2022年高中数学解题基本方法换元法.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学解题基本方法换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法;换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换争论对象, 将问题移至新对象的学问背景中去争论,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简洁化,变得简洁处理;换元法又称帮助元素法、变量代换法; 通过引进新的变量, 可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来;或者变为熟识的形式,把复杂的运算和推证简化;它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在争论方程、不等式、函
2、数、数列、三角等问题中有广泛的应用;换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等;局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中, 某个代数式几次显现,4而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发觉;例如解不等式:x 2x20,先变形为设2xt (t0 ),而变为熟识的一元二次不等式求解和指数方程的问题;三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角学问中有某点联系进行换元;如求函数 yx 1 x 的值域时,易发觉 x0,1,设 xsin 2 , 0, ,问题变成了熟识的求三角函数值域;为什么会想到如此设,其中2主要应当是发觉值域的联系,又有去根号的需
3、要;如变量 x、y 适合条件 x 2y 2 r 2(r0 )时,就可作三角代换 x rcos 、yrsin 化为三角问题;均值换元,如遇到 xyS 形式时,设 xSt ,ySt 等等;2 2我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原就,换元后要留意新变量范围的选取, 肯定要使新变量范畴对应于原变量的取值范畴,不能缩小也不能扩大;如上几例中的 t0 和 0,2 ;、再现性题组:1.y sinx cosx sinx+cosx 的最大值是 _;2. 设 fx 21 log a 4 x 4 (a1),就 fx 的值域是 _;3. 已知数列 a n 中, a 1 1,a n 1a n a n
4、1a n ,就数列通项 a n _ ;4. 设实数 x、y 满意 x2 2xy10,就 xy 的取值范畴是 _;名师归纳总结 5. 方程1 13x第 1 页,共 13 页x3 的解是 _;3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 不等式 log 2 2x 1 log 2 2x 1 2 2 的解集是 _;2【简解】1 小题:设 sinx+cosx t 2 , 2 ,就 yt t 1,对称轴 t 1,2 2当 t 2 ,y max 12 ;22 小题:设 x 2 1 t t 1 ,就 ftlog a -t-1 2 4 ,所以值域为 ,log a4 ;3 小
5、题: 已知变形为 11 1, 设 b n 1,就 b1 1,b n 1n 1-1a n 1 a n a n n,所以 a n 1 n;4 小题:设 xyk,就 x 2 2kx 10, 4k 2 40, 所以 k1 或 k 1;5 小题:设 3 xy,就 3y 22y1 0, 解得 y1,所以 x 1;36 小题: 设 log 22 x1 y,就 yy 12 ,解得 2y0,求 fx 2asinx cosx sinx cosx 2a2 的最大值和最小值;, y , 【解】 设 sinx cosx t ,就 t -2 ,2 ,由sinx cosx22 x2 12sinx cosx 得: sinx
6、cosx t221 fxgt 1 2t 2a2 1 2(a0),t -2 ,2 t -2 时,取最小值:2a2 22 a1 2当 2a2 时, t 2 ,取最大值:2a222 a1 2;当 00aa142恒成立,求a 的取值范畴; (87 年全国理)2 a、log 2a1 2【分析】不等式中log 24 a1、 log2三项有何联系?进行对4 a2aa1数式的有关变形后不难发觉,再实施换元法;【解】设 log 22at ,就 log 24a1 log 28a1 3log 2a13loga1a2 a2 a22a3t ,log 2aa1 22log 2a1 2t ,a1422 a代入后原不等式简化
7、为(3t )x2 2tx 2t0 ,它对一切实数x 恒成立,所以:3t4 t08 3t0,解得t3t6 t0 即 log 22a0 2t0 或a102 aa11,解得 0a0 恒成立,求k 的范畴;916【分析】由已知条件x1 2y1 21,可以发觉它与a2b2 1 有相像之处,916于是实施三角换元;【解】由x1 2y1 21,设x31cos ,y41sin ,916即:x13cos代入不等式xyk0 得:y14sin3cos 4sin k0,即 k3cos 4sin 5sin + 所以 k0 a0 所表示的区域为直线axbyc0 所分平面成两部分中含x 轴正方向的一部分;x x yk0 平
8、面区域此题不等式恒成立问题化为图形问题:椭圆上的点始y 终位于平面上xyk0 的区域;即当直线xy k0 在与椭圆下部相切的切线之下时;当直线与椭圆相切时,方程组16 x1 29 y1 2144有相等的xyk0一组实数解, 消元后由 0 可求得 k 3, 所以 k0,就 f4 的值为 _;A. 2lg2 B. 1 lg2 C. 2 lg2 D. 2 lg4 3 3 32. 函数 yx 1 42 的单调增区间是 _;A. -2,+ B. -1,+ D. - ,+ C. -,-1 3. 设等差数列 a n 的公差 d1,且 S100 145,就 a1 a 3 a 5 a 99 的值为2_;A. 8
9、5 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知 x 2 4y 2 4x,就 xy 的范畴是 _;5. 已知 a0,b 0,ab1,就 a 1b 1 的范畴是 _;2 26. 不等式 x ax3 的解集是 4,b ,就 a _,b_;27. 函数 y2xx 1的值域是 _;8. 在等比数列 a n 中, a1 a 2 a10 2,a 11 a 12 a 30 12,求 a 31 a 32 a 60 ;9. 实数 m 在什么范畴内取值,对任意实数x,y D C x 不等式 sin2x2mcosx4m 10,y0上移动,且AB、 AD始终平行 x 轴、 y 轴,求矩形ABCD的最小面积;
10、名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后依据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式 fx gx 的充要条件是:对于一个任意的 a 值,都有 fa ga ;或者两个多项式各同类项的系数对应相等;待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程;使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判定一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的
11、数学表达式,假如具有,就可以用待定系数法求解;例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、 解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解;使用待定系数法,它解题的基本步骤是:第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;其次步,依据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决;如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析:利 用对应系数相等列方程;由 恒等的概念用数值代入法列方程;利 用定义本身的属性列方程;利 用几何条件列方程;比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:第一设所求方
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