2022年高二数学直线的方程.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高二数学 :直线的方程以及平行、垂直、到角公式的应用一、教学要求：1、通过本内容的学习,充分懂得直线的方程与方程的直线的关系,加深对几何问题坐标化的懂得2、争论直线方程的五种形式及相关公式,留意直线方程的五种形式中除一般形式外,均有不能表示的直线,否就可能丢解3、懂得直线方程的常数参数的几何意义4、两直线平行垂直的判定与应用 5、到角与夹角公式二、重难点分析：一 直线方程五种形式及限制条件名称方程常数的几何意义k 为直线不能表示的直线点斜式y-y1=kx-x 1 x1,y1为直线上的肯定点,x=x 1的斜率斜截式y=kx+b

2、k 为直线的斜率, b 为直线在 y 轴上x=x 1的截距两点式x1,y1,x 2,y2是直线上的两定点x=x 1y=y 1截距式a 是直线在 x 轴上的截距, b 是直线与 x 轴、 y 轴垂直的直一般式Ax+by+c=0 在 y 轴上的截距线和过原点的直线A、 B、C 为系数无A2+B2 0说明：点斜式处于中枢位置,是最基本的形式,也是推导其它形式的基础；对其它形式要牢记它的适用范畴,有哪些不能表示的直线,并且能敏捷地互化；一般式是对各种详细形式的概括,因此理论上很重要；二 方程的推导 1.点斜式 留意：1点斜式是最基本的形式,也是推导其它形式的基础；它的推导是直接法求曲线的方程的典型应用

3、,在推导过程中把握以下几点：1 直线的定义：过定点且保持运动方向不变的点集；2 通过斜率公式将结合条件坐标化： 3由斜率公式的限制条件,导致对xx l 和 x=x 1 的分类争论； 4 能合并的尽量合并；2通过点斜式的推导,进一步熟识求曲线方程的方法,加深对曲线的方程的懂得,留意体会变形中如 何保证等价性；3写直线方程时保证 1x ,yR； 2 等价变形,结果会不会缩小或扩大曲线,满意曲线的方程定义的 两条；4在详细求解问题时,点斜式不能表示的直线需单独进行争论；简单丢解；2. 斜截式名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - -

4、 学习必备 欢迎下载如直线 L 的斜率为 k,在 y 轴上的截距为 b,就直线 L 过点 0, b,由点斜式方程知,直线 L 的方程为 y-b=kx 即 y=kx+b. 注：截距是数量值,而不是长度值；3. 两点式如直线 L 过点 x1,y 1、x 2, y2,且 x 1 x2,y 1 y2就直线 L 的斜率为,由点斜式方程知直线 L 的方程为留意：与其它两种写法的区分：方程：表示的不是整条直线,不包括点 x1, y1,所以它不符合纯粹性,不是所求曲线的x2-x1y-y 1=y 2-y1x-x 1可以表示过这两点的全部直线,而且对已知两点没有限制；4. 截距式如直线 L 在 x 轴上的截距为a

5、,在 y 轴上的截距为b,即过点 a,0,0,b 当 a 0, b 0时,由两点式方程知,即为所求的截距式方程：当 a=0 且 b=0 时,直线 L 的方程为 y=kx 名师归纳总结 当 a, b 其中一个为0 时,不存在截距,不能表示与x 轴、 y 轴垂直的直线；x,y 的二元一次方第 2 页,共 9 页5. 一般式 Ax+By+C=0A2+b2 0第一、在平面直角坐标系中,对于任何始终条直线,都有一个表示这条直线的关于程；如：在平面直角坐标系中,每条直线都有倾角时,有斜率k,直线方程为y=kx+b ；当时, x=x1；他们都是关于x、y 的二元一次方程；其次、任何关于x、 y 的二元一次方

6、程都表示一条直线；直线方程的一般式：Ax+By+C=0A2+B2 0当 B 0 时,其斜率为,在 y 轴上的截距为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 B=0 时,由于A、 B 不同时为零所以学习必备欢迎下载,它表示一条与y 轴平行或重合A 0,方程可化为的直线；综上,在直角坐标平面内,任何关于 x,y 的二元一次方程都表示一条直线；留意：对二元一次方程中限制条件 A2+B 2 0的懂得；三 直线的参数方程直线 L 过 P0x0, y0,方程向量为设 Px,y 是直线 L 上的任意一点,就所以有且只有一个实数t,使得,即 x-x 0 ,y-y 0=ta

7、,b 四 直线的方向量方程：P55点向式方程：将参数方程消去参数 t,得点法式方程, 放到直线的位置关系后讲 过点 Px 0,y0,法向量为就 Ax-x 0+By-y 0=0 二、两条直线的位置关系及到角、夹角公式1. 平行与垂直1平行：1l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2时,斜率不存在很简单判定两条直线是否平行；2l 1：A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0 时,2垂直：1l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2时,2l1:A 1x+B 1y+C1=0,l 2:A 2x+B 2y+C=0 时,名师归纳总结 在详细问题

