2022年数学模型作业答案推荐 .pdf

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1、问题 1: 如果在食饵 - 捕食者系统中,捕食者掠食的对象只是成年的食饵,而未成年的食饵因体积太小免遭捕获 .在适当的假设下建立这三者之间关系的模型,求平衡点 . 设：我们将食饵与捕食者分别记作x（t） ，y（t） ，即 x (t)=rx 而捕食者的存在使鱼饵的增长率减小，设减小程度与捕食者的数量成正比，即x (t)=x(r-ay)=rx-ax. 同样对于捕食者 y y(-d+bx)=-dy+bxy 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - -

2、- - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 问题 2: 恶狼追兔问题 . 设有一只兔子和一只狼,兔子位于狼的正西100m 处。假设兔子与狼同时发现对方，并开始了一场追逐。兔子往正北60m 处的巢穴跑，而狼则在其后追赶。假设兔子和狼均以最大速度匀速奔跑且狼的速度是兔子速度的两倍。问兔子能否安全回到巢穴。解：设，兔子的速度为v，那么兔子回到家所用时间为60/v，狼若想抓住兔子，则应在兔子回家前完成抓捕，并且应

3、走直线。如图：则则狼若恰好在兔子回家瞬间抓住兔子， 则狼所使用的时间为116.6/2v。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 这应是狼所用最长时间，即60/v116.6/2v。所以，无论兔子以多快速度回家都会被狼抓住。但是这是理想化模型， 实际模型狼的运动模型应为一条曲线，曲线的切线与 y 轴点焦点为现在兔子的位置。可得方程组1;Y-y=(dy/dt*dt/dx)(X-x) 2:v*t-y=(dy/dt*dt/dx)*

4、(0-x) （其中 x，y 为曲线上的点， X，Y 为切线上的点）这是一个二阶微分方程，它满足y（100）=0 令p=dy/dx， dp/dx=d2y/dx2， 代入 （4 ），可得 ：lnp+1+p201/2/2=0.5*lnx+c ，p（100）=0，所以 c=-ln10 可得 dy/dx=p=（x1/2/10-10/x1/2）/2 从而 y=（x-300）*x1/2/30+200/3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 令 x=0 得 y（0）=200/360，即曲线与 y 轴的焦点在兔子的家之后，故在实际中兔子可以顺利回家。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -