2022年高中数学三角函数专题专项练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 【三角函数疑难点拔】一、 忽视隐含条件例 3 假设sinxcosx10,求 x 的取值范畴；x42k3kZ2 kx2k2kZ正解：2sinx41,由sin x42得2k424二、 无视角的范畴,盲目地套用正弦、余弦的有界性例 4 设1、为锐角,且+120,争论函数ycos 2cos 21的最值；cos11cos2cos2错解y1coscos1cos,可见,当22时,ymax3；当cos1时,ymin1；分析：由已知得30,90,6060,就221 2cos1,当cos1,即60 时,ymin1 2,最大值不存在；三、 无视应用均值不等式的条件例

2、 5 求函数ya2xb2xab0 ,0x2的最小值；xsin2x21,当sin2xa1时,ymin4 abcos2sin2错解ya2xb2x1sin2abx4 abx24ab0cos2sin2xcossin2分析：在已知条件下, 1、 2两处不能同时取等号；正解：ya2 1tan2b21cot2xa2b22tan2xb2cot2x,a2b22 abab当且仅当atanxbcotx,即tanxb,时,ymin ab 2a【经典题例】例 4：已知 b、c 是实数,函数fx=x2bxc对任意 、R有：fsin0,且f2cos0,fx0 ,1求 f 1的值； 2证明： c3 ；3设fsin的最大值为1

3、0,求 f x； 思路 1令 =2,得f1 ,0令 =,得f 1 0,因此f 1 0,；2证明：由已知, 当1x1时,当1x3时,fx0,通过数形结合的方法可得：f30,化简得c3；3由上述可知,-1 ,1 是fx的减区间,那么f110 ,又f 1 ,0联立方程组可得b,5 c4, 所以fx x25 x4例 5：关于正弦曲线答复下述问题： 1函数ylog1sin3ax的单调递增区间是？8 k2x8k4kZ；4332 2假设函数ysin2xcos2x的图象关于直线x8对称,就 a 的值是 1 ； 3把函数ysin x4的图象向右平移8个单位,再将图象上各点的横坐标扩大到原先的3 倍纵坐标不变 ,

4、就所得的函数解析式子是2ysin x8；例 6：函数fx1sinxx,1求 fx的定义域；2求 fx的最大值及对应的x 值；sinxcos1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 思路 1 x|x 2 k 且 x 2 k k Z 2 设 t=sinx+cosx, 就 y=t-1 y max 2 ,1 x 2 k k Z2 4例 7：在 ABC中,已知 sin A cos 2 Csin C cos 2 A 3sin B1求证： a、b、c 成等差数列； 2求角 B 的取值范畴；2 2 2 思 路 1条 件 等 式 降 次

5、化 简 得 sin A sin C 2 sin B a c 2 b22 2 a c 2cos B a c 2 3 a 2c 2 2 ac 6 ac 2 ac 1 , ,得 B 的取值范畴 0 , 2 ac 8 ac 8 ac 2 33 314设 x cos sin,且 sin cos 0,就 x 的取值范畴是 ,0 2 ；19已知 x 0 , ,证明不存在实数 m 0 1, 能使等式 cos x +msin x =m* 成立；22试扩大 x 的取值范畴,使对于实数 m 0 1, ,等式 * 能成立；3在扩大后的 x 取值范畴内,假设取 m 3 , 求出访等式 * 成立的 x 值；3提示：可化为

6、 m tan x 1 2x , 3x2 4 2 2 6最值问题典型错例例 5. 求函数 y sin x2 的最大值和最小值；13 4 cos x错解：原函数化为 4 y sin 2x sin x 9 y 0,关于 sin x 的二次方程的判别式 1 24 4 y 9 y 0,即1 y 1,所以 y max 1,y min 1；剖析：假设取 y 1,将导致 sin x 3 的错误结论,此题错在12 12 12 12 12 2无视了隐含条件 |sin |x 1；正解： 原函数化为4 y sin 2x sin x 9 y 0,当 y 0 时,解得 sin x 0 ,满意 sin x 12当 y 0

