2022年高中数学人教版选修-导数及其应用知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数学选修 2-2 导数及其应用学问点必记1函数的平均变化率为 y f f x 2 f x 1 f x 1 x f x 1 x x x 2 x 1 x注 1：其中 x 是自变量的转变量,可正,可负,可零；注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的 平均 速度；2 、 导 函 数 的 概 念 : 函 数 y f x 在 x x 0 处 的 瞬 时 变 化 率 是lim ylim f x 0 x f x 0 ,就称函数 y f x 在点 x 处可导,并把这个极限叫x 0 x x 0 x做 y f x 在 x 0 处 的 导 数,记 作 f x 0

2、或 y | x x 0,即f x 0 = lim ylim f x 0 x f x 0 . x 0 x x 0 x3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率；4 导数的背景 1切线的斜率； 2瞬时速度； 3边际成本；5、常见的函数导数和积分公式名师归纳总结 函数导函数不定积分第 1 页,共 5 页ycy0 yn xnN*ynxn1n x dxxn1n1yaxa0,a1yaxlnax a dxaxlnayx eyx ex e dxx eylogaxa0,a1,x0yx1alnylnxy11dxlnxxxysinxycosxcosxdxsinxsinxdxcosx

3、ycosxysinxx , g x 均可导可积,就有：6、常见的导数和定积分运算公式:假设 f和差的导数运算f x g x f g - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x g x f f x g 积的导数运算特殊地：Cf x Cf x f f x g x f x g2 0g x g x 商的导数运算特殊地：1 g2 g x g x复合函数的导数 y x y u u xbaf x dx 其 中微积分基本定理F x f x b b ba f 1 f 2 x dx a f x dx a f 2 x dx和差的积分运算 b b特殊地：a kf x dx k

4、a f x dx k为常数 b c b积分的区间可加性a f x dx a f x dx c f x dx 其中 a c b 6.用导数求函数单调区间的步骤 :求函数 fx的导数 f x 令 f x 0,解不等式,得 x 的范畴就是递增区间 .令 f x 0,解不等式,得 x 的范畴,就是递减区间； 注：求单调区间之前肯定要先看原函数的定义域；7.求可导函数 fx的极值的步骤： 1确定函数的定义域； 2 求函数 fx的导数f 3求方程 f x =0 的根4 用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间,并列成表格,检查 f / x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么

5、 fx在这个根处取得极大值；假如左负右正,那么 fx在这个根处取得微小值；假如左右不转变符号,那么fx在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求fx在a,b上的最大值与最小值的步骤如fx下： 求f x 在a,b上的极值；将的各极值与f a ,f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值；就是所求的最值点；注：实际问题的开区间唯独极值点9求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限“以直代曲”的思想10.定积分的性质名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 依据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质：性质

6、 1 b a1 dxba x dxbfm 性质 5 假设fx 0 ,xa,b,就bfx dx0a推广：bf1 f2 fm x dxbf1 x dxbf2aaaa推广 :bf x dxc 1f x dxc 2f x dxbf x dxac kac 111 定积分的取值情形 :定积分的值可能取正值,也可能取负值,仍可能是0. l 当对应的曲边梯形位于x 轴上方时,定积分的值取正值,且等于x 轴上方的图形面积；2当对应的曲边梯形位于x 轴下方时,定积分的值取负值,且等于x 轴上方图形面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于 位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为 0,且等于

7、x 轴上方图形的面积减去下方的图形的 面积12物理中常用的微积分学问1位移的导数为速 度,速度的导数为加速度；2力的积分为功；推理与证明学问点13.归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的 结论,像这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理；14.归纳推理的思维过程大致如图：试验、观看 概括、推广 推测一般性结论15.归纳推理的特点 : 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论 是尚属未知的一般现象； 由归纳推理得到的结论具有推测的性质,结论是否真 实,仍需经过规律证明和试验检验,因此,它不能作为数学证明的工具；归纳 推理是一种具有制造性的推理, 通过归

8、纳推理的猜想, 可以作为进一步讨论的起 点,帮忙人们发觉问题和提出问题；名师归纳总结 16.类比推理的定义：依据两个或两类对象之间在某些方面的相像或相同,第 3 页,共 5 页推演出它们在其他方面也相像或相同,这样的推理称为类比推理； 类比推理是由特殊到特殊的推理；17.类比推理的思维过程观看、比较联想、类推估计新的结论- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 18.演绎推理的定义：演绎推理是依据已有的事实和正确的结论包括定义、公理、定理等 依据严格的规律法就得到新结论的推理过程；演绎推理是由一般到特殊的推理；19演绎推理的主要形式：三段论20.“ 三段论”

9、可以表示为：大前题： M是 P小前提： S是 M 结论： S是 P；其中是大前提, 它供应了一个一般性的原理；是小前提, 它指出了一个特殊对象；是结论,它是依据一般性原理,对特殊情形做出的判定；21.直接证明是从命题的条件或结论动身,依据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性；直接证明包括综合法和分析法；22.综合法就是“ 由因导果” ,从已知条件动身,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结论；23.分析法就是从所要证明的结论动身,不断地用充分条件替换前面的条件或者肯定成立的式子,可称为“ 由果索因” ；要留意表达的形式：要证 A,只要证 B,B 应是 A 成立的充分条件 . 分

10、析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开；24 反证法：是指从否认的结论动身,经过规律推理,导出冲突,证明结论的否认是错误的,从而确定原结论是正确的证明方法；25.反证法的一般步骤 1假设命题结论不成立, 即假设结论的反面成立；2从假设动身,经过推理论证,得出冲突；3从冲突判定假设不正确,即所求证命题正确；26 常见的“ 结论词” 与“ 反义词”原结论词 反义词 原结论词 反义词至少有一个 一个也没有 对全部的 x 都成立 存在 x 使不成立至多有一个 至少有两个 对任意 x 不成立 存在 x 使成立至少有 n 个 至多有 n-1 个 p 或 q p 且 q至多有 n 个 至少有 n+1 个

11、p 且 q p 或 q27.反证法的思维方法 :正难就反28.归缪冲突 1与已知条件冲突 :2与已有公理、定理、定义 冲突； 3自相冲突29数学归纳法只能证明与正整数有关的数学命题的步骤 1证明：当 n 取第一个值n 0 n 0 N 时命题成立； 2假设当 n=k kN *,且 kn0时命题成立,证明当 n=k+1时命题也成立 .由1,2可知,命题对于从 n0开头的全部正整数 n都正确 注：常用于证明不完全归纳法估计所得命题的正确性的证明；数系的扩充和复数的概念学问点30. 复数的概念：形如 a+bi的数叫做复数,其中 i 叫虚数单位, a 叫实部,b叫虚部,数集 C a bi a b R 叫

12、做复数集；规定：a bi c di且b=d,强调：两复数不能比较大小,只有相等或不相等；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 实数 b031数集的关系：复数Z虚数 b0一般虚数 a00纯虚数a32. 复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应；33. 复平面：依据复数相等的定义,任何一个复数 z a bi,都可以由一个有序实数对 a , b 唯独确定；由于有序实数对 a , b 与平面直角坐标系中的点一一对应,因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应；这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面

13、,x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴；实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数；34. 求复数的模 确定值 与复数 z 对应的向量 OZ 的模 r 叫做复数 z a bi 的模 也叫确定值 记作 z或 a bi；由模的定义可知：z a bi a 2b 235. 复数的加、减法运算及几何意义复数的加、 减法法就：z 1 a bi 与z 2 c di,就 z 1 z 2 a c b d i ；注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行；复数的乘法法就：abibicdicacbdadbc i ；其中 cdi叫做实数化复数的除法法就：aabidiacbdbcad i 2 dcdicdicdic2d2c2因子36.共轭复数 : 两复数 abi与abi互为共轭复数,当b0时,它们叫做共轭虚数；常见的运算规律名师归纳总结 1z1iz;4 n2zz2 , a zz2 ;2zR0,3n1,3n2,3n31第 5 页,共 5 页3z zz2z2a2b2;4zz ;5zz6i4ni i21,i4n3i i4n41;7 121i;81ii,1ii,1ii1i1i23 i9设是 1 的立方虚根,就122- - - - - - -