2022年高中立体几何教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案 高中立体几何教案 第一章 直线和平面 两个平面平行的性质教案教学目标 1使同学把握两个平面平行的性质定理及应用；2引导同学自己探究与争论两个平面平行的性质定理,培育和进展同学发觉问题解决问题的 才能教学重点和难点重点：两个平面平行的性质定理；难点：两个平面平行的性质定理的证明及应用教学过程 一、复习提问老师简述上节课争论的主要内容（即两个平面的位置关系,平面与平面平行的定义及两个平面 平行的判定定理）,并让同学回答：（1）两个平面平行的意义是什么？（2）平面与平面的判定定理是怎样的？并用命题的形式写出来？（老师板书平面与平面

2、平行的定义及用命题形式书写平面与平面平行的判定定理）（目的：（ 1）通过同学回答,来检查同学能否正确表达学过的学问,正确懂得平面与平面平 行的判定定理（ 2）板书定义及定理内容,是为同学推测并发觉平面与平面平行的性质定理作准 备）二、引出命题（老师在对上述问题讲评之后,点出本节课主题并板书,平面与平面平行的性质）师：从课题中,可以看出,我们这节课争论的主要对象是什么？生：两个平面平行能推导出哪些正确的结论师：下面我们推测一下,已知两平面平行,能得出些什么结论（同学谈论）师：推测是发觉数学问题常用的方法“ 没有大胆的猜想,就作不出宏大的发觉” 但猜想不 是盲目的,有一些常用的方法,比如可以对已有

3、的命题增加条件,或是交换已有命题的条件和结 论也可通过类比法即通过两个对象类似之处的比较而由已经获得的学问去引出新的猜想等来得到 新的命题名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案（不仅要引导同学猜想,同时又给同学详细的猜想方法）师：前面,复习了平面与平面平行的判定定理,判定定理的结论是两平面平行,这对我们猜想 有何启示？生：由平面与平面平行的定义,我猜想：两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一 个面师：很好,把它写成命题形式（老师板书并作图,同时指出,先作猜想、再一起证明）猜想一：已知：平面 ,

4、直线 a ,求证： a 生：由判定定理“ 垂直于同一条直线的两个平面平行” 我猜想：一条直线垂直于两个平行平 面中的一个平面,它也垂直于另一个平面 老师板书 猜想二：已知：平面 ,直线 l 求证： l 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案 师：这一猜想的已知条件不仅是“ ” ,仍加上了“ 直线 l ” 下面请同学们看课本 上关于判定定理“ 垂直于同始终线的两平面平行” 的证明在证明过程中,“ 平面 =a,平面 =a ” a 与 a 是什么关系？生： a a 师：如改为 不是过 AA 的平面,而是任意

5、一个与 , 都相交的平面 同学们考虑一下是 否可以得到一个猜想呢？（同学争论）生：假如一个平面与两个平行平面中的一个相交,也必与另一个平面相交” 老师板书 猜想三：已知：平面 ,平面 =a,求证： 与 肯定相交师：怎么作这样的猜想呢？生：我想起平面几何中的一个结论：“ 一条直线与两条平行线中的一条相交,也必与另一条相 交”师：很好,这里实质用的是类比法来猜想就是把原先的直线类似看作平面两平行直线类似 看作两个平行平面,从而得出这一猜想大家再考虑,猜想三中,一个平面与两个平行平面相交,得到的交线有什么位置关系？生：平行 师：请同学们表达出这个命题生：假如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们

6、的交线平行 老师板书 猜想四：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案已知：平面 ,平面 =a, =b求证： a b 通过复习定理的证明方法,既发觉了猜想三,猜想四,同时又复习了定理的证明方法,也为 猜想四的证明,作了铺垫 师：在得到猜想三时,我们用到了类比法,实际上,在立体几何的争论中,将所要解决的问题与平面几何中的有关问题作类比,经常能给我们以启示,发觉立体几何中的新问题比如：在平面几何中,我们有这样一条定理：“ 夹在两条平行线间的平行线段相等” ,请同学们用类比的方法,看能否得出一个立体几何中的猜

7、想？生：把两条平行线看作两个平行平面,可得猜想：夹在两个平行平面间的平行线段相等 老师板书 猜想五：已知：平面 ,AA BB ,且 A,B ,B,B 求证： AA=BB 该命题,在教材中是一道练习题,但也是平面与平面平行的性质定理,为了完整表达平面与平面平行的性质定理,故尔把它放在课堂上进行分析 三、证明猜想师：通过分析,我们得到了五个猜想,猜想的结论往往并不完全牢靠得到猜想,并不意谓着我们已经得到了两个平面平行的性质定理,下面主要来论证我们得到的猜想是否正确名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 师生相互沟通,共同完成

