2022年高中数学重要知识点.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思高中数学重要学问点目录第一章集合、常用规律用语 1 其次章函数 2 第三章导数及其应用 5 第四章三角函数 6 第五章平面对量、复数 8 第六章数列 9 第七章不等式 10 第八章直线与方程、圆与方程 11 第九章圆锥曲线与方程 12 第十章立体几何 13 第十一章统计、概率、推理证明、算法 15 第十二章计数原理、二项式定理、概率分布列 16 第十三章选修 4 17 第一章集合、常用规律用语1集合的概念： （1）集合的特点：互异性、确定性、整体性、无序性（2）常用集合：自然数集N ,正整数集 N 或 N

2、,有理数集 Q ,实数集 R ,复数集 C （3）元素与集合的关系： 如 a 是集合 A 的元素,记作 a A；如 b 不是集合 A 的元素,记作 b A（4）集合的表示：列举法,描述法 x p x,Venn 图,区间：a b , x a x b a b ,x a x b a b ,x a x b a b ,x x a a ,R ,2集合之间的关系：假如集合 A 中的每一元素都是集合B 的元素, 就称 A 是 B 的子集, 记作 AB 或 BA 规定A 假如 AB 且 AB ,就称 A 是 B 的真子集,记作AB 或 BA 含有 n 个元素的集合共有2n 个子集（其中有2n1个真子集）3集合的

3、运算：集合的运算交集并集BC A=x|补集xA 定义ABx|xA 且xB ABx xA 或xxS 且C AAp 图示性质ABABAABABBq ,逆否命题：如q 就4四种命题 ：原命题：如p 就 q ,逆命题：如q 就 p ,否命题：如p 就原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假第 1 页,共 18 页 5 充要条件 ：假如 pq ,就称 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件假如 pq 且 qp ,就称 p 是 q 的充分不必要条件；假如 pq 且 qp ,就称 p 是 q 的必要不充分条件；假如 pq 且 qp ,就称 p 是 q 的充要条件；名师归纳总结 - - - -

4、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思假如 pq 且 qp ,就称 p 是 q 的既不充分又不必要条件p ）： p 与p 一真一假6简洁的规律联结词：或（ pq ）：一真就真；且（pq ）：一假就假；非（留意：否命题与命题的否定不同！否命题条件结论都否定,命题的否定只否定条件,结论不变7全称量词与存在量词：“x M px” 的否定为“xM,p x” ；xM p x” 的否定为“xMp x” 其次章函数 1函数的概念：设 A、B 是两个非空的数集,假如按某种对应法就f,对于集合A 中的每一个元素x ,在集合 B中都有唯独的元素y 和它

5、对应,那么这样的对应叫从A 到 B 的一个函数记作：y=fx,x A其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合 y | y= fx,xA 叫做函数的值域2单调性 ：增函数：x 1x 2fx 1fx 2；减函数：x 1x 2fx 1fx 2留意：单调区间不能任凭并3奇偶性： 偶函数fxfx图象关于 y 轴对称；f0有意义,就f00奇函数fxfx图象关于原点对称留意：奇、偶函数定义域关于原点对称如fx 是奇函数,且4最值：（1）定义：设函数 y=fx的定义域为 A,假如存在 x0A,使得对于任意的 xA ,都有 fxfx0,那么,

6、称 fx0为函数 y=fx的最大值,记为 y max f x 0；设函数 y=fx的定义域为 A,假如存在 x0A,使得对于任意的 xA ,都有 fx fx0,那么,称 fx0为函数 y=fx的最小值,记为 y min f x 0（2）性质：假如函数 y=fx在区间 a, b上单调递增,就 y min f a , y max f b假如函数 y=fx在a,c 上递增,在 c,b 上递减 ,就 y max f c ,y min min f a , f b5中学学过的函数（1）正比例函数ykx k0与一次函数ykxb k0的图象都是直线,第 2 页,共 18 页当k0时,在,上单调递增；当k0时,

7、在,上单调递减（2）反比例函数：ykk0定义域是x x0,值域是y y0xk0：图象是一、三象限的双曲线,在,0 和 0,上单调递减；k0：图象是二、四象限的双曲线,在,0 和 0,上单调递增（3）二次函数：一般式yax2bxc a0；顶点式ya xh2k （顶点是h k ）；交点式ya xx 1xx 2（与 x 轴交于点x 1,0、x 2,0）a0a0名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思图象值域4acb2,4 aca2 b4 a4单调性在,b上单调递减在b上单调递增2 a2a在b,上单调递增在b 2

