2022年高中数学必备公式定理大全.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（高考必备！）高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系:xAxC A ,xC AxA .AA2n1个；非空的真子集2 集合a a2,an2 n 个；真子集有2 n1的子集个数共有个；非空子集有有 2n2个. c a0; x 2,0时,3 二次函数的解析式的三种形式：1 一般式f x ax2bx2 顶点式f x axh 2ka0; （当已知抛物线的顶点坐标 , 时,设为此式）3 零点式f x a xx 1xx 2a0；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为x 1,0,设为此式）（4）切线式：f a xx02kxd,a0；（当已知抛

2、物线与直线ykxd 相切且切点的横坐标为0x 时,设为此式）4 真值表：同真且真,同假或假5 常见结论的否定形式; 原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有 n 个至多有（n1）个小于不小于至多有 n 个至少有（n1）个. ）对全部 x ,成立存在某 x ,不成立p 或 qp 且q对任何 x ,不成立存在某 x ,成立p 且 qp 或q6 四种命题的相互关系 下图 : （原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假原命题互逆逆命题如就如就互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题如非就非互逆如非就非充要条件：1 、 pq ,就 P 是 q

3、 的充分条件,反之,q 是 p 的必要条件；（2）、 pq,且 q p,就 P 是 q 的充分不必要条件；3 、p p ,且 qp ,就 P 是 q 的必要不充分条件；4、p p ,且 q p,就 P 是 q 的既不充分又不必要条件；7 函数单调性 : 名师归纳总结 增函数： 1 、文字描述是：y 随 x 的增大而增大；第 1 页,共 20 页（2）、数学符号表述是：设f （x）在 xD 上有定义,如对任意的x x2D,且x 1x2,都有fx 1f x 2成立,就就叫f（x）在 xD 上是增函数； D 就就是 f（x）的递增区间；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -

4、- - - 学习必备 欢迎下载减函数： 1 、文字描述是：y 随 x 的增大而减小；（2）、数学符号表述是：设 f（ x）在 x D 上有定义,如对任意的 x x 2 D , 且 x 1 x 2,都有f x 1 f x 2 成立,就就叫 f（x）在 x D 上是减函数； D 就就是 f（x）的递减区间；单调性性质： 1 、增函数 +增函数 =增函数；（2）、减函数 +减函数 =减函数；3 、增函数 -减函数 =增函数； 4 、减函数 -增函数 =减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情形下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集；复合函数的单调性：函数单调单调性内层函数外层函数复合函数等价关

5、系：1 设x x 2a b,x 1x 那么fx 200fx在a ,b上是增函数；x0,就fxx 1x 2f x 1f x 20fx 1x 1x2x 1x 2f x 1f x 20fx 1fx 20fx 在a,b上是减函数 . x 1x22 设函数yfx在某个区间内可导,假如fx,就fx为增函数； 假如f为减函数 .8 函数的奇偶性： （注： 是奇偶函数的前提条件是：定义域必需关于原点对称）奇函数：定义： 在前提条件下,如有fxf 或fxf 0,就 f （x）就是奇函数；性质 ：（1）、奇函数的图象关于原点对称；（2）、奇函数在 x0 和 x0 和 x0 上具有 相反 的单调区间；奇偶函数间的关

6、系：1 、奇函数 偶函数=奇函数；（2）、奇函数 奇函数=偶函数；3 、偶奇函数 偶函数=偶函数；4 、奇函数 奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）5 、偶函数 偶函数=偶函数；6 、奇函数 偶函数=非奇非偶函数奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 那么这个函数是奇函数；假如一个函数的图象关于9 函数的周期性：y 轴对称 ; 反过来,假如一个函数的图象关于原点对称,y 轴对称,那么这个函数是偶函数定义： 对函数 f（x）,如存在 T0,使得 f（ x+T ）=f（x）,就就叫 f（x）是周期函数,其中,T 是 f（x）的一个周期；周期函数几种常见的表述形式：名师归纳总结 1 、 f（x+

7、T ）= - f（x）,此时周期为2T ；第 2 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）、 f（x+m） =f（x+n）,此时周期为 2 m n；3 、f xm1,此时周期为2m ；yxa2b; 两个f x 10 常见函数的图像：k0ya0yy=axy=log ax0a1oxox0a1o1y=kx+ba01xoa1xy=ax2+bx+cx 的对称轴是11 对于函数yfxxR,fxafbx恒成立 , 就函数f函数yfxa与yfbx的图象关于直线xb2a对称 . 12 分数指数幂与根式的性质：m1annam（a0,m n