8、猜想的论证名师精编优秀教案 师：猜想一是由平面与平面平行的定义得到的,因此在证明过程中要留意应用定义 猜想一证明 证明：由于 ,所以 与 无公共点又 由于 a ,所以 a 与 无公共点故 a 师：利用平面与平面平行的定义及线面平行的定义,论证了猜想一的正确性这便是平面与平 面平行的性质定理一简言之,“ 面面平行,就线面平行” 老师擦掉“ 猜想一” ,板书“ 性质定理一” 论证完猜想一之后,老师与同学共同争论了“ 猜想二” ,发觉,如论证了“ 猜想四” 的正确 性质,“ 猜想二” 就简洁证了,因而第一争论“ 猜想三,猜想四” 师：“ 猜想三” 是类比平面几何中的结论得到的,仍记得中学时,是怎么证

9、明的？ 同学回答：反证法 师：那么,大家可否类比中学的证明方法来证明“ 猜想三” 呢？生：用反证法：假设 与 不相交,就 这样过直线 a 有两个平面 和 与 平行与“ 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行” 冲突故 与 相交师：很好由此可知：不只是发觉问题时可用类比法,就是证明方法也可用类比方法不过猜 想三,虽已证明为正确的命题,但教材中并把它作为平面与平面平行的性质定理,大家在今后应用 中要留意 猜想四的证明 师：猜想四要证明的是直线生：（证法一）由于 a ,所以 a 与 无公共点a b,明显 a,b 共面于平面 ,只需推导出 a 与 b 无公共点即可名师归纳总结 又由于 a ,b 第

10、 5 页,共 11 页所以 a 与 b 无公共点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又由于 a ,b ,名师精编优秀教案所以 a b师：我们来探讨其它的证明方法要证线线平行,可以转化为线面平行生：（证法二）由于 a ,又由于 ,所以 a 又由于 a ,且 =b,所以 a b师：用两种不同证法得出了“ 猜想四” 是正确的这是平面和平面平行的性质定理二 老师擦掉“ 猜想四” ,板书“ 性质定理二” 师：平面与平面平行的性质定理二给出了在两个平行平面内找一对平行线的方法即：“ 作一平面,交两面,得交线, 就线线平行 ” 同时也给我们证明两条直线平行的又一方法简

11、言之,“ 面面平行,就线线平行” 猜想二的证明 师：猜想二要证明的是直线l ,依据线面垂直的判定定理,就要证明l 和平面 内的两条相交直线垂直那么如何在平面 内作两条相交直线呢？ 引导同学回忆：“ 垂直于同始终线的两个平面平行” 的定理的证明 生：（证法一）设 l =A,l =B过 AB作平面 =a, =a 名师归纳总结 由于 ,所以 a a 第 6 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案再过 AB作平面 =b, =b 同理 b b 又由于 l ,所以 l a,l b,所以 l a ,l b ,又 a b= ,故 l 师：

12、要证明 l ,依据线面垂直的定义,就是要证明 生：（证法二）l 和平面 内任何一条直线垂直在 内任取一条直线 b,经过 b 作一平面 ,使 =a,由于 ,所以 a b,因此 l ,a ,故 l a,所以 l b又由于 b 为 内任意一条直线,所以 l 老师擦掉“ 猜想二” ,板书“ 性质定理三” 猜想五的证明 名师归纳总结 证明：由于 AA BB ,B 第 7 页,共 11 页所以过 AA , BB 有一个平面 ,且 =AB, =A- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于 ,名师精编优秀教案所以 AB AB ,因此 AA BB 为平行四边形故 AA=BB

13、 老师擦掉“ 猜想五” ,板书“ 性质定理四” 师：性质定理四,是类比两条平行线的性质得到的平行线的性质有很多,大家仍能类比得出哪些有关平行平面的猜想呢？你能证明吗？请大家课下摸索 因类比法是重要的方法,但平行性质定理已得出,故留作课下摸索 四、定理应用师：以上我们通过探究一猜想一论证,得出了平面与平面平行的四个性质定理,下面来作简洁的应用例 已知平面 ,AB,CD为夹在 , 间的异面线段, E、F 分别为 AB,CD的中点求证： EF ,EF 师：要证 EF ,依据直线与平面平行的判定定理,就是要在 证法一：连接 AF并延长交 于 G由于 AGCD=F, 内找一条直线与 EF平行名师归纳总结

