幂级数-习题课ppt课件.ppt

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1、幂级数习题课幂级数习题课一、主要内容一、主要内容函数项级数函数项级数幂级数幂级数收敛半径收敛半径R收敛域收敛域Taylor级数级数0)(xRnTaylor展开式展开式幂级数幂级数(1) (1) 定义定义形如形如nnnxxa)(00 的级数称为的级数称为幂级数幂级数.,00时时当当 xnnnxa 0其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.(2) (2) 收敛性收敛性 AbelAbel 定理定理 当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当Rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当RxRx 与与时时, ,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. .对对 1nnnxa总存在正数使得

2、总存在正数使得收敛半径收敛半径（，）（，）收敛区间收敛区间设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则当当0 时时, 1R; (2) 当当0 时时, R; (3) 当当 时时,0 R. 注注形如形如 nnxa)( 的级数，求收敛域的级数，求收敛域 nnya的收敛半径的收敛半径Rx | )(| 原级数的收敛点原级数的收敛点应先求出应先求出Rx | )(| 原级数的发散点原级数的发散点再研究再研究Rx | )(| 用公式用公式1lim nnnaaR求收敛半径求收敛半径1, nnaa应是应是1, nnxx的系数，的系数， 否则否则可作代换或直接利用检比法或检根法来确定可作代换或直接

3、利用检比法或检根法来确定求出收敛半径后求出收敛半径后必须用常数项级数必须用常数项级数审敛法判定端点审敛法判定端点Rx 处的敛散性处的敛散性的点的敛散性的点的敛散性(3)(3)幂级数的运算幂级数的运算a.a.代数运算性质代数运算性质: : 21,minRRR b.b.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: :和函数连续，逐项微分，逐项积分和函数连续，逐项微分，逐项积分收敛半径不变收敛半径不变幂级数求和函数幂级数求和函数利用几个已知的展开式，如利用几个已知的展开式，如 )1( ,11,sin,xxxex 通过某些简单运算而求得通过某些简单运算而求得化成两个幂级数的和，差，积，商化成两个幂级数的

4、和，差，积，商作变量代换作变量代换)(xy 求导或积分求导或积分通项形如通项形如1212 nxnxnn或先微后积先微后积通项形如通项形如nnxnnx21)12( 或先积后微先积后微步骤：步骤：求收敛域求收敛域 1)(nnnxaxs设对对 1)(nnnxaxs进行运算进行运算)(xs保留所有的运算记号保留所有的运算记号 1nnnxa的运算结果要具体算出的运算结果要具体算出化成易求和的形式化成易求和的形式再进行上述运算的逆运算得再进行上述运算的逆运算得)(xs幂级数展开式幂级数展开式(1) 定义定义(2) 充要条件充要条件(3) 唯一性唯一性() 展开方法展开方法a.a.直接法直接法( (泰勒级数

5、法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨论讨论).(xf敛敛于于则则级级数数在在收收敛敛区区间间内内收收 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积逐项积分分等方法等方法,求展开式求展开式.b.b.间接法间接法() 常见函数展开式常见函数展开式() 应用应用欧拉公式欧拉公式,sincosxixeix ,2cosititeet ,2sinieetitit xxxex 11,)1( ,sin, 的展开式，并且要十分熟悉几

6、何级数及函数间的微的展开式，并且要十分熟悉几何级数及函数间的微分关系分关系求函数的幂级数展开式，必须相应地写求函数的幂级数展开式，必须相应地写出展开式成立的范围，出展开式成立的范围，对于不同类型的函数注意采用不同的展对于不同类型的函数注意采用不同的展开方法和步骤开方法和步骤有理分式有理分式 化部分分式，利用几何级数展开化部分分式，利用几何级数展开反三角函数或对数函数反三角函数或对数函数先展开其导数，再逐先展开其导数，再逐项积分，但此时必须注意项积分，但此时必须注意积分的下限积分的下限注注几个基本初等函数须直接展开，其它函几个基本初等函数须直接展开，其它函数应尽量采用间接展开，但间接展开法必须牢

7、记数应尽量采用间接展开，但间接展开法必须牢记二、典型例题二、典型例题例求收敛域例求收敛域nnnnxnbna)(21 )0, 0( ba解解nnnxna 1收敛半径收敛半径aR11 nnnxnb 12收敛半径收敛半径bR12 )1,1min(baR 若若ba 则则aR1 ax1 原级数成为原级数成为 1) 1(nnn由于由于221)()1(nabnnn 收敛收敛 11nnax1 原级数成为原级数成为发散发散故故收敛域为收敛域为)1,1aa ba 若若ba 则则bR1 nnnabn)()1(12 收敛收敛收敛收敛收敛收敛nnnabn)()1(12 12)()1(nnnabn发散发散收敛收敛bx1