8、N ,且n1）. mn1n1m（a0,m nN ,且n1）. （2）anma00. an（ 3） n aa . （ 4）当 n 为奇数时,nana ；当n为偶数时,nan|a|a aa a13 指数式与对数式的互化式: logaNbabN a0,a1,N0. 指数性质：1 1、aps1rs；（2）、a01（a0）； 3 、amnamnap4 、araaa0, , r sQ；5 、mnam；an指数函数：1 、yaxa1在定义域内是单调递增函数；注：指数 函数图象都恒过点（0,1）（2）、xa1在定义域内是单调递减函数；ya0对数性质：1 、 logaMlogaNablog aMN；（2）、 l

9、ogaMalogaNlogaM；0N3 、 logabmmlog； 4 、 logambnnlogb；5 、 log 1m6 、logaa1；7 、al o g abb对数函数：名师归纳总结 1 、ylogax a1在定义域内是单调递增函数；第 3 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）、ylogax0a1学习必备欢迎下载注： 对数 函数图象都恒过点（1,0）在定义域内是单调递减函数；3 、l o g ax0a x 0 , 1 a x,1,. N1px. 4 、 logax0a0,1 就x1,或a1,就x0,114 对数的换底公式 :

10、logaNlogmN a0, 且a1,m0, 且m1 ,N0logma对数恒等式：alog a NN a0, 且a1,N0. 推论loga mbnnlogaba0, 且a1,N0. m15 对数的四就运算法就: 如 a0, a 1,M0, N0,就1 log aMNlogaMlogaN ; 2 logaMlogaMlogaN; N3 logaMnnlogaM nR ; 4 logamNnnlogaN n mR ；m16 平均增长率的问题（负增长时p0）：y假如原先产值的基础数为N,平均增长率为p ,就对于时间x 的总产值 y ,有17 等差数列：通项公式：（1）a n a 1 n 1 d,其中

11、 a 为首项, d 为公差, n 为项数,a 为末项；（2）推广：a n a k n k d（3）a n S n S n 1 n 2（注：该公式对任意数列都适用）前 n 项和：（1）S n n a 1 a n ；其中 a 为首项, n 为项数,a 为末项；2n n 1（2）S n na 1 d2（3）S n S n 1 a n n 2（注 ：该公式对任意数列都适用）（4）S n a 1 a 2 a n（注 ：该公式对任意数列都适用）常用性质：（1）、如 m+n=p+q ,就有 a m a n a p a q；注： 如 a m 是 a n , a p 的等差中项,就有 2 a m a n a p

12、 n、m、p 成等差；（2）、如 na、b n 为等差数列,就 a n b n 为等差数列；（3）、a n 为等差数列,S 为其前 n 项和,就 S m , S 2 m S m , S 3 m S 2 m 也成等差数列；（4）、a p q a q p , 就 a p q 0；（5）1+2+3+ +n= n n 1 2等比数列：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 通项公式：（1）ana qn1a 1qn学习必备*欢迎下载nN,其中a 为首项, n 为项数, q 为公比；qn k（2）推广：a n a k q（3）a n

13、 S n S n 1 n 2（注：该公式对任意数列都适用）前 n 项和：（1）S n S n 1 a n n 2（注：该公式对任意数列都适用）（2）S n a 1 a 2 a n（注：该公式对任意数列都适用）na 1 q 1（3）S n a 1 1 q n q 11 q常用性质：（1）、如 m+n=p+q ,就有 a m a n a p a q；2注： 如 a m 是 a n , a p 的等比中项,就有 a m a n a p n、m、p 成等比；（2）、如 a n、b n 为等比数列,就 a n b n 为等比数列；n18 分期付款 按揭贷款 ：每次仍款 x ab 1n b 元贷款 a 元

14、, n 次仍清 ,每期利率为 b . 1 b 119 三角不等式：（1）如x0,2,就 sinxxtanx . 1 , tan=sin,2 如x0,2,就 1sinxcosx2. 3 | sinx| cosx| 1. 20 同角三角函数的基本关系式：sin2cos2cos21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变,符号看象限）22 和角与差角公式名师归纳总结 sinsincoscossin; cosbcoscos. sinsin; 第 5 页,共 20 页tantantan. 1tantan . asinbcos=2 ab2 sin 帮助角所在象限由点 , a b 的象限打算 , tana23 二

15、倍角公式及降幂公式1tan2sin 2sincos12tan2. tancos 2cos2sin22cos2112sin21 12 tancos2tan212tan. tansin22 tan1 cos2sin 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 1 cos2sin224 三角函数的周期公式学习必备,x欢迎下载,cos21cos22函数ysinx, x R 及函数ycos,x RA, ,为常数,且A 0 的周期T2|；函数ytanx,xk2kZ A, ,为常数,且A 0 的周期T|. |三角函数的图像：-2-3/2y=sinxy3/2y=cosxy

16、1/23/22x1-/2o/22x-2-3/2-/2o-25 正弦定理：aA-1cC2R-1. B:sinCb（R为ABC 外接圆的半径）sinsinBsin2RsinCa b csinA:sina2RsinA b2RsinB c26 余弦定理：a2b2c22 bccosA ;b2c2a22cacosB ;c2a22 b2abcosC . 27 面积定理：（1）S 1ah a 1bh b 1ch （c h a、h b、h c 分别表示2 2 2（2）S 1ab sin C 1bc sin A 1ca sin B . 2 2 23 S OAB 1| OA | | OB | 2 OA OB 2.

17、22 S a bc 斜边r 内切圆 , r 直角 内切圆a b c 228 三角形内角和定理：在 ABC中,有 A B C C A B C A B2 C 2 2 A B . 2 2 229 实数与向量的积的运算律 : 设 、 为实数,那么：1 结合律： a= a ; 2 第一安排律： + a = a + a ; 3 其次安排律： a +b = a + b . 30 a 与 b 的数量积 或内积 ： a b =| a | b | cos；31 平面对量的坐标运算：a、b、c 边上的高） . 1 设 a =x 1,y 1, b =x 2,y 2,就 a +b =x 1x2,y 1y2. y 1.

18、2 设 a =x 1,y 1, b =x 2,y 2,就 a - b =x 1x2,y 1y2. 3设 Ax 1,y 1,Bx 2,y2, 就ABOBOAx 2x y 124 设 a = , x y,R ,就a=x,y . y y2. 5 设 a =x 1,y 1, b =x2,y2,就 a b =x x 232 两向量的夹角公式：cos|a b|2 x 1x x2y y 22 y 2 a =x 1,y 1, b =x 2,y2. a| |b2 y 1x2 233 平面两点间的距离公式：名师归纳总结 dA B=|AB|AB ABx 2x 12y 2y 12Ax y 1,Bx2,y2. 第 6

19、页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -学习必备欢迎下载34 向量的平行与垂直：设 a =x y 1, b =x 2,y2,且 b0 ,就：a | bb = ax y 2x y 10. （交叉相乘差为零）ab a0 a b =0x x2y y 20. （对应相乘和为零）35 线段的定比分公式：设P x 1,y 1, 2 P x 2,y 2, , P x y 是线段P P 的分点 ,是实数,且PPPP ,就xx 1x 2OPOP 1OP 21yy 1y 21136 三角形的重心坐标公式：OPtOP 11t

20、 OP （t1Ax ,y 、1 11）. 2 、Cx ,y 33 , 就 ABC ABC 三个顶点的坐标分别为Bx ,y 2的重心的坐标是Gx 1x 2x 3,y 1y2y 3. 3337 三角形五“ 心” 向量形式的充要条件：设 O 为ABC 所在平面上一点,角A B C 所对边长分别为a b c ,就（1） O为ABC的外心OA2OB2OC2. （2） O为ABC 的重心OAOBOC0. （3） O为ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA . （4） O为ABC 的内心aOAbOBcOC0. （5） O为ABC 的A 的旁心aOAbOBcOC . 38 常用不等式：（1）a bRa2

21、b22ab 当且仅当ab 时取“=” 号 （2）a bRa2bab 当且仅当 ab 时取“=” 号 （3）a3b3c33 abc a0,b0,c0.（4）ababab. （5）2 aba b39 极值定理 : 已知x,ab a b a2y 都是正数,就有222 b 当且仅当ab 时取“=” 号 ；（1）如积 xy是定值 p ,就当xy时和xy有最小值2p；（2）如和xy是定值 s ,就当xy时积 xy有最大值1 s . 4（3）已知a b x yR ,如axby1就有11axby11abbyaxab2abab2；xyxyxy（4）已知a b x yR ,如ab1就有xyxyxy ababayb

22、xab2abab2xyxy40 一元二次不等式ax2bxc0或0a0,b24ac0,假如 a 与ax2bxc 同号,就其解集在两根之外；假如a 与ax2bxc 异号,就其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外,异号两根之间 . 即：第 7 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载y . x 1xx2xx 1xx20x 1x 2；xx 1,或xx2xx 1xx 20x 1x 2. 41 含有肯定值的不等式：当 a 0 时,有xax2a 2axa . xax22 axa 或 xa . 42 斜率公式：ky2y 1（P x y 1、P 2x 2,y2）. x

