找出 fx1,fx2 之间的大小关系可以变形为求f x 1f x 2的正负号或者f x 1与 1 的关系x 1x 2f x 22 参照图象：如函数 fx 的图象关于点 a ,b 对称,函数 fx 在关于点 a ,0 的对称区间具 有相同的单调性；（特例：奇函数）如函数 fx

7、的图象关于直线 x a 对称,就函数 fx 在关于点 a ,0 的对称区间 里具有相反的单调性； （特例：偶函数）3 利用单调函数的性质：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数 fx 与 fxcc 是常数 是同向变化的函数 fx 与 cfxc是常数 ,当 c 0 时,它们是同向变化的；当c0 时,它们是反向变化的；假如函数f1x ,f2x 同向变化,就函数f1x f2x和它们同向变化； （函数相加）假如正值函数 f1x ,f2x 同向变化,就函数 f1xf2x 和它们同向变化；如果负值函数 f12 与 f2x 同向

8、变化, 就函数 f1xf2x 和它们反向变化；（函数相乘）函数 fx 与 f x在 fx 的同号区间里反向变化；1 如 函 数 u x , x , 与 函 数 y Fu , u , 或u , 同向变化,就在 , 上复合函数 yF x 是递增的；如函数 u x,x , 与函数 yFu ,u , 或 u , 反向变化,就在 , 上复合函数 如函数 y fx 是严格单调的, 就其反函数们的增减性相同；yF x 是递减的；（同增异减）xf1y 也是严格单调的, 而且,它fg ylog 1gx 2 xfgx fx+gx fx*gx 都是正数增增增增增增减减/ / 减增减/ / 减减增减减如：求x2的单调

9、区间2（设uux22x,由u20就0x2,x且log 1u11,如图：2u O 1 2 x 当x0,1 时,u,又log1u,y2当x1,2 时,u,又log1u,y2 ）16. 如何利用导数判定函数的单调性？名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在区间a,b内,如总有fx0 就f x 为增函数；（在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性）,反之也对,如f 0呢？a 的最大如：已知a0,函数f x x3ax 在1,上是单调增函数,就0值是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 fx3x2a3xaxa33就xa

10、或xa33a1,即a3由已知f x 在1,上为增函数,就3a 的最大值为3）17. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx 定义域关于原点对称）如fxf x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称如函数图象关于y轴对称fxf x 总成立f x 为偶函数留意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数；（2）如fx是奇函数且定义域中有原点,就f00；判定函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件.如函数的定义域不关于原点对称,就函数为非奇

11、非偶函数. . 二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,运算f x,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶性 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 这种方法可以做如下变形fx+f-x =0 fx-f-x=0 奇函数 偶函数偶函数奇函数fx f-x1 fx f-x1 三、复合函数奇偶性fg gx fgx fx+gx fx*gx 奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18. 你熟识周期函数的定义吗？（如存在实数T（T0）,在定义域内总有f xTf x ,就f x 为周期函数, T 是一个周

12、期； ）如：如f xaf x ,就2a 为f x 的一个周期）（答：f x 是周期函数,T我们在做题的时候, 常常会遇到这样的情形：告知你 fx+fx+t=0, 我们要立刻反应过来,这时说这个函数周期2t. 推导：fxtfxt00fxfx2 ,fxfx2 同时可能也会遇到这种样子：fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x. 其实这都是说同样一个意思：函数fx 关于直线对称,对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到；比如,fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x 就都表示函数关于直线x=a 对称；又如：如f x 图象有两条对称轴xa,xb即f ax f ax,f bx f b

13、xf x f2 ax f2ax f2 bx f x f2 bx 令t2 ax ,就2 bxt2 b2 , a f t f t2 b2 即f x f x2 b2 所以 函数f x 以 2 |ba|为周期 因不知道a b 的大小关系,为保守起见 我加了一个肯定值如：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 19. 你把握常用的图象变换了吗？f x 与 f x 的图象关于 y 轴 对称 联想点（ x,y） ,-x,y f x 与 f x 的图象关于 x 轴 对称 联想点（ x,y ）,x,-y f x 与 f x 的图象关于 原

14、点 对称 联想点（ x,y）,-x,-y 1f x 与 f 的图象关于 直线 y x 对称 联想点（ x,y ）,y,x f x 与 f 2 a x 的图象关于 直线 x a 对称 联想点（ x,y ）,2a-x,y f x 与 f 2 a x 的图象关于 点 a,0 对称 联想点（ x,y）,2a-x,0 将 y f x 图象 左移 a a 0 个单位 y f x a 右移 a a 0 个单位 y f x a 上移 b b 0 个单位 y f x a b下移 b b 0 个单位 y f x a b（这是书上的方法,虽然我从来不用,这种题目,其实根本不用这么麻烦；你要判定函数但可能大家接触最多

15、,我仍是写出来吧；对于 y-b=fx+a 怎么由 y=fx 得到,可以直接令 y-b=0,x+a=0, 画出点的坐标；看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了；）留意如下“ 翻折” 变换：名师归纳总结 fx |fx 把 轴下方的图像翻到上面 | x第 7 页,共 13 页fx f |x 把 轴右方的图像翻到上面 | y如： f x log 2x1作出ylog2x1及ylog2x1的图象- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y y=log 2x O 1 x 19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？k0 y=b O Oa,bx x=a （ ）一

