2022年高一三角函数总复习资料下学期.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 三角函数1、角的概念的推广：平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形；按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角；射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边；2、象限角的概念：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角；假如角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限；名师归纳总结 3. 终边相同的角的表示：第 1 页,共 7 页（ 1）终边与终边相同 的终边在终边所在射线上2kkZ, 注

2、意：相等的角的终边肯定相同,终边相同的角不肯定相等. 如与角1825 的终边相同,且肯定值最小的角的度数是,合弧度；（答：25 ；5）kkZ. 36（ 2）终边与终边共线 的终边在终边所在直线上 （ 3）终边与终边关于 x 轴对称2kkZ. （ 4）终边与终边关于 y 轴对称2 kkZ. （ 5）终边与终边关于原点对称2kkZ . （ 6）终边在 x 轴上的角可表示为：k,kZ ；终边在 y 轴上的角可表示为：k2,kZ ；终边在坐标轴上的角可表示为：k,kZ . 如的终边与6的2终边关于直线yx对称,就_；（答：2 k3,kZ）4、与 2的终边关系 ：由“ 两等分各象限、一二三四” 确定.

3、如如是其次象限角,就 是第 _象限角（答：一、三）25. 弧长公式 ：l | | R ,扇形面积公式：S 1 lR 1 | | R ,1 弧度 1rad 257.3.2 2如已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积； （答： 2 cm ）26、任意角的三角函数的定义：设 是任意一个角, P , x y 是 的终边上的任意一点 （异于 原 点 ）, 它 与 原 点 的 距 离 是rx2y20, 那 么 siny,cosx,rrtany,x0,三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关；x的终边经过点P5, 12,就sincos的如已知角值为；（答

4、：7）；137. 三角函数线的特点 是：正弦线 MP“ 站在 x 轴上 起点在 x轴上 ” 、余弦线 OM“ 躺在 x 轴上 起点是原点 ” 、正切线 AT“ 站在点 A 1,0 处 起点是 A ”. 三角函数线的重要应用是比较三y OMP T x BSA 角函数值的大小和解三角不等式；如（1）如4cos2,就 sin ,cos ,tan的大小关系为_ 答： sintan ；（2）如为锐角, 就,sin, tan的大小关系为 _ （答： sintan）；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8. 特殊角的三角函数值：304560090180270求此角的其

5、它三 尽可能地压缩sin1230 1 0 1 222cos3211 0 1 0 222tan31 30 0 3cot31 30 0 39.同角三角函数的基本关系式：（1）sin 2cos 21,（ 2）tansin.cos同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,角函数值； 在运用平方关系解题时,要依据已知角的范畴和三角函数的取值,角的范畴, 以便进行定号； 在详细求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先依据角的范畴确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的肯定值；如 （1）已知 sin m 3,cos 4 2 m ,就 tan_（答：5）

6、；m 5 m 5 2 12（2）已知 tan 1,就 sin 3 cos _；tan 1 sin cossin 2sin cos 2_（答：5；13 ）；3 5（3）已知 sin 200 a,就 tan 160 等于2 2A、1 aa 2 B、1 aa 2 C、1a aD、1a a（答： B）；10. 三角函数诱导公式（k）的本质是：奇变偶不变（对 k 而言,指 k 取奇数或2偶数）,符号看象限（看原函数,同时可把 看成是锐角）. 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤：（1）负角变正角,再写成 2k + , 0 2； 2转化为锐角三角函数；名师归纳总结 就如（ 1）cos9tan7

7、sin 21的值为 _（答：23）；第 2 页,共 7 页4623（2） 已知sin5404,就cos270_,如为其次象限角,5sin 180cos3602_；（答：4；3）tan 1805100（3）已知fcosxcos3x,就fsin30的值为 _（答： 1）11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossin令sin 22sincos- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - coscoscossinsin令cos22 cos2 sin名师归纳总结 2 2cos112sin2第 3 页,共 7 页tantantancos 21

8、+cos21tantan2sin21cos22tan212 tan2 tan如（ 1）以下各式中,值为1的是2A 、sin15cos 15B、2 cos12sin21212.C、tan 22 52 D、1 cos 30（答： C）1 tan 22 5 2三角函数的化简、运算、证明的恒等变形的基本思路 是：一角二名三结构；即首先观看角与角之间的关系,留意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系,通常“ 切化弦”；第三观看代数式的结构特点；基本的技巧有 : 巧变角 （已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如, 2 ,2

9、 ,22,222等） . 如（1）已知tan2,tan41,那么 tan4的值是 _（答：3 22）；54（2）已知 02,且cos21,sin22,93求c o s 的值（答：490 729）；3,那么cos2的值为 _（答：7 25）；（3）已知sincoscossin5三角函数名互化 切割化弦 ,如求值 sin50 13 tan10 （答： 1）；公式变形使用 （ tantantan1tantan；如已知 A、B 为锐角,且满意 tanAtanBtanAtanB1,就 cosAB _ （答：2）；2三角函数次数的降升 降幂公式：2 cos1cos2,sin21cos2与升幂22公式：1c

