2022年高中绝对值不等式--适合高三复习用--可直接打印.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 肯定值不等式肯定值不等式 |ab| |a|b , |ab| |a|b|基本的肯定值不等式：|a|-|b|a b| |a|+|b| y=|x-3|+|x+2|x-3-x+2|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是 5,没有最大值|y|=|x-3|-|x+2|x-3-x+2|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y| 5 得-5 y5 即函数的最小值是-5 ,最大值是5 也可以从几何意义上懂得,|x-3|+|x+2|表示 x 到 3,-2 这两点的距离之和,明显当 -2 x3 时,距离之和最小, 最小值是 5；而 |x-3|-|x

2、+2| 表示 x 到 3,-2 这两点的距离之差,当 x-2 时,取最小值 -5 ,当 x3 时,取最大值 5 变题 1解以下不等式： 1| x+1|2 x；2| x 2 x6|3 x名师归纳总结 思路利用fx gx -gxfxgx fxgx或 fx2 x 或 x +11 2或无解,所以原不等式的解集是 x | x 1 2 2 原不等式等价于3 x x 2 x 63 x即x22x633xx2xx60x3x20x13 或x2x22x6xx2560x1x60x62 x 6 所以原不等式的解集是 x |2 xx2-3x-4 ；221 解：1分析一可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于：x-x2-2

3、x2-3x-4 或 x-x2-2-x2-3x-4 解得： 1-2 x-3 故原不等式解集为分析二 x-xxx-3 2-2 x 2-x+2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 7而 x 2-x+2 x-4 2+ 40 所以 x-x 2-2 中的肯定值符号可直接去掉. 故原不等式等价于x2-x+2x2-3x-4 解得： x-3 原不等式解集为x-3 3 x2分析 不等式可转化为-1 21 求解,但过x 43 x程较繁,由于不等式 21 两边均为正,所以可平方后x 4求解 . 原不等式等价于3x241 2 x9x2x2

4、-42 x 2 x4-17x2+16 0 x21 或 x216 -1 x1 或 x4 或 x-4 留意：在解肯定值不等式时,假设fx中的 fx 的值的范畴可确定 包括恒正或恒非负,恒负或恒非正 ,就可直接去掉肯定值符号,从而简化解题过程 . 第 2 变 含两个肯定值的不等式变题 2解不等式 1| x 1|5. fx思路1题由于两边均为非负数,因此可以利用 gx f2x g 2x 两边平方去掉肯定值符号；2题可采纳零点分段法去肯定值求解；解题1由于 | x 1| 0,| x+a| 0,所以两边平方后有：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 29 页精选学习资料 - - - -

5、- - - - - | x 1|2 | x +a |2a2即有x 2 x +11当 2 a+20 即 a 1 时,不等式的解为 x 1 21 a ；当 2 a +2=0 即 a =1 时,不等式无解；当 2 a+20 即 a 1 时,不等式的解为x5. 解：当x-3时,原不等式化为2-x-x+35-2x6x5 无解 . 当-3x5当 x2 时,原不等式为x-2+x+352x4x2. 综合得：原不等式解集为x x2 或 x01 解关于 x 的不等式|log 1x | | log 1且 a 1 解 析 ： 易 知 1 x 1 , 换 成 常 用 对 数 得 ：名师归纳总结 |lg1ax | |lg

6、1ax | lg1xx2 |第 4 页,共 29 页lglg| lg1x2 |于是2 lg 1x2 lg 10- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lg1x xlg1x lg1x lg1x 0lg12lg1x x01 1 x 1 201x 1 lg 1 x 0 lg 11 xx0 0 1 x 11 x解得 0 x 1 2不等式 |x+3|-|2x-1|2 x2第 5 页,共 29 页4x23x2当x1时x4x3 4xx1221 当-3x 2x 时 4x+22 7故填,2 712 ,；1x1的解集 . 3求不等式logxlog333解：由于对数必需有意义,即

7、解不等式组名师归纳总结 x03x1第 6 页,共 29 页31x0,解得 0x3又原不等式可化为log3xlog3等式化为1当0x1时,不log3xlog33x1即log33xlog 3x综 合 前 提 得 ：3x3xx340x3；4xlog 3. 2 当 10时 , 进 一 步 化 为4k- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6423k4,此时无解；k3k3k当 k =0 时,明显不满意题意；当 k 0 时,6x4 k,依题意有642k2kk3k综上, k =2；第 4 变 含参肯定值不等式有解、解集为空与恒成立问题变题 4假设不等式 | x4|+|3

8、x|0 时,先求不等式| x 4|+|3 x | a 有解名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 时 a 的取值范畴；令 x 4=0 得 x =4,令 3 x =0 得 x =3 当 x 4 时,原不等式化为 x 4+ x 3 a,即 2 x 7 a解不等式组xx4a4x27 当 3 x 4 时,原不等式化为 当 x 3 时,原不等式化为 2 x 1 4 x + x 31 4 x +3 x 1 综合可知,当 a 1 时,原不等式有解,从而当 0 a1 时,原不等式解集为空集；由12 知所求 a取值范畴是 a1 解法二由

9、| x 4|+|3 x | 的最小值为4|+|3 x|1 时,| x从而当 a 1 时,原不等式解集为空集；解法三： a | x 4|+|3 x| | x 4+3 x |=1 当 a 1 时, | x 4|+|3 x | k 恒成立,求 k 的取值范畴；思维点拨： 要使 | x+1| | x 2| k 对任意实数 x 恒成 立,只要 | x +1| | x 2| 的最小值大于 k ；因| x +1| 的几何意义为数轴上点 x 到 1 的距离, | x 2| 的几何意义为数轴上点 x到 2 的距离, | x +1| | x2| 的几何意义为数轴上点 x 到 1 与 2 的距离的差,其最小值可求；