16、次函数：ykxkb k00k 为斜率, b 为直线与 y 轴的交点 b ybxkak0是中心O a,（ ）反比例函数：yk推广为x的双曲线；名师归纳总结 （ ）二次函数yax2bxc a0a x2b24 acb2图象为抛物线第 8 页,共 13 页2 a4 a顶点坐标为b,4 acb2,对称轴xb2 a4 a2 a开口方向：a0,向上,函数ymin4 acab4a0,向下,ymax4acab24根的关系：xb2ax 1x 2b,x 1x 2c,|x 1x2|a|aa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数的几种表达形式：f x ax2bxc一般式轴f

17、 x a xm2n顶点式,（m, ）为顶点 nf x a xx 1xx 2x x2是方程的2个根）f x a xx 1xx 2h 函数经过点（x h x2, 应用：“ 三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax2bxc0,0时,两根x1、x2为二次函数yax2bxc 的图象与x的两个交点,也是二次不等式ax2bxc00 解集的端点值；求闭区间 m, n上的最值；区间在对称轴左边（nb）fm a xfm ,fm i nfn 2a区间在对称轴右边（mb）fm axfn ,fm i nfm2a区间在对称轴2边 （nbm）2afm i n4acb2f ,m a xm a x f n

18、 , 4 a也可以比较m , n 和对称轴的关系, 距离越远,值越大 只争论a0的情形）求区间定（动） ,对称轴动（定）的最值问题；一元二次方程根的分布问题；0如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kbk2af k 0y a0 O k x1x 2x 一根大于k,一根小于kf k 0名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0m b n在区间（m, ）内有 根 2 af m 0f n 0在区间（m, ）内有 1根 f m f n 0（ ）指数函数：y a x a 0,a 1（ ）对数函数 y log a x a 0,a 1由

19、图象记性质！（留意底数的限定！ ）y y=a xa1 0a1 1 O 1 x 0a0 时,fx0,f1 2 求 fx在区间 2,1上的值域 . 分析：先证明函数 f（ x）在 R 上是增函数（留意到 f（x2） f（x2x1） x1f（x2x1） f（x1）；再依据区间求其值域 . 例 2 已知函数 f（x）对任意实数x、y 均有 f（xy） 2f（x） f（y）,且当 x0 时,fx2,f3 5,求不等式 f（a 22a2）3 的解 . 分析：先证明函数 f（ x）在 R 上是增函数（仿例 1）；再求出 f（1） 3；最终脱去函数符号 . 例 3 已知函数 f（x）对任意实数x、y 都有 f

20、（xy）f（x）f（y）,且 f（ 1）1,f（27）9,当 0x1 时, f（x） 0, 1. （1）判定 f（x）的奇偶性；（2）判定 f（x）在 0, 上的单调性,并给出证明；（3）如 a0 且 f（a1）39 ,求 a 的取值范畴 . 分析：（ 1）令 y 1；（ 2）利用 f（x1） f（x 1x2） f（x1）f（x2）；x2x2（ 3）0a2. 例 4 设函数 f（x）的定义域是（,）,满意条件：存在 x1 x2,使得 f（x1） f（x2）；对任何 x 和 y,f（xy） f（x）f（y）成立 .求：（1）f（0）；（2）对任意值 x,判定 f（x）值的符号 . 分析：（ 1）

21、令 x= y0；（2）令 yx 0 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6 设 f（x）是定义在（ 0,）上的单调增函数,满意f（3） 1,求：（1）f（1）；（2）如 f（x） f（x8） 2,求 x 的取值范畴 . 分析：（ 1）利用 31 3；（2）利用函数的单调性和已知关系式 . f（ x y） f（x） f（y）,对于抽象函数的解答题,虽然不行用特殊模型代替求解,但可用特殊模型懂得题意 .有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟识的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从

22、而更好地解决抽象函数问题 . 例 9 已知函数 f（x）（x 0）满意 f（xy） f（ x） f（y）,（1）求证： f（1） f（ 1） 0；f（x） f（x1 ） 0. 2（2）求证： f（x）为偶函数；（3）如 f（x）在（ 0,）上是增函数,解不等式分析：函数模型为：f（x） loga|x|（a0）（1）先令 xy1,再令 x y 1；（2）令 y 1；（3）由 f（x）为偶函数,就f（x） f（|x|）. 例 10 已知函数 f（x）对一切实数 x0 时, f（ x） 1,求证：x、y 满意 f（0） 0,f（xy） f（ x） f（y）,且当（1）当 x0 时, 0 f（x） 1

23、；（2）f（x）在 xR 上是减函数 . 分析：（1）先令 xy0 得 f（0） 1,再令 y x；（3）受指数函数单调性的启示：fx,由 f（xy） f（x）f（y）可得 f（x y）fy进而由 x1x2,有fx1f（ x1 x2） 1. fx2练习题：1.已知： f（xy） f（x） f（ y）对任意实数x、y 都成立,就（）（A） f（0） 0 （B）f（ 0） 1 （C）f（0） 0 或 1 （D）以上都不对2. 如对任意实数x、y 总有 f（xy） f（ x） f（y）,就以下各式中错误选项（A） f（1） 0 （B） f（1 ）xf（x）（C）f（x ） f（x） f（y）y（D）

24、f（xn） nf（x）（n N）3.已知函数 f（x）对一切实数x、y 满意： f（0） 0,f（xy） f（x）f（y）,且当 x名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0 时, f（x） 1,就当 x0 时, f（x）的取值范畴是（）（A）（1,）（B）（, 1）（C）（0,1）（D）（ 1,）4.函数 f（x）定义域关于原点对称,且对定义域内不同的 x 1、x2都有f（x1x2）f x 1 f x 2 ,就 f（x）为（）1 f x 1 f x 2 （A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数 f（ x）对任意实数 x、y 满意 f（xy） f（xy） 2f（ x） f（y）,就函数 f（x）是（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数参考答案：1A 2B 3C 4A 5B 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页