8、原级数成为原级数成为nnnban)()1(1 121)1(nnnnnnnnbanban)(1)()1(11 banunnnnn1limlim 1 bannnban)()1(1 绝对收敛绝对收敛收敛收敛绝对收敛绝对收敛原级数收敛原级数收敛bx1 原级数成为原级数成为 1211)(1nnnnban收敛收敛原级数收敛原级数收敛故故ba 收敛域为收敛域为1,1bb nnxnn 121解解1lim nnnaaR收敛域收敛域)1 , 1( 1 例求和函数例求和函数nnxnn 121 111nnnnxnnx 111nnnnnxxnx令令 111)(nnnxxs积分积分 xnnxdxxs011)(xxx 11

9、1121)1(1)(xxs 11)(nnxxsnx2)1 (xx )11( x求导求导令令 12)(nnnxxs求导求导 112)(nnxxsx 11积分积分 xdxxssxs0222)() 0()()1ln(x )11( x)0)0(2 s故故)1ln()1 (1212xxxxnnnn )11( x注意注意先微后积，收敛域可能扩张先微后积，收敛域可能扩张先积后微，收敛域可能收缩先积后微，收敛域可能收缩例求级数和例求级数和 12!)1(nnn解解 考虑幂级数考虑幂级数 12!)1(nnxnn R由由xnnexn 1!1乘以乘以 x xnnxexn 11!1求导求导xnnexxnn) 1(!)

10、1(1 再乘以再乘以 xxnnexxxnn)1(!)1(11 再求导再求导xnnexxxnn)13(!)1(212 ennn5!)1(12 例例.)1)(1(0敛域及和函数敛域及和函数收收求级数求级数 nnxn解解, 1)1)(1(0 Rxnnn敛半径为敛半径为的收的收, 111 x收收敛敛域域为为, 20 x即即则有则有设此级数的和函数为设此级数的和函数为),(xs.)1)(1()(0 nnxnxs两边逐项积分两边逐项积分 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 011) 1(nxnx 01) 1(nnx)1(11 xx,21xx 求导，得求导，得两边再对两边再对 x)21()( x

11、xxs.)2(12x 例例.1lnarctan)(2克劳林级数克劳林级数展开成麦展开成麦将将xxxxf 解解,32)1ln(32 xxxx,) 1(32)1ln(216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642) 1(1 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 0)1(202221)1(2112)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 0220221)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022 nnnnnx)11( x或或xxxxxxf211211arctan)(22 xarct

12、an dxxx 0211 xnnndxx002) 1( 01212)1(nnnnx)11( x积分积分 xdxxfxf0)()(dxnxxnnn 001212) 1( 022)22)(12()1(nnnnnx)11( x例例的幂级数的幂级数成成的和函数展开的和函数展开将级数将级数)1()!12(2)1(12111 xnxnnnn解解设法用已知展开式来解设法用已知展开式来解的展开式，的展开式，是是分析分析xnxnnnsin)!12()1(1121 )0)0( f 112111211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx2sin2x 211sin2 x21sin21cos

13、221cos21sin2 xx 01202)21()!12()1(21cos2)21()!2()1(21sin2nnnnnnxnxn),( 0)(nnnxaxfRx |求求xxfxF 1)()(的幂级数展开式的幂级数展开式及其收敛半径及其收敛半径 并求并求) 0()(nF解解 由于由于 0)(nnnxaxfRx | 011nnxx1| x 00)()(nnnnnxxaxFnnnkkxa )(00 收敛半径为收敛半径为)1 ,min(R且且 nkknanF0)(!)0(例例7设设例例8设设xxfarctan)( 求求) 0()(nf解一解一211)(xxf 1)()1(2 xfx由由Leibniz公式公式0)()1()(2 nxfx0)(! 2)1(2)(2)()1()1()()1(2 xfnnxnxfxfxnnn令令0 x得得)0()1()0()1()1( nnfnnf由由0)0( f1)0( f得得0) 0()2( nf)!2() 1() 0() 12(nfnn 解二解二211)(xxf 02)1(nnnx)11( x 01212)1()(nnnxnxf)11( xkkakf!) 0 ()( 故故0) 0()2( nf)!2() 1() 0()12(nfnn