10、此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数,通过画出图象,观看k 的取值范畴；解法一 依据肯定值的几何意义,设数 x ,1,2 在数轴上对应的点分别为 P、A、B,就原不等式即求 |PA| |PB| k成立|AB|=3 ,即 | x +1| | x 2| 3 故当 k k 恒成立,从图象中可以看出,只要 k 3 即可；O名师归纳总结 -3第 11 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故 k a恒成立, 求实数a 的取值范畴；分析：经过分析转化,实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值, a 应比最小值小；解： 由肯定值不等式：

11、|x+1|+|x-2|x+1-x-2|=3,当且仅当 x+1x-20, 即1x2时取等号；故a0, 不等式 |x-4|+|x-3|a 在实数集 R 上的解集不是空集,求 a 的取值范畴分析一|x-4|+|x-3| |x-4 x-3|=1 当|x-4|+|x-3|1 第 12 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二如图,实数x、3、4 在数轴上的对应点分别为P、A、B 就有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB| | PA|+|PB|1 恒有 y 1 P x 数按题意只须a1 A B 3 4 0 四考虑 |z-4|+|z-3|1.

12、变题：1、假设不等式 |x-4|+|x-3|a对于一切实数x 恒成立,求 a 的取值范畴2、假设不等式 |x-4|-|x-3|a 值范畴第 5 变 肯定值三角不等式问题的解集在 R上不是空集,在 R上恒成立, 求 a 的取名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变题5已知函数f x ax2bxc a b cR,当x 1,1时 |f x | 1,求证：c a b cR ,就当x 1,1时,1|b| 1；2 如g x bx2ax求证： |g x |2；思路此题中所给条件并不足以确定参数a, , c的值,但名师归纳总结 应当

13、留意到：所要求的结论不是b 或g x 的确定值,而是与ff1 条件相对应的“ 取值范畴”,因此,我们可以用f1、f0、f1来 表 示a,b, c ； 因 为 由 已 知 条 件 得|f 1| 1, |f0 | 1, |f1| 1；解题证明：1由f1abc f1abcb1f12,从而有 1 | 1,|b|1f1f 11|f1|f 1 |, |f1| 1,|22|b|1|f1|f 1 |1.f1 ,22由f1abc f1abcb1f12从而a1 2f1f1 f0第 14 页,共 29 页将以上三式代入- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - g x bx2axc

14、a b cR,并整理得|g x | |f0x211f1 x11f 11x |x222|f0x21|1|f1 x1|1|f 11x |22|f0 |x21|1|f1|x1|1|f 1|1x|22|x21|1|x1|1|1x| 1x21 2x1112222请你试试451已知函数fx=1x2, a,bR,且ab,求证|fa-fb|” “=” 合成的,故不等式或fx gx 0可 转 化 为fx gx0fxgx0；解得：原不等式的解集为x|x3 或x1x23x20. x22x3名师归纳总结 解：第 19 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x23x

15、20x22x3x2x3x2 x202x3 0,用根轴法零点分x22x303 x1 01 x2 xx3 x1 + 段法画图如下：原不等式的解集为x|1x1 或2x3；3、x21ax,1a0 解：原式等价于1x211axax0注：此x2,11ax1,即为关键名师归纳总结 x2a0 ,x02原 不 等 式 等 价 于 不 等 式 组第 20 页,共 29 页1 1ax解得：x0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当0a1 时,原不等式解集为x|0x12a2a4、当a21 时,原不等式解集为x|x0xax20名师归纳总结 解：当a0时,原不等式化为x20,得x2

16、；第 21 页,共 29 页当a0时 , 原 不 等 式 化 为x2 x20, 得a2x2；x2 x20,得aa1时,原不等式化为当0ax2或x2；x2 20, 得a当a1时 , 原 不 等 式 化 为x2；2x20,得1时,原不等式化为x当aax2或x2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综合上面各式,得原不等式的解集为：5 、 关 于 x 的 不 等 式axb0的 解 集 为,1, 求axb0的解集；ax2b x2 0x2解：由题意得：a0,且abaxb0与不等式组就不等式x0x2同解得所求解集为x|x1 或x2ax1的解集6、已知a0且1,关于

17、x 的不等式a是x x0,解关于 x 的不等式log ax10x的解集；名师归纳总结 解 ：关 于 x 的 不 等 式ax1的 解 集 是x x0,第 22 页,共 29 页a1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - log ax10x1 0 x1 1 x1x125xx或1x1251,1251,125；原不等式的解集是三、证明题2、设ab0, n 为偶数 , 证明bn1an111anbnab名师归纳总结 证：bn1an111anbnann1bn,1 . 第 23 页,共 29 页anbnabab ab n当a0,b0时0, 0, anbnan1bn10 ,

18、 0 故anbnan1bn1ab nbn1an1110,banbnab ; 当a b 有 一 个 负 值 时 , 不 妨 设a, 且- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ab0, 即a|b . abn n 为 偶 数 时 , annbnan1bn10 , 且0anbnan1b10 ,故ab nbn1an111anbnab . 综合可知 , 原不等式成立注：必需要考虑到已知条件abn0,分类争论,0 否就不能直接得出 anbna1bn13、求证：a216a42362 29名师归纳总结 证：设向量p ,4,q|4a,6p ,由第 24 页,共 29 页|p|q| |pq , 得|q|q|a216a4236|p| ,44a ,6 | | 4,10 |161002 29