8、a,上单调递减2a顶点、对称性b成轴对称图形顶点b,4 ac2 b,图象关于直线x2a2 a4 a图象与 x 轴的 ,二次函数的图象与x 轴有两个交点；交点 ,二次函数的图象与x 轴有一个交点；b24ac ,二次函数的图象与x 轴没有交点6指数与指数函数（1）指数的概念：anaaanN；a01a0 ；an1naN；ararann 个amnamm nN,a0；amn1m nN,0nnm a（2）性质：arasyars；r aasars；arsars；abr1r ra b ；br b（3）指数函数：函数ax a,0且a1叫指数函数,它的定义域是R a10a图象1 定义域： R 性2 值域：0,01

9、）4x0时, 0y1；3 过定点（ 0,1）（由于a质4x0时,y1；x0时, 0y1x0时,y15 在 R 上是增函数5 在 R上是减函数7对数与对数函数（1）对数名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思定义：b aN a0,a1log aNb log 10NlgN , logeNlnN e2.72基本性质：真数大于零；log a10；log a a1； logb aab；alogaNN运算性质：假如a0,a1,M0,N0,就logaMNlogaMlogaN；logaMlogaMl

10、ogaN；l o gMnnl o gMnR）N换底公式：logaNlogcN,其中a0,a1,N0,c0,c1logca（2）对数函数：函数ylogax a0 ,且 a1 叫对数函数,它的定义域是0,a10a1图象1 定义域：0,2 值域： R性3 过定点 1,0 （由于 log 1 a0）质4x1时,y0；4x1时,y0；0x1时,y00x1时,y05 在 0,上是增函数5 在 0,是减函数8幂函数（1）概念：函数yx叫做幂函数,其中x 是自变量,是常数0 时, yyx 在 0,上是减函数（2）图象与性质：当0 时, yx 在 0,上是增函数；当yy3 xy1x 2OxOx9图象变换：（1）

11、平移变换：函数yf xa 的图像：把函数yf x 的图像向左 a0或向右 a0平移 |a 个单位；第 4 页,共 18 页函数yf x a 的图像：把函数yf x 的图像向上 a0或向下 a0平移 |a 个单位（2）对称变换：函数yfx 的图像：将函数yf x 的图像关于 y 轴对称；函数yf x 的图像：将函数yf x 的图像关于 x轴对称；函数yfx 的图像：将函数yf x 的图像关于原点对称名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（ 3）翻折变换：函数y|f x |的图像：将函数yf x 的图像aay

12、yy=fxccxxy且的 x 轴下方部分沿x 轴翻折到 x 轴上方,去掉原x 轴下方部分,并保留yf x 的 x 轴上方部分；函数yf|x|的图像：将函数yf x 的图像y=|fx|的 y 轴右边部分沿y 轴翻折到 y 轴左边替代原y 轴obaobcx左边部分,并保留yf x 在 y 轴右边部分10函数与方程y=fxyy=f|x|（1）函数零点概念： 使函数 yfx 的值为 0 的实数 x称为函数 yfx 的零点obaobcx（2）零点存在定理：如函数yf x 在区间a ,b上的图象是一条不间断的曲线,fafb0,就函数yfx在区间a,b上有零点第三章导数及其应用1公式 ：c0（ c 是常数）

13、,x1,x22x ,3 x32 x ,x443 x ,xnn nx1nR ；x ex e ；axaxlna；ln x1；logaxx1a； sinxcosx ； cosxsinx xln2运算性质 ：fxg xfxgx；fx g xfx g xfx gx,cfxcfx （ c是常数）；fxfx g xf2x gxg xg x（理）如yf u,uaxb ,就y xy uuxy ua 3应用 ：（1）导数的几何意义：函数 y f x 在点 0x 处的导数就是曲线 y f x 在点 x 0 , f x 0 处的切线的斜率（2）导数与单调性：f x 是增函数 f x 0, f x 是减函数 f x 0

14、（3）导数与极值：x a x 0 0x x b x a x 0 0x x bf x 0 f x 0f x极大值f x微小值（4）求函数 f x 在区间 a b 上的最值：第一步,求 f x 在区间 a b 上的极值；其次步,将第一步中求得的极值与 f a , f b 比较,得到 f x 在区间 a b 上的最值注：也可先解 f x 0 得 x x x 2 ,再直接比较 f x 1 , f x 2 , , f a , f b 的大小如函数 f x在区间 ,a b上有唯独极值,就极值一般也是最值第四章三角函数1三角函数的概念名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资