10、os22cos2,1cos22sin2 ；如1 如,3 ,化简1111cos 2为_（答： sin2）；22222（2） 函数f x5sin xcos x5 32 cos x53 xR 的单调递增区间为2_（答： k12,k5 kZ ）12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 常值变换主要指“1” 的变换 （1sin2xcos2x tan sin4（答：3）. 52等）,如已知 tan2 ,求sin2sincos3cos22 213、帮助角公式中帮助角的确定：a sin x b cos x a b sin x 其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定,角

11、的值由 tan b确定 在求最值、化简时起着重要作用；a如如方程 sin x 3cos x c有实数解,就 c 的取值范畴是 _.（答： 2,2 ）；14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数 y sin x 和余弦函数 y cos x 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为 0, , 3,2 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,2 2就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象；15、正弦函数 y sin x x R 、余弦函数 y cos x x R 的性质 ：定义域 ：都是 R；名师归纳总结 值域 ：都是1,1 ,对ysinx ,当x2k2kZ时, y 取最大值1；当第 4 页,共 7

12、 页x2 k3kZ 时, y 取最小值 1；对ycosx ,当x2 kkZ时, y 取最2大值 1,当x2 kkZ 时, y 取最小值 1；如（ 1）如函数yabsin3x6的最大值为3 ,最小值为 21,就 a_, b2（答：a1 , 2b1或b1）；（2）函数fx sinx3cosx（x2,2）的值域是 _（答： 1, 2）；（3）函数f x 2cosxsinx33 sin2xsinxcosx 的最小值是 _,此时 x_（答： 2；k k Z ）；12x 的最小正周期都是2；f x Asinx和 周期性 ：ysinx 、ycosf x Acosx的最小正周期都是T2|；|如 1 如fxsi

13、nx,就f1f2f3f2007_（答：3 ）；32函数f x 4 cosx2sinxcosx4 sin x 的最小正周期为_（答：）；奇偶性与对称性：正弦函数ysin x xR 是奇函数, 对称中心是k,0kZ,对称轴是直线xk2kZ；余弦函数ycosx xR 是偶函数,对称中心是k2,0kZ,对称轴是直线xkkZ （正 余弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线,对称中心为图象与x 轴的交点）；如（ 1） 函数ysin52x的奇偶性是 _（答：偶函数） ；2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2 ）已 知 函 数f x a x3 b

14、si n x a , b 为 常 数 ）, 且f 57, 就f 5 _（答： 5）；（3） 函数 y 2 cos x sin x cos x 的图象的对称中心和对称轴分别是 _、k k_（答： , k Z 、x k Z ）；2 8 2 8（ 5 ） 单 调 性 ：y sin x 在 2 k ,2 k k Z 上 单 调 递 增 , 在2 22 k ,2 k 3k Z 单调递减；y cos x 在 2 k ,2 k k Z 上单调递减,2 2在 2 k ,2 k 2 k Z 上单调递增； 特殊提示 ,别忘了 k Z ！16、形如 y A sin x 的函数：（1）几个物理量 ：A振幅；f 1频率

15、；x相位；初相；T（2）函数 y A sin x 表达式的确定 ：A 由最值确定；Y由 周 期 确 定 ；由 图 象 上 的 特 殊 点 确 定 , 如 23 2f x A sin x A 0, 0,| |2 的图象如下列图, 就 9Xf x _（答：f x 2sin 152 x3 ）；-223题 图（3）函数 y A sin x 图象的画法 ：“ 五点法” 设 X x,令 X 30, , ,2 求出相应的 x 值,运算得出五点的坐标,2 2这是作函数简图常用方法；描点后得出图象； 图象变换法：名师归纳总结 （4）函数yAsinxk 的图象与ysinx 图象间的关系 ：函数ysinx 的第 5

16、 页,共 7 页图象纵坐标不变,横坐标向左（0）或向右（0）平移 |个单位得ysinx的图象；函数ysinx图象的纵坐标不变,横坐标变为原先的1 ,得到函数ysinx的图象；函数ysinx图象的横坐标不变,纵坐标变为原先的A 倍,得到函数yAsinx的图象；函数yAsinx图象的横坐标不变,纵坐标向上（k0）或向下（k0）,得到yAsinxk 的图象；要 特殊留意 ,如由ysinx 得到ysinx的图象,就向左或向右平移应平移| 个单位,如（ 1） 函数y2sin2x41的图象经过怎样的变换才能得到ysinx 的图象？（答：yy2sin2x 1 向上平移 1 个单位得4x 的图象,横坐标扩大到

