2022年高中数学排列组合题型总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 排列组合题型总结排列组合问题千变万化,解法敏捷,条件隐晦,思维抽象,难以找到解题的突破口；因而在求解排列组合应用题时,除做到：排列组合分清,加乘原理辩明,防止重复遗漏外,仍应留意积存排列组合问题得以快速精确求解；一 直接法1 特别元素法例 1 用 1, 2,3, 4,5, 6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满意以下条件的四位数各有多少个1数字 1 不排在个位和千位 2数字 1 不在个位,数字6 不在千位；2 A,其余2 位有四个可供挑选2 A,由乘法原理：分析： 1个位和千位有5 个数字可供挑选2 A 5A =240 22特别位置法3

2、1 12当 1 在千位时余下三位有 A =60 ,1 不在千位时,千位有 A 种选法,个位有 A 种,余下的2 1 1 2有 A ,共有 A 4 A 4 A =192 所以总共有 192+60=252 二 间 接 法 当 直 接 法 求 解 类 别 比 较 大 时 , 应 采 用 间 接 法 ； 如 上 例 中 2 可 用 间 接 法4 3 2A 6 2 A 5 A 4 =252 例 2 有五张卡片,它的正反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑 0 与 1 卡片用与不用,

3、且用此卡片又分使用 0 与使用 1,类别较复杂,因3 3 3而可使用间接运算：任取三张卡片可以组成不同的三位数 C 5 2 A 3 个,其中 0 在百位的有2 2 2C 4 2 A 2 个, 这 是 不 合 题 意 的 ；故 共 可 组 成 不 同 的 三 位 数3 3 3 2 2 2C 5 2 A 3-C 4 2 A=432 个三 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法；例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中,暂时插入两个唱歌节目,且保持原节目次序,有多少中插入方法？分析：原有的8 个节目中含有9 个空档,插入一个节目后,空档变为10 个,故有1 A 91 A 10=100中插

4、入方法；名师归纳总结 四 捆绑法当需排元素中有必需相邻的元素时,宜用捆绑法；第 1 页,共 6 页例44 名男生和 3 名女生共坐一排,男生必需排在一起的坐法有多少种？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有4 A 种排法,而男生之间又有4 A 种排法,又乘法原理满意条件的排法有：A 4A =576 4种练习 1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,假设使每个盒子不空,就不同的放法有C2 34A 319 A 282某市植物园要在30 天内接待20 所学校的同学参观,但每天只能支配一所学校,其中有一所学校人

5、数较多,要支配连续参观2 天,其余只参观一天,就植物园30 天内不同的支配方法有C129留意连续参观2 天,即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C1其余的就是19 所29学校选 28 天进行排列五 阁板法 名额安排或相同物品的安排问题,相宜采阁板用法例 5 某校预备组建一个由 12 人组成篮球队,这 12 个人由 8 个班的同学组成,每班至少一人,名额分配方案共 种 ；分析：此例的实质是 12 个名额安排给 8 个班,每班至少一个名额,可在 12 个名额种的 11 个空当中7插入 7 块闸板,一种插法对应一种名额的安排方式,故有 C 11 种练习 1.a+b+c+d 15

6、 有多少项？1 1 0当项中只有一个字母时,有 C 种即 a.b.c.d 而指数只有 15 故 C 4C 14；2当项中有 2 个字母时,有 C 4 而指数和为 15 ,即将 15 安排给 2 个字母时,如何分,闸板法一分为 2,1 2 1C 14 即 C 4 C 143 3 2当项中有 3 个字母时 C 指数 15 分给 3 个字母分三组即可 C 4C 144 3当项种 4 个字母都在时 C 4 C 14 四者都相加即可练习 2有 20 个不加区分的小球放入编号为数,问有多少种不同的方法？C2161,2,3 的三个盒子里,要求每个盒子内的球数不少编号493不定方程 X1+X 2+X 3+ +

7、X 50 =100 中不同的整数解有C 99六 平均分堆问题 例 6 6 本不同的书平均分成三堆,有多少种不同的方法？3分析：分出三堆书a1,a2 ,a3,a4, a5,a6由次序不同可以有 A =6 种,而这 6 种分法只算一种分2 2 2C 6 C 4 C 2堆方式,故 6 本不同的书平均分成三堆方式有 3 =15 种A 3练习： 1 6 本书分三份, 2 份 1 本, 1 份 4 本,就有不同分法？名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2某年级 6 个班的数学课,安排给甲乙丙三名数学老师任教,每人教两个班,就分派方

8、法的种数；七合并单元格解决染色问题例 7 全国卷文、理 如图 1,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不 得使用同一颜色,现有四种颜色可供挑选,就不同的着色方法共有 种以数字作答 ；分析：颜色相同的区域可能是 2、3、 4、5下面分情形争论 : 当 2、 4 颜色相同且3、 5 颜色不同时,将2、 4 合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于4个元素的全排列数 A 4 42,4当 2、4 颜色不同且3、 5 颜色相同时,与情形 类似同理可得 A 4 4种着色法当2、4 与 3、5分别同色时,将2、4； 3、 5 分别合并,这样仅有三个单元格2,43,5从 4 种颜色中选3

9、 种来着色这三个单元格,计有C33 A 3种方法4由加法原理知：不同着色方法共有24 A 4C33 A 3=48+24=72种4练习 1天津卷文 将 3 种作物种植1 2 3 4 5 在如图的 5 块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不同的种植方法共 种以数字作答72 2江苏、辽宁、天津卷理某城市中心广场建造一个花圃,花圃 6 分为个部分如图 3,现要栽种 4 种颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话,不同的栽种方法有 种以数字作答120 62534ABD1CE图 3 图 4 3如图 4,用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色,相邻部分不