7、时 , 解 得 sin x 1 1 144 y, 又 sin x R,|sin | 1 , 就 有 1 144 y20 或8 y 1 1 144 y 21 18 y1 144 y 2 0,解得 1 y 1,所以 y max 1,y min 11 1 144 y 2 13 13 13 131 18 y难点 化简与求值【例】已知 3 ,cos = 12 ,sin + = 2 4 13例 1不查表求 sin 220 +cos 280 + 3 cos20 cos80 的值 . 3 , 求 sin2 的值 _. 5解法一： sin220 +cos280 +3 sin220 cos80 =1 1 cos4

8、0 + 21 1+cos160 + 23 sin20 cos80 sin120 =1 1 cos40 2+1 cos160 2+3sin20 cos60 +20 =1 1 cos40 2+1 cos120 2cos40 sin40 +3 sin20 cos60 cos20 sin60 sin20 =1 1 cos40 21 cos40 43 sin40 4+3 sin40 43 sin 2220=13 cos40 43 1 cos40 = 414解法二：设x=sin220 +cos280 +3 sin20 cos80 , y=cos220 +sin280 3 cos20 sin80 ,就2 名

9、师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - x+y=1+13 sin60 = 1 ,xy=cos40 +cos160 + 3 sin100 = 2sin100 sin60 + 3 sin100 =0 2 x=y= 1 ,即 x=sin 220 +cos 280 + 3sin20 cos80 = 1 . 4 4例 2关于 x 的函数 y=2cos 2x 2acosx 2 a+1 的最小值为 f a ,试确定满意 f a= 1 的 a 值,并对此时的 a 值求 y 的最大值 . 2解：由 y=2cos xa 2a 2 4 a 2 及

10、 cosx 1, 1得：2 2f a 1a 2 a 2 , f a= 1 , 14a= 1 a= 12,+ ,故a 2 2a 1= 1 ,解得： a= 1,此时,2 2 a 1 2 a 2 2 2 8 2 21 4 a a 2 y=2cos x+ 1 2+ 1 ,当 cosx=1 时,即 x=2k ,kZ,y max=5. 2 2难点训练1. 已知方程 x 2+4ax+3a+1=0a 1 的两根均 tan 、tan ,且 , , ,就 tan 的值是 2 2 2A. 1 B. 2 C. 4 D. 1 或 2 2 3 2 , 3 , 0 , , cos = 3 , sin 3 + = 5 ,就

11、sin + =_. 4 4 4 4 5 4 134. 不查表求值 : 2 sin 130 sin 100 1 3 tan 370 .1 cos 105. 已知 cos +x= 3 , 17x7 ,求 sin 2 x 2 sin 2 x 的值 . 4 5 12 4 1 tan xOAB的半径为 1,中心角 60 ,四边形 PQRS是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点 P 的位置,并求此最大面积 . +sin= 3 ,sin +cos 的取值范畴是 D,xD,求函数 y= log 1 2 x 3 的最小值,并求取得最小值时 x的值 . 2 4 x 10参考答案难点磁场解 法 一 ： 3 , 0

12、. + 3 , sin 2 4 4 4 = 1 cos 2 5, cos 1 sin 2 4 . sin2 =sin + + =sin 13 5 cos + +cos sin + 5 4 12 3 56 .；解法二： sin = 5 ,cos + = 4 , 13 5 13 5 65 13 5 sin2 +sin2 =2sin + cos = 72 sin2 sin2 =2cos + sin = 4065 65 sin2 = 1 72 40 562 65 65 65难点训练一、1. 解析：a 1,tan +tan =4a0；tan +tan =3a+1 0, 又 、 , 、 , , 就2 2

13、2 2 ,0, 又 tan + = tan tan 4 a 4, 又 tan 2 tan2 4, 整 理 得2 1 tan tan 1 3 a 1 3 1 tan 2 322tan2 3 tan 2 = 2. 答案： B 2 2 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 解析： 4,3 4, 4 0, 2, 又 cos 43 5 3 , cos4 13 4=3 . 512.56 65sin44,.3 43,.0,4sin5413sinsin432答案：4cos434cos4cos3sin4sin33124556.

