2022年高中高一数学必修各章知识点总结第一章集合与函数概念一.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中高一数学必修1 各章学问点总结第一章集合与函数概念一一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素；2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明： 1对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这 个给定的集合的元素；2任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素；3集合中的元素是公平的,没有先后次序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的 元素是否一样,不需考查排列次序是否一样；4集合元

2、素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性；3、集合的表示： 如 我校的篮球队员 , 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法；留意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于 “属于 ” 的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a 是集合 A 的元素, 就说 a 属于集合 A 记作 aA ,相反, a 不属于集合 A 记作 aA 列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上；

3、描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法；用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法；语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是 xR| x-32 或x| x-32 4、集合的分类：1有限集 含有有限个元素的集合2无限集 含有无限个元素的集合3空集 不含任何元素的集合 例： x|x2= 5二、集合间的基本关系1. “包含 ”关系 子集留意：有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分,；（2）A 与 B 是同一集合；反之 : 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A, 记作 A B 或 B A

4、 2“ 相等 ”关系 5 5,且 55,就 5=5 名师归纳总结 实例：设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同 ”B 的元素,同时 ,集合 B第 1 页,共 23 页结论：对于两个集合A 与 B,假如集合A 的任何一个元素都是集合- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的任何一个元素都是集合A 的元素,我们就说集合A 等于集合 B,即： A=B 任何一个集合是它本身的子集；AA 真子集 :假如 AB, 且 A B 那就说集合B A 假如 AB, BC , 那么 A

5、1645;C 假如 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 A 是集合 B 的真子集, 记作 A B 或规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集；三、集合的运算1交集的定义：一般地,由全部属于A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB 读作 A 交 B ,即 AB=x|x A ,且 xB 2、并集的定义：一般地,由全部属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B的并集；记作：AB读作 A 并 B,即 AB=x|x A,或 xB 3、交集与并集的性质：A A = A, A

6、= , A B = B A,A A = A, A = A ,AB = B A. 4、全集与补集（1）补集：设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集（即）,由 S 中全部不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作：CSA 即 CSA =x  xS 且 xA （2）全集：假如集合 S 含有我们所要讨论的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集；通常用 U 来表示；（3）性质： CUC UA=A 二、函数的有关概念C UAA= CUA A=U 1函数的概念：设 A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f

7、 ,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B中都有唯独确定的数 fx 和它对应, 那么就称 f ：AB 为从集合A到集合 B的一个函数记作： y=fx,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 fx| xA 叫做函数的值域留意： 2 假如只给出解析式y=fx,而没有指明它的定义域,就函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；定义域补充3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： 1 分式的分母不等于零； 2 偶次

8、方根的被开方数不小于零； 3 对数式的真数必需大于零； 4 指数、对数式的底必需大于零且不等于1. 5 假如函数是由一些基本函数名师归纳总结 通过四就运算结合而成的. 那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（ 6）第 2 页,共 23 页指数为零底不行以等于零 6 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又留意：求出不等式组的解集即为函数的定义域； 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再留意：（ 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系打算的,所以,假如两

9、个函数的定义域和对应关系完全一样,即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样,而与表示自变量和函数值的字母无关；相同函数的判定方法：表达式相同； 定义域一样 两点必需同时具备 见课本 21 页相关例 2 值域补充1 、函数的值域取决于定义域和对应法就,不论实行什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 . 2. 应熟识把握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础；3. 函数图象学问归纳1 定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=fx , xA中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 Px ,y 的集合 C,叫

10、做函数 y=fx,x A的图象C上每一点的坐标 x ,y 均满意函数关系 y=fx,反过来,以满意 y=fx 的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 x , y ,均在 C上 . 即记为 C= Px,y | y= fx , xA 图象 C一般的是一条光滑的连续曲线 或直线 , 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的如干条曲线或离散点组成；2 画法A、描点法： 依据函数解析式和定义域,求出x,y 的一些对应值并列表,以x,y为坐标在坐标系内描出相应的点Px, y,最终用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修4 三角函数）常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换

11、和对称变换3 作用：1、直观的看出函数的性质；发觉解题中的错误；4快去明白区间的概念2、利用数形结合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5什么叫做映射名师归纳总结 一般地,设A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就f ,使对于集合A 中的第 3 页,共 23 页任意一个元素x,在集合 B 中都有唯独确定的元素y 与之对应,那么就称对应f ：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射；记作“f ：A B”给定一个集合A 到 B的映射, 假如 aA,bB.且元素a 和元素 b 对应, 那么, 我们把

12、元素b叫做元素 a 的象,元素a 叫做元素 b 的原象说明：函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合A、B及对应法就f 是确定- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的；对应法就有“ 方向性” ,即强调从集合A 到集合 B 的对应, 它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射 f ：AB 来说,就应满意： （）集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯独的；（）集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象；常用的函数表示法及各自的优点： 1 函数图象既可

13、以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,留意判定一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必需注明函数的定义域； 3 图象法：描点法作图要留意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观看函数的特点；变量要有代表性,应能反映定义域的特点4 列表法：选取的自留意啊：解析法：便于算出函数值；列表法：便于查出函数值；图象法：便于量出函数值补充一：分段函数（参见课本 P24-25）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；在不同的范畴里求函数值时必需把自变量代入相应的表达式；分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的

14、取值情形（1）分段函数是一个函数, 不要把它误认为是几个函数；值域是各段值域的并集补充二：复合函数（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集,假如 y=fu,uM,u=gx,xA, 就 y=fgx=Fx,x A 称为 f 、g 的复合函数；例如 : y=2sinX y=2cosX2+1 7函数单调性（1）增函数 设函数 y=fx 的定义域为 I ,假如对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1x2 时,都有 fx1fx2,那么就说 fx 在区间 D上是增函数； 区间 D称为 y=fx 的单调增区间（睇清晰课本单调区间的概念）假如对于区间 D上的任意两个自变量的值 x

15、1,x2,当 x1x2 时,都有 fx1 fx2 ,那么 就说 fx 在这个区间上是减函数 . 区间 D称为 y=fx 的单调减区间 . 留意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质； 2 必需是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2；当 x1x2 时,总有 fx1fx2 ；（2） 图象的特点假如函数 y=fx在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. 3. 函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法： 1 任取 x1,x2D,且 x11 ,且 *当 是奇数

16、时,正数的 次方根是一个正数,负数的 次方根是一个负数此时,的 次方根用符号 表示式子 叫做根式（ radical）,这里 叫做根指数（ radical exponent）, 叫做被开方数（ radicand ）当 是偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数此时,正数 的正的 次方根用符号 表示,负的 次方根用符号表示正的 次方根与负的 次方根可以合并成 .（ 0 ）由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0,记作；留意：当 是奇数时,当 是偶数时,2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：,0 的正分数指数幂等于 0, 0 的负分数指数幂没有意义指出： 规定了分数指数幂的意

17、义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1） • ；（2） ；（3） （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地,函数叫做指数函数（exponential function）,其中 x 是自变量,函数的定义域为R留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 0a1 0a2 ,x| x-32 3） 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 4） Venn 图: 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 23 页精选学习资料 - - - - -

18、- - - - 4、集合的分类：1 有限集含有有限个元素的集合例： x|x2= 52 无限集含有无限个元素的集合3 空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1. “包含 ” 关系 子集留意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分,；（2）A 与 B 是同一集合；反之 : 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2“ 相等 ” 关系： A=B 5 5,且 55,就 5=5 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “ 元素相同就两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集；A A 真子集 :假如 A B,且 A1 B 那就说集合 A 是集合 B 的真

19、子集,记作 A B 或 B A 假如 A B, B C ,那么 A C 假如 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集；u 有 n 个元素的集合,含有2n 个子集, 2n-1 个真子集三、集合的运算运算类型名师归纳总结 交集第 10 页,共 23 页并集补集- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定 义由全部属于A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 A B（读作 A交 B ）,即 A B= x|x A ,且 x B 由全部属于集合 A 或属于

20、集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集记作：A B（读作 A并 B ）,即 A B =x|x A ,或 x B 设 S 是一个集合, A 是 S的一个子集,由 S 中全部不属于 A 的元素组成的集合,叫做S 中子集 A 的补集（或余集）S A 记作 ,即CSA= 韦恩图示S A 性质A A=A A =A B=B A A B A 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - A B B A A=A A =A A B=B A A B A B B CuA CuB = Cu A B CuA CuB = CuA B A C

21、uA=U A CuA= 例题：1.以下四组对象,能构成集合的是（）A 某班全部高个子的同学 B 闻名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 个 2.集合 a,b,c 的真子集共有 3.如集合 M=y|y=x2- 2x+1,x R,N=x|x0,就 M 与 N 的关系是 . 4.设集合 A= ,B= ,如 A B ,就的取值范畴是名师归纳总结 5.50 名同学做的物理、化学两种试验,已知物理试验做得正确得有40 人,化学试验做第 12 页,共 23 页得正确得有31 人,两种试验都做错得有4 人,就这两种试验都做对的有人；6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合

22、M= . 7.已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 如 BC ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A C=,求 m 的值二、函数的有关概念1函数的概念：设 A 、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f ,使对于集合A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应,那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=fx ,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值

23、的集合 fx| x A 叫做函数的值域留意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1分式的分母不等于零；2偶次方根的被开方数不小于零；3对数式的真数必需大于零；4指数、对数式的底必需大于零且不等于 1. 5假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的都有意义的x 的值组成的集合. 6指数为零底不行以等于零,.那么,它的定义域是使各部分7实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义 . u 相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一样 两点必需同时具备 见课本 21 页相关例 2 2值域 : 先考虑

24、其定义域1观看法2配方法3代换法名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 函数图象学问归纳1定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=fx , x A 中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 Px,y的集合 C,叫做函数 y=fx,x A的图象 C 上每一点的坐标 x,y均满足函数关系 y=fx ,反过来,以满意 y=fx 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x,y,均在 C 上 . 2 画法A、 描点法：B、 图象变换法常用变换方法有三种1 平移变换2 伸缩变换3 对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区

25、间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地,设 A 、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f ,使对于集合 A中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f： A B为从集合 A 到集合 B 的一个映射；记作“ f（对应关系） ：A（原象）B（象） ”对于映射 f：AB 来说,就应满意：1集合 A 中的每一个元素,在集合 2集合 A 中不同的元素,在集合B 中都有象,并且象是唯独的；B 中对应的象可以是同一个；3不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象；6.分段函数名师归纳总结 - - - - - - -

26、第 14 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；2各部分的自变量的取值情形3分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集补充：复合函数假如 y=fuu M,u=gxx A, 就 y=fgx=Fxx 二函数的性质1.函数的单调性 局部性质 （1）增函数A 称为 f、g 的复合函数；设函数 y=fx 的定义域为I,假如对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1,x2,当 x1x2 时,都有 fx1fx2 ,那么就说 的单调增区间 . fx 在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=fx假如对于区间

27、D 上的任意两个自变量的值x1,x2,当 x1x2 时,都有 fx1 fx2 ,那么就说 fx 在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 . 留意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx 在这一区间上具有严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下 降的 . 3.函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法：1 任取 x1, x2D,且 x1x2 ；2 作差 fx1 fx2 ；名师归纳总结 3 变形（通常是因式分解和配方）；第 15 页,共 23 页4 定号（即判

28、定差fx1 fx2 的正负）；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5 下结论（指出函数fx 在给定的区间D 上的单调性） B图象法 从图象上看升降 C复合函数的单调性复合函数 fgx 的单调性与构成它的函数 增异减 ”u=gx ,y=fu 的单调性亲密相关, 其规律：“ 同留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 . 8函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 f x=fx ,那么 fx 就叫做偶函数（2）奇函数一般地,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 f x= fx ,那么 fx 就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用