10、能用同一颜色,但同一种颜色可以反复使用也可以不用,就符合这种要求的不同着色种数540 4如图 5：四个区域坐定 4 个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必需穿同种颜色的服装,且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着名师归纳总结 色方法是种 84 A第 3 页,共 6 页43CBDE12图 6 图 5 5将一四棱锥 图 6 的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,假设只有五种颜色可供使用,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就不同的染色方法共 种 420 八 递推法例八 一楼梯共10 级,

11、假如规定每次只能跨上一级或两级,要走上这 10 级楼梯,共有多少种不同的走法？分析：设上 n 级楼梯的走法为a n 种,易知 a1=1,a 2=2, 当 n2 时,上 n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最终一步跨一级, 有 an-1 种走法,其次类是最终一步跨两级,有 an-2 种走法, 由加法原理知： an=a n-1 + an-2 ,据此, a3=a1 +a2=3,a4=a# +a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8 =34,a9=55,a10=89. 故走上 10 级楼梯共有 89 种不同的方法；九. 几何问题1四周体的一个顶点位A, 从其它顶点与各棱中点取3 个

12、点, 使它们和点A 在同一平面上, 不同的取法有种 3C3+3=33 3 个点确定一个平面,共能确定多少个平面？52.四周体的棱中点和顶点共10 个点 1从中任取C3-43 C+4-3C +3-6C 33 4+6+2 6=29 三棱锥C10 4-4C64-6C4 4-3C44=141 四棱锥6 4102 以这10 个点为顶点,共能确定多少格凸棱锥？4=96 3 6=18 共有 114 十 先选后排法例 9 有甲乙丙三项任务,甲需2 人承担,乙丙各需1 人承担,从 10 人中选派 4 人承担这三项任务,不同的选派方法有B.2025 种C.2520 种D.5054 种A.1260 种分析：先从10

13、 人中选出 2 人十一用转换法解排列组合问题例 10某人连续射击 8 次有四次命中,其中有三次连续命中,按“ 中” 与“ 不中” 报告结果,不同的结果有多少种2解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球,其中只有三个黑球相邻的排列问题A 5 =20 种例 11 个人参与秋游带 10 瓶饮料,每人至少带 1 瓶,一共有多少钟不同的带法解 把问题转化为 5 个相同的白球不相邻地插入已经排好的 10 个相同的黑球之间的 9 个间隙种的排列问5题C 9 =126 种例 12 从 1, 2,3, , 1000 个自然数中任取 10 个不连续的自然数,有多少种不同的去法10解 把稳体转化为 10 个相同

14、的黑球与 990 个相同白球,其其中黑球不相邻的排列问题；C 991例 13 某城市街道呈棋盘形,南北向大街 5 条,东西向大街 4 条,一人欲从西南角走到东北角,路程最短的走法有多少种解 题例 14无论怎样走必需经过三横四纵,因此,把问题转化为3 个相同的白球与四个相同的黑球的排列问C3=35 种7一个楼梯共18 个台阶 12 步登完,可一步登一个台阶也可一步登两个台阶,一共有多少种不同的走法名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解依据题意要想12 步登完只能6 个一步登一个台阶,6 个一步登两个台阶,因此,把问题转化

15、为66个相同的黑球与 6 个相同的白球的排列问题C 12 =924 种例 15 求 a+b+c 10的绽开式的项数解 绽开使的项为 abc,且 + + =10 ,因此,把问题转化为 2 个相同的黑球与 10 个相同的白球的排2列问题C 12 =66 种例 16 亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有 5 名队员,按事先排好的次序参与擂台赛,双方先由 1 号队员比赛,负者剔除,胜者再与负方 2 号队员竞赛,直到一方全被剔除为止,另一方获胜,形成一种竞赛过程那么全部可能显现的竞赛过程有多少种？解 设亚洲队队员为 a1 ,a2 ,a5,欧洲队队员为 b 1, b 2, , b 5,下标表示事先排列的出场次序,

16、假设以依次被剔除的队员为次序竞赛过程转化为这 10 个字母相互穿插的一个排列,最终师胜队种步被剔除的队员和可能未参与参赛的队员,所以竞赛过程可表示为 5 个相同的白球和 5 个相同黑球排列问题,竞赛过6程的总数为 C 10 =252 种十二转化命题法例 17 圆周上共有15 个不同的点,过其中任意两点连一弦,这些弦在圆内的交点最多有多少各？C4 15就问题分析： 因两弦在圆内假设有一交点,就该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形,化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形,因此这些现在圆内的交点最多有=1365个十三概率法例 18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、

17、英语、体育六节课,假如数学必需排在体育之前,那么该天的课程表有多少种排法？分析：在六节课的排列总数中,体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等,均为1,故本2例所求的排法种数就是全部排法的1,即1A=360种22十四除序法例 19 用 1, 2,3,4, 5,6, 7 这七个数字组成没有重复数字的七位数中, 1假设偶数2,4, 6 次序肯定,有多少个？ 2假设偶数2,4, 6 次序肯定,奇数1,3, 5,7 的次序也肯定的有多少个？解 17 A 7 27 A 73 A 33 A 34 A 4十五错位排列例 20 同室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的卡片,就不同的安排方法有 种 9公式 1a n n 1 a n 1 a n 2 n=4 时 a4=3a 3+a 2=9 种 即三个人有两种错排,两个人有一种错排名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2a =n.1-1 + .11 -2 .1 + + .31n1n .名师归纳总结 练习有五位客人参与宴会, 他们把帽子放在衣帽寄放室内,宴会终止后每人戴了一顶帽子回家,回家后,第 6 页,共 6 页他们的妻子都发觉他们戴了别人的帽子,问5 位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？44 - - - - - - -