17、原先的y2sin2x 的图象,再向左平移42sin x 的图象,最终将纵坐8个单位得2sin 22 倍得y标缩小到原先的1即得ysinx 的图象）；22 要得到函数ycosx4的图象,只需把函数ysinx的图象向 _平移 _22个单位（答：左；2）；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （5）讨论函数yAsinx性质的方法：类比于讨论ysinx 的性质 ,只需将y A sin x 中的 x 看成 y sin x 中的 x ,但在 求 y A sin x 的单调区间时,要特殊留意 A 和 的符号,通过诱导公式先将 化正；如（1 ）函 数 y s i 2 n

18、x 的 递 减 区 间 是 _（答：35 k ,k k Z ）；12 12（2）y log 1 cos x 的 递 减 区 间 是 _（答：2 3 43 3 6 k , k k Z ）；4 4（ 3） 设函数 f x A sin x A 0 , ,0 的图象关于直线 x 2 对2 2 3称,它的周期是,就1 5 2A、f x 的图象过点 0 , B、f x 在区间 , 上是减函数2 12 3C、f x 的图象的一个对称中心 是 5 0, D、f x 的最大值是 A（答： C）；12（4）对于函数 f x 2sin 2 x 给出以下结论：图象关于原点成中心对称；3图象关于直线 x 成轴对称；图象

19、可由函数 y 2sin 2 x 的图像向左平移 个单位得12 3到；图像向左平移 个单位,即得到函数 y 2cos 2 x 的图像；其中正确结论是 _12（答：） ；（5）已知函数 f 2sin x 图象与直线 y 1 的交点中,距离最近两点间的距离为,那么此函数的周期是 _（答：）317、正切函数 y tan x 的图象和性质 ：（1）定义域： x x k , k Z ；遇到有关正切函数问题时,你留意到正切函数2的定义域了吗？（2）值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是,它与直线 ya 的两个相邻交点之间的距离是名师归纳总结 一个周期；肯定值或平方对三

20、角函数周期性的影响：一般说来,某一周期函数解析式加第 6 页,共 7 页肯定值或平方,其周期性是：弦减半、 切不变 既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定；如ysin2x,ysinx的周期都是, 但ysinxcosx 的周期为2,而y| 2sin3x61|,y| 2sin3x62|,y| tanx 的周2期不变；（4）奇偶性与对称性：是奇函数,对称中心是k,0kZ, 特殊提示 ：正 余 2切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点, 另一类是渐近线与x 轴的交点, 但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处；- - - - - - -精选学习资料 - - -

21、 - - - - - - （5）单调性：正切函数在开区间2k,2kkZ内都是增函数；但要注意在整个定义域上不具有单调性：；18. 三角形中的有关公式1 内角和定理 ：三角形三角和为,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能遗忘！ 任意两角和 与第三个角总互补,任意两半角和 与第三个角的半角总互余 . 锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方 . 2 正弦定理 ：a b c 2 R R 为三角形外接圆的半径 . sin A sin B sin C注 意 ： 正 弦 定 理 的 一 些 变 式 ：i a b c sin A sin B

22、 sin C；a b cii sin A ,sin B ,sin C；iii a 2 sin A b 2 R sin B b 2 R sin C ；2 R 2 R 2 R已知三角形两边一对角,求解三角形时,如运用正弦定理,就务必留意可能有两解 . 2 2 23 余弦定理 ：a 2 b 2 c 2 2 bc cos ,cos A b c a 等,常选用余弦定理鉴定2 bc三角形的外形 . 4 面积公式 ：S 12 ah a 12 ab sin C . 特殊提示：（ 1）求解三角形中的问题时,肯定要留意 A B C 这个特殊性：A B CA B C ,sin A B sin C , sin cos

23、2 2系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化；（2）求解三角形中含有边角混合关如（ 1）ABC 中,A 、B 的对边分别是 a、b,且 A=60 , a 6 , b 4,那么满意条件的 ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；（ 2）在 ABC 中, AB 就 sin A sin B 成立；（ 3）在 ABC 中, 1 tan A 1 tan B 2,就 log sinC _（答：1）；24 在 ABC 中 ,a , b ,分 别 是 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边, 如 a b c s i n s i n C 3 a s i n B C _（

24、答： 60 ）；2 2 2（ 5）在 ABC 中,如其面积 S a b c,就 C =_（答： 30 ）；4 3（ 6）在 ABC 中,A 60 , b 1,这个三角形的面积为 3 ,就 ABC 外接圆的直径是 _（答：2 39）；3（ 7）在 ABC 中 AB=1 ,BC=2,就角 C 的取值范畴是（答： 0 C）；619. 求角的方法 ：先确定角的范畴,再求出关于此角的某一个三角函数（要留意挑选,其标准有二：一是此三角函数在角的范畴内具有单调性；二是依据条件易求出此三角函数值）；名师归纳总结 如（ 1）如,0, ,且 tan、 tan是方程x25x60的两根,就求3）第 7 页,共 7 页的值 _（答：3 4）；A4cosB6,4sinAB3cos1,就C _（答：（2） ABC 中,3sin- - - - - - -