23、2x 143 直线的五种方程：（1）点斜式yy 1k xx 1 直线 l 过点P x 1,y 1,且斜率为 k （2）斜截式ykxb b 为直线 l 在 y 轴上的截距 . （3）两点式yy 1xx 1y 1y P x y 1、P 2x 2,y 2 x 1x 2,y 1y2y 1x 2x 1两点式的推广：x 2x 1yy 1y 2y 1xx 10（无任何限制条件！ ）4 截距式xy1 a、b分别为直线的横、纵截距,a0、b0 a Axb By（5）一般式其中 A、B 不同时为 0. C0直线AxByC0的法向量：l , A B ,方向向量：l ,A44 夹角公式：名师归纳总结 1tan|k 2

24、k 1|. 1:yk xb ,l2:yk xb ,k k 21 第 8 页,共 20 页1k k 2 12tan|A B 2A B 1|. 1:Ax B y C 10, 2:A xB yC 20,A A 2B B 20. A A 2B B 2直线l1l 时,直线 l 1与 l2的夹角是2. 45 1l 到2l 的角公式：1tank2k 1. 1:yk xb ,l2:yk xb ,k k21 1k k 12tanA B 2A B 1. 1 l:A xB yC 10, 2 l:A xB yC20,A A 2B B20. A A 2B B2直线l1l 时,直线 l1 到 l 2的角是2. 46 点到

25、直线的距离：d|Ax 0ABy02C|点P x 0,y0,直线 l ：AxByC0. 2B47 圆的四种方程：xa2yb2r2. （1）圆的标准方程（2）圆的一般方程x2y2DxEyF0D2E24 F 0. （3）圆的参数方程xarcos. ybrsin（4）圆的直径式方程x x 1 x x 2 y y 1 y y 20 圆的直径的端点是A x y 、B x y . 48 点与圆的位置关系：点P x 0,y 0与圆xa2yb 2r2的位置关系有三种：如dax 02 by 02,就 dr点 P 在圆外 ; dr点 P 在圆上 ; dr点 P 在圆内 . - - - - - - -精选学习资料 -

26、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -学习必备欢迎下载49 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ： 直 线AxByC0与 圆xa2yb2r2的 位 置 关 系 有 三 种dAa2BbC: AB2dr相离0;dr相切0;dr相交0. 50 两圆位置关系的判定方法: 设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r 1,r 2,O 1O2d,就：dr 1r2外离4条公切线; dr 1r2外切3 条公切线; r 1r2dr 1r 2相交2 条公切线; 内含内切相交外切相离dr 1r2r2内切1 条公切线; . odr2-r1dr1+r2dd0dr 1内含无公切线51 椭圆

27、x2y21 ab0的参数方程是xacos. 离心率ec12 b,a2b2ybsinaa 2准线到中心的距离为a2,焦点到对应准线的距离 焦准距 p2 b；cc过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为：2 2 ba. 52 椭圆x2y21 ab0焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: 22abPF 1e xa2aex,PF2e a2x aex；SF PF 12c y P|b2tanF PF；cc253 椭圆的的内外部: （1）点P x 0,y0在椭圆x2y21 ab0的内部2 x 02 y 01. a2b2a2b2（2）点P x 0,y0在椭圆x2y21 ab0的外部2 x 0y21. 0a

28、2b2a2b254 椭圆的切线方程: 1 椭圆x2y21 ab0上一点P x 0,y 0处的切线方程是x x 0y y 01. a2b2a2b2（2）过椭圆22 x2 y1 外一点P x 0,y0所引两条切线的切点弦方程是x xy y 2 b1 . 2 c . 2 a2 ba2（3）椭圆x ay21 ab0与直线AxByC0相切的条件是2 A a22 B b22b255 双曲线x2y21 a0,b0的离心率ec1b2,准线到中心的距离为a2,焦点到对应a2b2aa2c准线的距离 焦准距 pb2；过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为：2 2 ba.c焦半径公式PF 1| e xa2 | |ae

29、x|,PF2| a2x | |aex|,cc两焦半径与焦距构成三角形的面积SF PF 1 2b2cotF PF；256 双曲线的方程与渐近线方程的关系: 第 9 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1. 1 ）如双曲线方程为x2y21渐近线方程：x2y20ybx. a2b2a2b2ax2y2. 2如渐近线方程为 y b x x y 0 双曲线可设为a a b2 2 2 23 如双曲线与 x2 y2 1 有公共渐近线,可设为 x2 y2a b a b（0,焦点在 x 轴上,0 ,焦点在 y 轴上） . 4 焦点到渐近线的距离总是 b ；a2b257 双曲线的切线方程: 1 双