8、中,可将与Ax+By+C=0 平行的直线设为Ax+By+m=0 ,垂直的直线设为Bx-Ay+m=0 第 3 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2. 到角、夹角的概念与公式：1到角：设 l1、 l2 的斜率分别是 k 1、 k2, l1 到 l2 的角 ,就留意：到角的概念：l1 按逆时针方向 l 2,第一次重合 最小正角 的范畴： 0 180；2l 1 与 l 2的夹角 ：规定形成角中不大于 90的角叫两条直线的夹角； l1 与 l2 相交不垂直时是锐角,0 90, l1与 l2相交垂直时： =90；所以 的范畴； 0

9、90夹角公式：3使用范畴：到角和夹角均不等于 90不适于使用公式的情形,常用数形结合解决；如 l 1:x=3 与 l 2:y=2x+6 的夹角：画图：三、典型例题：例 1、已知直线y=kx+k+1 与 y=x 在第一象限内有交点,求k 的取值范畴；法一：法二： y=kx+1+1 ,过定点 -1,1, kAO=-1 如图,由于直线 y=kx+k+1 与 y=x 在第一象限内有交点, -1kSMAN ；2|OA|+|OB| 取最小值时 L 的方程；解：设直线 L 的方程为 y-1=kx-2 ,就当且仅当此时直线的方程为3|PA| |PB|取最小值时 L 的方程；解：设直线 L 的方程为 y-1=k

10、x-2 ,就P 为 MN 中点,过 N 作 NE AM ,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当且仅当学习必备欢迎下载y=-x+3 即 k=-1 时|PA| |PB|min=4,此时直线方程为例 4. 设直线 L 的方程为 m2-2m-3x+2m2+m-1y-2m+6=0 ,试依据以下条件,分别求出m 的值；1L 在 x 轴上的截距为 -3； 2L 的斜率为 1；解： 12例 5. 已知点 A-2,3 和直线 l1:x-y+3=0 ,分别求过点A 且满意以下条件的直线l 的方程：1l 与 l1 的夹角为 45； 2l

11、1 与 l 的角为 15；解： 1法一：设直线 l 的方程为 y-3=kx+2 ,或 x=-2 由夹角公式知因 x=-2 符合题意,所以直线 l 的方程为 y=3 或 x=-2 法二：数形结合2设直线 l 的方程为 y-3=kx+2 ,由到角公式所以所求直线的方程为注：特别情形要单独解决；数形结合；例 6. 等腰三角形一腰所在直线l1 的方程为 x-2y-2=0 ,底边所在直线l 2 的方程是 x+y-1=0 ,点-2,0 在另一腰上,求这腰所在直线l 3 的方程；提示：例 7.1求点 P4,0关于直线 x+y+1=0 的对称点 P；法 1：设 Px,y,就直线 x+y+1=0 是线段 PP的

12、中垂线,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 法 2：由题意,直线学习必备欢迎下载PP的斜率为 1,所以其方程为y=x-4 由,所以 P-1,-5 法 3：设 Px, y,由题意,直线 x+y 1=0 的方向向量为就又评 上面的两种方法中列方程组的本质是垂直、平分；记忆以下结果可以用于挑选、填空题点 Ax,y关于直线 x+y+c=0 的对称点的坐标是 -y-c,-x-c;点 Ax,y关于直线 x-y+c=0 的对称点的坐标是 y-c,x+c;曲线 fx,y=0 关于直线 x+y+c=0 的对称曲线是 f-y-c,-x-c

13、=0曲线 fx,y=0 关于直线 x-y=c=0 的对称曲线是 fy-c,x+c=0；2求直线 l1:3x-5y-2=0 关于直线 l：y=x+1 对称的直线的方程；法 1： 可求出 l 与 l 1 的交点,再分别在 l1, l2上各找出一点,使它们关于 l 对称 由直线 l 与 l1 的交点为在 l 1 上找一点 M-1 , -1,设 Nx,y 为 M 关于直线 l 的对称点,因直线 l 2 过 P、N 两点,所以直线 l2 的方程为 5x-3y+10=0 法 2：设 Px1,y1是直线 l 1:3x-5y-2=0 上的任一点, P 关于直线 y=x+1 的对称点为 Qx,y 3y-1-5x

14、 1-2=0 所以所求直线的方程为 5x-3y+10=0 法 3： 由对称性, l 1到 l 的角等于 l 到 l2 的角 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载由法 1 知直线 l 与 l1 的交点为,设 l2 的斜率为 k,就,所以法 4：利用上面 1的结论直接求,但只能用于挑选填空；评 解法 1 与解法 3 利用了直线的特别性质,而解法 轨迹的方法；课后练习：2 是求轴对称曲线的一般方法,利用了求动点的1. 光线经过点,在直线 l:x+y+1=0 上反射,反射光线经过点B1,1 ,求入射光线所在直线的方程及反射点坐标；2. 已知 ABC 中, A 的平分线方程为 2x+y-1=0 , B1,2C-1,-1 ,求点 A 的坐标；3. 已知 ABC 中,一个顶点为 A4,-1,两条内角平分线所在直线分别为 x=1,x-y-1=0 ,求直线 BC的方程；4. 求直线 y=-4x+1 关于点 M2,3 对称的直线的方程；参考答案：名师归纳总结 1. 2. 3. y=2x+3 4. y=-4x+21 第 9 页,共 9 页- - - - - - -