14、4451351365即sin56655 . 解:cos4x3,sin2xcos24x7.525三、 4. 答案： 2又17x7,5x42,sinx4412435sin2x2sin2x2sinxcosx2sin2x2sinxsinxcosxcosx1tanx1sinxcosxsinxcosx7 4sin 2 x sin4 x 25 5 28cos x 3 754 57. 解：以 OA为 x 轴. O为原点,建立平面直角坐标系,并设P的坐标为 cos,sin,就PS =sin . 直线 OB的方程为 y= 3 x,直线PQ的方程为y=sin. 联立解之得 Q 3 sin ； sin ,所以 PQ=

15、cos 33 sin ； 于 是 SPQRS=sin cos 3 sin = 3 3 sin cos sin 2 = 3 3 sin2 3 3 3 3 21 cos 2 = 3 3 sin2 + 1 cos2 1 = 3 sin2 + 3 . 0 , 2 +5 . 1 2 3 2 2 2 3 6 6 3 6 6 6 2sin2 + 1. sin2 + =1 时, PQRS面积最大,且最大面积是 3 ,此时, =,点 P 为 的中点, P 3 , 1 . 6 6 6 6 2 28. 解：设 u=sin +cos . 就 u 2+ 3 2=sin +cos 2+cos +sin 2=2+2sin

16、+ 4. u 21, 1uD= 1,1 ,设 t = 2x 3 ,1x1,1tM4 2x x10 32 t 2 t4 2 t 14 4 12 8 2 .5 . x= 2t2 3 .当且仅当 2 t 4t , 即 t 2 时 , M max t8 2. y log 0 . 5 M 在 M 0 时是减函数 ,y min log .0 5 2 log 0 . 5 2 log 0 . 5 8 5 时 , 此时 t 2 , 2 x 3 2 , x 1 .8 2 2 提高训练 C 组 一、挑选题5已知 sinsin,那么以下命题成立的是A假设是第一象限角,就coscosB假设,是其次象限角,就tantan

17、C假设,是第三象限角,就coscosD假设,是第四象限角,就tantan二、填空题1已知角的终边与函数5x12y0,x0打算的函数图象重合,cos1 tan1的值为 _sin2假设是第三象限的角,是其次象限的角,就1 ,2是第象限的角4假如tansin0 ,且0sincos的终边在第象限那么4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5假设集合Ax k3xk,kZ,Bx| 2x2,就AB=_三、解答题1角的终边上的点 P 与Aa,b 关于 x 轴对称a0 ,b0,角的终边上的点 Q 与 A 关于直线yx对称,求3sin值t

18、an1costancossin求1sin6cos6的值sin4cos41参考答案一、挑选题5 D 画出单位圆中的三角函数线二、填空题177在角的终边上取点P 12,5,r13,cos2212,tanaZ,5 12,sin523k 1k 221313133,k1Z2一、或三2k 12k 1, 2 k22k 2,k 2k 1k 2424二tansinsin20,cos0,sin0ab2,cosacosb三、解答题,tana2bb2,cosaab2,tanbQ b a , ,sin1解：P a ,b ,sin2a22 ab2bsintancos112 ba2a22 b0costansina24 co

19、s11 3sin22 cos3解：1sin6cos61sin2cos2sin4sin2cos21sin4cos411 2sin22 cos112sin22 cos2【练习】一、二选择1、函数1的值域是A. 1,B.-2,2C. 0,2D.0,1 5、且 x 、填空3、 已 知 f x asinx bcosx为f x 的 一 条 对 称 轴 , 就 a ： b 的 值 为 . 4 、 假 设 函 数答 案 与 解 析一、选 择 题：1、选 B.,当 x 0 时, 22sinx 2 即 2y2；当 x0 时, y0 包含于 2,2. 于是可知所求函数值域为 2,2 ,故应选 B. 5、选 C. 解析：由 fx 在区间 , 上递增及 f x为奇函数,知 fx 在区间 , 上 递 增,该 区 间 长 度 应 小 于 或 等 于 fx的 半 个 周期 .,应选5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、是即填,又 x,空题3、答案： a：b 1；解析：由题设得为 f x的一条对称轴,当 x 时fx取得最值,4 、 答 案 ：, 解 析 ：于, 由 得：, 由a:b=1；,注意到 , 再注 意到 当 且仅当由及得6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页