2022年高中数学教案-人教A版等比数列的前n项和.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第九课时 等比数列的前 n 项和 一 教学目标：会用等比数列求和公式进行求和,敏捷应用公式与性质解决一些相关问题；培育同学的综合才能,提高同学的数学修养. 教学重点：1.等比数列的前n 项和公式 . . 2.等比数列的前n 项和公式的推导教学难点：敏捷应用公式解决有关问题 . 教学过程：.复习回忆前面我们一起学习有关等比数列的定义、通项公式及性质. 1定义式：an an1qn2, q 0 2通项公式： ana1q n1a1,q 0 3性质： a,G,b 成等比数列G2abanapaq在等比数列 an 中,如 mnpq,就 am

2、.讲授新课前面我们一起探讨了等差数列的求和问题,等比数列的前 看引言 . n 项和如何求 .下面我们先来引言中提到的问题是这样的：求数列 1,2,4, , 263的各项和 .可看出,这一数列为一以 a11,q2 的等比数列 .这一问题相当于求此数列的前 64 项的和 . 1.前 n 项和公式一般地,设有等比数列 a1,a2,a3, , an, ,它的前 n 项和是 Sna1a2 an. 刚才问题即为求：S64a1a2 a64124 2 63我们发觉,如在式两边同乘以 2,就得2S64 24 2 632 64由可得：S642 64 1 同理,可知,如 Sna1a2a3 an又在等比数列中,ana

3、1q n1, a1a1qa1q 2 a1q n2a1q n1, qSna1qa1q 2a1q 3 a1q n1a1q n不妨将上两式相减可得 1qSna1a1q n（1）当 q 1,Snna1（2）当 q 1 时, Sna1（1q n）1qa1,q,an 时,就选用公式. 或 Sna1anq 1 q如已知 a1,q,n,就选用公式；当已知2.例题讲解名师归纳总结 例 1求等比数列1,2,4, 从第 5 项到第 10 项的和 . 第 1 页,共 4 页分析：等比数列的第5 项到第 10 项可组成一新等比数列. 解法一：由1,2,4, 可知： a11,q2 an2 n1, a52416, a102

4、9512. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载6）1008. 从第 5 项到第 10 项共有 6 项,它们的和为：16（121 2答案：从第 5 项到第 10 项的和为 1008. 解法二：从第 5 项到第 10 项的和为： a5 a6a7a8a9a10 S10S4由 a11,q 2 得 Sna1（1q1 q n）2 n1, S102 10 11023 S42 41 15,S10S41008. 答：从第 5 项到第 10 项的和为 1008. 例 2一条信息,如一人得知后用一小时将信息传给两个人,这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外

5、两人,如此连续下去,一天时间可传遍多少人 . 分析：得知信息的人数可组成一以 1 为首项,公比为 2 的等比数列 . 解：依据题意可知,获知此信息的人数依次为 1,2,4,8, 是一以 a11,q2 的等比数列 . 一天内获知此信息的总人数为即为此数列的前24 24 项之和 S2412 1 22241 答：一天时间可传遍2241 人. 评述：应先将所遇问题数学化,然后用有关学问加以解决. .课堂练习课本 P54 练习 1,2,3, 4 .课时小结等比数列求和公式：Sna1（1q1q n）或 Sna1anq 1q q 1及推导方法：错位相减法 .是本节课应重点把握的内容,课后应进一步娴熟公式把握

6、其基本应用 . .课后作业课本 P58 习题1,2, 7 n 项和 一 等比数列的前名师归纳总结 1如数列 an 的前 n 项和为 Snan1a 0,就这个数列的特点是D.49 （）第 2 页,共 4 页A. 等比数列B.等差数列（）C.等比或等差数列D.非等差数列2等比数列 an 中,如 S691,S27,就 S4为A.28 B.32 C.35 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3数列 an的通项公式为ann1学习必备欢迎下载（）n 1,如 Sn9,就 n 等于A.9 B.10 C.99 D.100 1 2 3 n4使数列 10 11,1011,10

7、11, ,1011, ,前 n 项之积大于 10 5,就自然数 n 值为（）A.6 B.9 C.11 D.12 5已知两数的等差中项是 10,等比中项是 8,就以这两数为根的一元二次方程是（）A. x 210x 80 B.x 210x640 C.x 220x640 D.x 220x640 6在等比数列中,如 S1010,S2030,就 S30. 7在正实数组成的等比数列中,如 a4a5a63,就 log3a1log3a2log3a8log3a9. 8在等比数列中,a1 a2a3a4 a53,a6 a7a8a9a109,就 a11a12a13a14a15. a1a3 a99已知等差数列 an 的

8、公差 d 0,且 a1, a3,a9成等比数列,就 a2 a4a10. 1 1 110数列 1 2,2 4,3 8, 的前 n 项和为 . 11已知等比数列中 an ：1, 2,4,8, ,它的第 n 项为 an,求 a3n. 12已知数列 an中, Sn是它的前 n 项和,并且 Sn+14an2n1,2, ,a11 （1）设 bnan+12ann 1,2, ,求证 bn 是等比数列；（2）设 cnan 2 n1,2, ,求证 cn 是等差数列；（3）求数列 an 的通项公式及前 n 项和公式 . 等比数列的前 n 项和 一答案1C 2 A 3C 4C 5 D 670 743 827 9131

9、6 1012（ n 2 n2）12 n 11a3n 2 3n112已知数列 an中, Sn是它的前 n 项和,并且 Sn+14an2n1,2, ,a11 （1）设 bnan+12ann 1,2, ,求证 bn 是等比数列；名师归纳总结 （2）设 cnan 2n1,2, ,求证 cn 是等差数列；第 3 页,共 4 页（3）求数列 an 的通项公式及前n 项和公式 . 解：（1） Sn+14an2 Sn+2 4an+12 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载得： Sn+2Sn+14an+1 4ann1,2, ,即 an+24an+14an

10、 an+22an+12an+12an bnan+12ann1,2, bn+1 2bn由此可知,数列 bn 是公比为 2 的等比数列 . 由 S2a1a24a12,又 a11,得 a2 5 b1a22a13, bn 3 2 n12cnan 2 n1,2, ,cn+1 cnan1 2 n1 an 2 n an 12an 2 n12 bn n1将 bn3 2 n1 代入,得 cn+1cn3 4 n1, 2, 由此可知：数列 cn 是公差为3 4的等差数列, c1a1 21故 cn1 23 4（n1） 3 4 n1 43cn3 4 n1 41 4（ 3n1）an2 ncn3n12 n2n1,2, 当 n2 时, Sn4an123n4 2 n12. 由于 S1a11 也适合于此式 , 名师归纳总结 前 n 项公式为： Sn3n 42 n12 第 4 页,共 4 页- - - - - - -