14、 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案所以 AG,CD确定平面 ,且 =AC, =DG由于 ,所以 AC DG,所以ACF=GDF,又AFC=DFG,CF=DF,所以 ACF DFG所以 AF=FG又 AE=BE,所以 EF BG,BG 故 EF 同理： EF 师：要证明 EF ,只须过 EF作一平面,使该平面与 平行,就依据平面与平面平行性质定理即可证证法二：由于 AB与 CD为异面直线,所以ACD在 A,CD确定的平面内过 A作 AG CD,交 于 G,取 AG中点 H,连结 AC,HF由于 ,所以 AC D

15、G EF由于 DG ,所以 HF 又由于 E 为 AB的中点,因此 EH BG,所以 EH 又 EHFH=H,名师归纳总结 因此平面 EFH ,EF 平面 EFH,第 9 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 EF 名师精编优秀教案同理, EF 师：从以上两种证明方法可以看出,虽然是解决立体几何问题,但都是通过转化为平面几何的 问题来解决的这是解决立体几何问题的一种技能,只是依据的不同,转化的方式也不同五、平行平面间的距离师：和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线,它夹在这两个平行平面 间的部分,叫做这两个平行平面的

16、公垂线段两个平行平面有几条公垂线？这些公垂线的位置关系 是什么？生：两个平行平面有很多条公垂线,它们都是平行直线师：夹在两平行平面之间的公垂线段有什么数量关系？依据是什么？生：相等,依据“ 夹在两个平行平面间的平行线段相等”师：可见夹在两个平行平面的公垂线段长度是唯独的而且是夹在两个平行平面间的全部线段 中最短的因此我们把这公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离明显两个平行平面的距离等于 其中一个平面上的任一点到另一个平面的垂线段的长度六、小结1由同学用文字语言和符号语言来表达两个平面平行的性质定理老师总结本节课是由发觉与论证两个过程组成的简洁的说就是：由详细问题详细素材用类比 等方法猜想命题,

17、并由转化等方法论证猜想的正确性,得到结论2在应用定懂得决立体几何问题时,要留意转化为平面图形的问题来处理大家在今后学习 中肯定要留意把握这一基本技能3线线平行、线面平行与面面平行的判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系在学习 中应发觉其内在的科学规律：低一级位置关系判定着高一级位置关系；高一级位置关系肯定能推导 低一级位置关系下面以三种位置关系为纲应用转化的思想整理如下：七、布置作业课本： p38,习题五 5,6,7,8名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案课堂教学设计说明1本节课的中心是两个平行

18、平面的性质定理定理较多,如实行平铺直叙,直接地给出命题,那样就绕开了发觉、探究问题的过程,虽然比较省事,但对进展同学的思维才能是不利的在设计本教案时,充分考虑到教学争论活动是由发觉与论证这样两个过程组成的因而把“ 如 何引出命题” 和“ 如何猜想” 作为本节课的重要活动内容在老师的启示下,让同学利用详细问题；运用详细素材,通过类比等详细方法,发觉命题,完成猜想然后在老师的引导下,让同学一一完 成对猜想的证明,得到两个平面平行的性质定理也就在这一“ 探究” 、“ 发觉” 、“ 论证” 的过 程中,培育了同学发觉问题,解决问题的才能在实施过程中,让同学处在主体位置,老师始终处于引导者的位置特殊是在

19、用类比法发觉猜 想时,同学依据两条平行线的性质类比得出很多猜想比如：依据“ 平行于同一条直线的两条直线 平行” 得到“ 平行于同一个平面的两个平面平行” 依据“ 两条直线平行,同位角相等” 等,得到“ 与两个平行平面都相交的直线与两个平面所成的角相等” 等等,当然在这些猜想中,有的是正确 的,有的是错误的,这里不一一表达这就要求老师在教学过程中,留意变化,作适当处理同学 在整节课中,思维活跃,沉迷在“ 探究、发觉” 的思维乐趣中,也正是在这种乐趣中,提高了同学 的思维才能2在对定理的证明过程中,课上不仅要求证出来,而且仍考虑多种证法对于定理的证明,是解决问题的一些常用方法,也可以说是常规方法,是要同学仔细把握的因此老师要把定理的证 明方法,作为教学的重点内容进行必要的讲解,培育同学解决问题的才能3转化是重要的数学思想及数学思维方法它在立体几何中到处表达实质上处理空间图形 问题的基本思想方法就是把它转化为平面图形的问题,化繁为简特殊是在线线平行,线面平行,面面平行三种平行的关系上转化的思想也有较充分的表达,因而在小结中列出三个平行关系相互转 让的关系图,一方面便于同学懂得,记忆,同时通过此表,能立刻发觉三者相互推导的关系,能打 开思路,发觉线索,得到正确的解题方案名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页