2022年高中数学数列基础知识与典型例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数学基础学问例题数列数1.数列 a 的前 n 项和S 与例 1.已知数列a n的前 n 项和为Sn2 n2n,求等等差数列等比数列数列an的通项公式 . 定义a n1a nd d 为常数 ,n2 an1q q0,且为常数 ,n2a n递推anan1d ana mnm d a nan1 q a na qn m 通项a 的关系：例 2. 已知a 13 且anS n12n,求a 及S 公式通项ana 1n1 dana qn1（a q0）anS 1S n1n1公式S n n2中项（Aan kan k0）Ga nka n ka n ka

2、 n k0N*,22. 数列求和的常用方法：公例 3.已知a 11,S nn2ann1求a 及S n kk（n kN*,nk0）n前nS nn 2 a 1a n1dSnna1q1a1a q q q1项和a11qnn nna 11q12差dn2a1dn数22例 4.求和1112113121n. 列重要 等和性 :a manapaq 等积性:a ma napa q与性质m n p qN*,mnpqm n p qN*,mnpq 等列比a namnm da namqn m23数从等差数列中抽取等距离的项从等比数列中抽取等距离的项列组成的数列是一个等差数列；组成的数列是一个等比数列；式法、裂项相消法、错

3、位相例 5.数列 11 ,3 21 ,5 41 ,7 81 , ,2n1+ 161 的前 n n2如：a a4,a7,a 10,（下标成等差如：a a a7,a 10,（下标成等差减法、倒序相加法等；数列）数列）证 明证 明 一 个 数 列 为 等 差 数 列 的 方证明一个数列为等比数列的方法：关键是找数列的通项结构；方法法：a n1a nd 常数1.定义法a nn1q 常数1.定义法a项之和为 Sn,就 Sn 等于 2.中项法a n1a n12a nn22.中项法a n1an1（an）2n2A n 2+11B2n 2n+11设 元三数等差：ad a add a3 d三数等比：a a aq

4、或qa aq aq22n2n技巧四数等差：a3 , d ad aCn 2+1211Dn 2n+11n2n四数等比：a aq aq2,aq3例 6.求和: S12x3 x24x3nxn1. 联系真数等比,对数等差 ; 指数等差,幂值等比；重点把握通项公式和前n 项和公式 ,对于性质主要是懂得也就是说自己能推导出来 ,详细运用时就能敏捷自如.特殊是推导过程中运用的方法,是我们讨论其他数列的一种尝试 .如推导等差数列通项公式的“ 累差” 法和推导等比数列通项 公式的“ 累积” 法,是我们求其他数列通项公式的一种体会 .又比如推导等差数 列求和公式的“ 倒序相加法” 和推导等比数列求和公式的“ 错位相

5、减法” 都是名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数列求和的重要技巧 . 等注:等差、等比数列的证明须用定义证明;数列运算是本章的中心内容,等例 14. 一个等差数列的前12 项之和为 354,前 12 项中偶数项与奇数项之比为32：27,求公差 . 利用等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和公式及其性质娴熟地进行运算,例 15. 在等比数列an,已知a 15,a9a10100,求a18. 是高考命题重点考查的内容.解答有关数列问题时, 常常要运用各种数学思想 .差善于使用各种数学思想解答数列题,是我

6、们复习应达到的目标.函数思想：等数差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是n 的函数,所以等差等比数列的列某些问题可以化为函数问题求解. 与 分 类 讨 论 思 想 ： 用 等 比 数 列 求 和 公 式 应 分 为Sna11qnq1及等1q例 16.设数列 an 为等差数列, Sn 为数列 an 的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75, 比Snna1q1；已知S 求a 时,也要进行分类；整体思想：在解数列问题数时,应留意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整体思想求解.在解答有列差Tn 为数列 S n的前 n 项和,求 Tn. 关的数列应用题时,要仔细地进行分析,将实际问题抽象化,转化

7、为数学问题,等数n再利用有关数列学问和方法来解决.解答此类应用题是数学才能的综合运用,决列不是简洁地仿照和套用所能完成的.特殊留意与年份有关的等比数列的第几项不与要弄错 . 等例 17.三数成等比数列, 如将第三个数减去 32,就成等差数列, 如再将这等差数例 7.等差数列 a n 中,已知a 11,a 611,a n =33,就 n 为（3C50 D51 ）比3数A48 B49 列列的其次个数减去4,就又成等比数列,求原先三个数. 例 8.在等比数列a n中,a 712, q32,就a 19_.例 9.23 和 23 的等比中项为 A 1 1 C1D2例 18. 在 5 和 81 之间插入两