15、料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（1）任意角的概念：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角 y, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角xx2k2y2 k2,2k2 k,2k2kZ四三二一2 k2kk3O32k2k,2k,2x2一O四,23二三222k2 k2k已知角所在象限,可利22k2用此图确定2所在象限（2）弧度制： 角度制与弧度制的换算主要抓住180rad ；1 rad57.30弧长公式：l|r（是圆心角的弧度数） ,扇形面积公式：S1lr1|r222（3）任意角的三角函数：y定义：点P x y 是角的终边上的任一点,rOPx2y2,P x ysinx

16、y,cos,x, tany xrcos , sinOrr结论：rcosyrsin,即点 P 的坐标为特别角的三角函数值：sin003006450600390020 18027003420123101222cos1321010222tan0313不存在0不存在3三角函数值的正负：第一象限全为正,其次象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正（4）同角三角函数关系：sin22 cos1 ,tansin cos2k,kkZ其中 kZ （5）诱导公式 ： sin2k=sin,cos2k= cos,tantansin =sin,cos =cos,tantansin =sin,cos =cos,ta

17、n =tan=sinsin =sin,cos =cos,tantansin2=cos, cos2=sin sin2=cos, cos22三角函数的图象与性质名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思函数ysinxycosxsinx2ytanx图象定义域RRx x2k,kZ值域1,11,1R,0x ,最值当x22k时有最大值 1当x2 kkZ时有最大值 1无当x22 k时有最小值1当x2 k时有最小值1周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数增区间：22 k,22k增区间：2 k,2k增区间：

18、单调性减区间：22 k,32k减区间：2 k,2 k2k,2Zk2kZkkZ对称性对称中心为：k,0kZ对称中心为：2k,0对称中心为：k2对称轴为：x2kkZ对称轴为： xkkZkZf周期性：对于函数 fx ,假如存在一个非零的常数T ,使得定义域内的每一个x 值,都满意 fxT那么函数 fx 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期2；函数yAsinxA0,0、yAcosxA0,0的周期都是T函数yAtanxA0,0的周期是 T图象变换：五点作图法： 作函数名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在

19、循序而渐进 ,熟读而精思y A sin x A 0, 0 的简图,可令 x 分别等于 0, , , 3,22 23三角恒等变换（1）两角和与差的三角函数：sin sin cos cos sin；cos cos cos sin sin；tan tantan 1 tan tan2 2 2 2（2）二倍角公式 ：sin 2 2 sin cos；cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin；2 tantan 2 21 tan（3）公式变形：帮助角公式：a sin x b cos x a 2b 2sin x,其中 sin 2 b2,cos 2 a2a b a b2 1 cos 2 2 1

20、cos 2降幂公式：sin；cos2 24解三角形（1）直角三角形中各元素间的关系：在 ABC 中, C90 , ABc,ACb,BCaB三边之间的关系（勾股定理）：a 2b 2c 2c锐角之间的关系：AB90 a边角之间的关系：sinAcosBa ,cosAsinBb ,tanAa A b Cc c b（2）斜三角形中各元素间的关系：边与边关系：任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边边与角的关系：1）正弦定理：a b c2 R（R 为外接圆半径） sin A sin B sin C变形：a 2 R sin A ,b 2 R sin B ,c 2 R sin C 2）余弦定理： a 2

21、b 2c 22bccosA；b 2c 2a 22cacosB；c 2a 2b 22abcosC变形：cos A b 2c 2a 2,cos B a 2c 2b 2,cos C a 2b 2c 22 bc 2 ac 2 ab3）大边对大角,sin A sin B A B （3）三角形的面积公式：S 1 absinC1 bcsinA1 acsinB 1ah 1a b c r （ r 是内切圆半径） 2 2 2 2 2第五章平面对量、复数1向量概念：（1）零向量：长度为 0 的向量,记为 0,其方向是任意的单位向量：模为 1 个单位长度的向量（ 2）平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量规

22、定：0 与任意向量平行记作 a b 2向量的线性运算（ 1）向量加法：三角形法就：设 OA a AB b ,就 a + b = OA AB =OB 平行四边形法就：两个向量要共起点规定：0 a a 0 a（2）向量的减法：a b 可以表示为从 b的终点指向 a 的终点的向量a b OA OB BA （ 3）实数与向量的积：a a ； 当 0 时,a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时,a 的方向与 a 的方向相反规定：0 a 0 03平面对量的坐标表示：（1）平面对量基本定理：假如 e 1, e 2 是两个不共线向量,那么对于任一向量 a ,有且只有一对实数 1, 2 使a 1 e 1 2

23、e 2如 1 e 1 2 e 2 1 e 1 2 e 2,就 1 1 , 2 2；如 1 e 1 2 e 2 0,就 1 2 0（2）平面对量的坐标表示：在直角坐标系中,分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底,该平面内的任一向量 a 可表示成 a xi yj ,就把 x,y 叫做向量 a 的坐标,记作 a =x,y 名师归纳总结 第 8 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（3）向量坐标与点坐标的关系：设A x y 1,B x 2,y 2,就ABx 2x y 2y 1,

24、OAx y 1（4）平面对量的坐标运算：如ax 1,y 1,ba =x 2,y 2,就abx 1x 2,y 1y 2,abx 1ax 2,y 1y 2；210如 a =x,y ,就x, y；如ax y 1 1,bx 2y 2,就a bbxyxy 1 24向量的数量积（1）向量的数量积：已知两个非零向量a 与 b,它们的夹角为,就数量 |a|b|cos 叫作 a 与 b 的数量积,（2）向量数量积的性质及其坐标表示：设向量 数量积： ab|a|b|cos x1x2 y1y2夹角： cos ab |a|b|ax1,y1,bx2,y2, 为向量 a,b 的夹角模： |a|aax 2 1y 2 1ab

25、 ab0 x x 1 2 y y 1 2 025复数的概念 ：（1）形如 a bi a b R i 1 的数叫复数其中 a 与 b 分别叫复数 z 的实部与虚部实数 b 0（2）复数 z a bi复数 a bi a b R 是纯虚数 a 0 且 b 0虚数 b 0（3）复数相等：a bi c di a b c d R a c 且 b da bi 0 a b R a b 02 2（4）复数的模：z a bi a b2（5）共轭复数：如 z a bi a b R ,就 z a bi z z z 6复数的运算 ：（1）加法：a bi c di a c b d i ,（2）减法：a bi c di a

26、 c b d i ,（3）乘法：a bi c di ac bd bc ad i ,（4） i 的乘方：i 4 n1, i 4 n 1i i 4 n 21, i 4 n 3i n N,（5）除法：a bi a bi c di ac2 bd2 bc2 ad i 2c di c di c di c d c d7复数的几何意义：z a bi Z a b OZ 复数加减法的几何意义类似于向量的加减法第六章数列1等差数列（ 1）定义：a na n1d n2或a n1a nd 、2a n1a na n2,a 2n、a n,a n1,a 1（ 2）通项公式：a na 1n1da mnm danb 叠加法（ 3

27、）性质：mnpqa ma na pa ；qmn2 ka ma n2 a 如a n是等差数列,公差是d ,就a a a 5,a 2n1、a a a 6,都是等差数列,它们的公差分别是2d 、 2d 、d （ 4）求和公式：S nn a 12anna 1n n1dan2bn 倒序相加法22等比数列： （1）定义：a n1q n2或an1q、a n2a a n n20ana n1n、a n,a n1,a 1都（2）通项公式：a nn a q 11a q mn m累乘法（3）性质：mnpqa a na a ；mn2ka a nak2如na是等比数列,公比是q ,就a a a 5,a 2n1、a a a

28、 6,a 2名师归纳总结 第 9 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思是等比数列,它们的公比分别是2 q 、q 、1 q0（4）求和公式：当q1时,S nna ；当q1时,S na 11n qa 1a q错位相减法1q1q3S 与na 的关系： 当n1时,a 1S ；当n2时,a nS nS n1第七章不等式1不等式性质： （1）对称性： abba ；（2）传递性：ab bcac ；（3）加法： abacbc ,a cbacbd；d（4）乘法：abacbc,abacbc,ab0acbdc0c0cd0（

29、5）乘方：ab0anbnnN,abann b （ n 是正奇数）；（6）开方：ab0nanb nN,n12一元二次不等式ax 2bxc0a0与二次函数yax 2bxc a0、二次方程ax2bxca0之间的关系：判别式b24ac000一元二次方程有两相异实数根有两相等实数根ax2bxc0x 1,2b2 a（x 1x ）2x 1x2b方程没有实数根a0的实数根2ay y y 二次函数ax2y2 axbxco x 1x 2x 2x o x1=x 2bx o Rx a0图像一元二次不等式解集x xx 1 或xx 2x xbxc0a02 a2解集x x 1x一元二次不等式axbxc0a03线性规划：（1

30、）确定二元一次不等式表示的平面区域时,常常采纳“ 直线定界,特别点定域” 的方法结论：当 A 0,Ax By C 0 表示直线 l 右边,Ax By C 0 表示直线 l 的左边；当 B 0,如 Ax By C 0 表示直线 l 上方,如 Ax By C 0 就表示直线 l 的下方（2）求线性目标函数 z ax by ab 0 的最值：当 b 0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值最大,在 y 轴上截距最小时,z 值最小即将直线 l 向上平移,就 z 的值越来越大；直线 l 向下平移,就 z 的值越来越小 当 b 0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时, z 值最小,在 y 轴上截距