8、个正数,使前三个数成等差数列,后三个数成等比例 10. 在等比数列an中,a22,a554,求a ,例 11.在等比数列a n中,1a 和a 是方程2x25x10的两个根 , 数列,求这两个数的和 . 差数列就a4a7 与 5B2C1D1等2例 19. 设 an 是等差数列,nb1 2an,已知 b1+b2+b3=21 ,b1b2b3= 81 ,求等差数 8222比数例 12.已知等差数列a n满意a 1a2a 3a 1010,就有 列的通项 an. 列 A a 1a 1010B a2a 1000C a 3a990D a5151例 13. 已知数列an的前 n 项和Sn3 n22n,求证:数列

9、an成等差数列,并求其首项、公差、通项公式；例 20. 已知等差数列 an中, |a3|=|a9|,公差 d0,就使前 n 项和 Sn取最大值的名师归纳总结 正整数 n 是 第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载d25a 2 aq32 第 3 页,共 4 页A4 或 5 B5 或 6 C6 或 7 D8 或 9 例 14. 解一 ：设首项为a ,公差为 d就612a1d12 11d26 526 52 d2354数学基础学问与典型例题第三章数列 答案a12 d32例 1. 当n1时,a 1S 11 ,当n2时,a n2

10、n2n2 n1 2n1 4n3,经检6a117验n1 时1a1也适合a n4n3,a n4n3nN解二：S 奇S 偶354S 偶192由S 偶S 奇6dd5例 2. 解：anS nSn1,Sn2 Sn12n,S nS n11S 偶322n2n1S 奇162S 奇27设b nS n就bn是公差为 1 的等差数列 ,bnb 1n1又b 1S 1a 13, 2n22例 15. 解：a1a 18a9a10,a18a9a 101002022S nn1,Sn2n12n1,当n2时anS nSn12n32n2a 152n2例 16. 解题思路分析：an3n3 2n2n1,Sn2n12n1法一：利用基本元素分

11、析法2n2设 an 首项为 a1,公差为 d,就S 77a 1726d775a 11例 3 解：anS nS n1n2ann1 2an1从而有ann1an1S 1515a 1dn115 14da 11, a21,a321,a4321 ,a54321, 234354365434 S n2n n1S n2n21n5此式为 n 的一次函数a nn1 n213421n21 , S nn2an2n. 2n22n1n n3nn1 S n 为等差数列T n1n29n例 4.解：an121nn 211 2nn1 1Sn211 2111n1 112n1 12 nn443n23nn1法二： an 为等差数列,设

12、Sn=An 2+BnS 7A7227BB775例 5.A S 15A1515例 6. 解:S n12 x3 x24 x3n nx1xS nx2x233 xn1xn1n nx解之得：A15S n1n25n,下略 1xS n1xx2xn1nxn,2当x1 时,1xS n1n xn nx1n xn nxn nx111nn xn nx1S n11nn x2nxn1; B221x1x1x1x2当x1时,Sn1234nn12n例 9.C 注：法二利用了等差数列前n 项和的性质例 17.解： 设原先三个数为a ,aq,aq2就必有2 aqa2 aq32 , aq例 7.C 例 8.192 由：q4 aa2代

13、入得：a2或a5从而q5或 13 例 10. 解：a8a5q3a 5a5545414589a212原先三个数为 2,10,50或2,26,338另解：a 是a 与a 的等比中项,542a 82a81458999例 11.D 例 12.C 例 18.70 例 13.解：a 1S 1321 , 例 19. 解题思路分析：当n2时,anS nSn13 n22n3n1 22 n1 6n5,n1时亦满意 an 为等差数列bn 为等比数列an6n5, 首项1a1且ana n16n56n1 56常数 b1b3=b22 , b23=1 , b2= 81 ,2b 1b 3117,b 12或b 1an成等差数列且公差为6、首项a 11、通项公式为an6n58b 318名师归纳总结 b b 2b 2284- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - nb21n123 2n或1nb1 4 8n122n5学习必备欢迎下载第 4 页,共 4 页4nb1 2a n,anlogb , an=2n-3 或 an=-2n+5 例 20. 9 n23 n22名师归纳总结 - - - - - - -