2022年高中数学百大经典例题—不等式证明 .pdf
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1、学习好资料欢迎下载高中数学典型例题一例 1若10 x,证明)1(log)1 (logxxaa(0a且1a) 分析 1 用作差法来证明需分为1a和10a两种情况,去掉绝对值符号,然后比较法证明解法 1 (1)当1a时,因为11 , 110 xx,所以)1(log)1(logxxaa)1 (log)1(logxxaa0)1(log2xa(2)当10a时,因为11 , 110 xx所以)1(log)1(logxxaa)1 (l o g)1(l o gxxaa0)1(l o g2xa综合( 1) (2)知)1(log)1(logxxaa分析 2 直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号解法 2 作差比
2、较法因为)1(log)1(logxxaaaxaxlg)1lg(lg)1lg()1lg()1lg(lg1xxa)1lg()1lg(lg1xxa0)1lg(lg12xa,所以)1(log)1(logxxaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载说明: 解法一用分类相当于增设了已知条件,便于在变形中脱去绝对值符号;解法二用对数性质(换底公式)也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法自然简捷、明快典型例题
3、二例 2 设0ba,求证:.abbababa分析: 发现作差后变形、判断符号较为困难考虑到两边都是正数,可以作商,判断比值与1 的大小关系,从而证明不等式证明:baabbaabbababababa)(0ba,. 0, 1baba1)(baba. abbababa. 1又0abba,.abbababa. 说明: 本题考查不等式的证明方法比较法(作商比较法 ).作商比较法证明不等式的步骤是:判断符号、作商、变形、判断与1 的大小 . 典型例题三例 3 对于任意实数a、b,求证444()22abab(当且仅当ab时取等号)分析这个题若使用比较法来证明,将会很麻烦,因为,所要证明的不等式中有4()2a
4、b,展开后很复杂。若使用综合法,从重要不等式:222abab出发,再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。证明: 222abab(当且仅当22ab时取等号)两边同加4444222(): 2()()ababab,即:44222()22abab(1)又:222abab(当且仅当ab时取等号)两边同加22222(): 2()()ababab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载222()2
5、2abab2224()()22abab(2)由( 1)和( 2)可得444()22abab(当且仅当ab时取等号)说明: 此题参考用综合法证明不等式综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明,要注意均值不等式的变形应用,一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解典型例题四例 4 已知a、b、cR,1abc,求证1119.abc分析显然这个题用比较法是不易证出的。若把111abc通分,则会把不等式变得较复杂而不易得到证明由于右边是一个常数,故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式,比如baab,再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径,这也常称为“凑倒数”的技巧证明: 1ab
6、c111abcabcabcabcabc(1)(1)(1)bcacabaabbcc3()()()bacacbabacbc22bab aaba b,同理:2caac,2cbbc。11132229.abc说明: 此题考查了变形应用综合法证明不等式题目中用到了“凑倒数”,这种技巧在很多不等式证明中都可应用,但有时要首先对代数式进行适当变形,以期达到可以“凑倒数”的目的典型例题五例已知cba,求证:accbba1110. 分析: 此题直接入手不容易,考虑用分析法来证明,由于分析法的过程可以用综合法来书写,所以此题用两种方法来书写证明过程. 证明一: (分析法书写过程) 名师资料总结 - - -精品资料欢
7、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载为了证明accbba1110 只需要证明cbba11ca1cba0,0cbbacacbcaba1,110 cbba11ca1成立accbba1110 成立证明二: ( 综合法书写过程) cba0,0cbbacaba1ca1cb10 cbba11ca1成立accbba1110 成立说明: 学会分析法入手,综合法书写证明过程,但有时这两种方法经常混在一起应用,混合应用时,应用语言叙述清楚. 典型例题
8、六例 6若0,0ab,且2cab,求证:22.ccabaccab分析这个不等式从形式上不易看出其规律性,与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系,所以可以采用分析的方法来寻找证明途径但用“分析”法证不等式,要有严格的格式,即每一步推出的都是上一步的充分条件,直到推出的条件是明显成立的(已知条件或某些定理等)证明: 为要证22.ccabaccab只需证22cabaccab,即证2accab,也就是22()accab,即证22aacab,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
9、 第 4 页,共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载即证2()aca ab,0,2,0acab b,2abcab,故2cab即有20cab,又 由2cab可得2()aca ab成立, 所求不等式22ccabaccab成立说明: 此题考查了用分析法证明不等式在题目中分析法和综合法是综合运用的,要注意在书写时,分析法的书写过程应该是: “欲证需证” ,综合法的书写过程是: “因为()所以 ()”,即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混典型例题七例 7 若233ba,求证2ba分析: 本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法证法一:假设2ba,则)(2)
10、(222233babababababa,而233ba,故1)(22babaabbaab2122从而1ab,2122abba4222)(222ababbaba2ba这与假设矛盾,故2ba证法二:假设2ba,则ba2,故3333)2(2bbba,即261282bb,即0)1(2b,这不可能从而2ba证法三:假设2ba,则8)(3)(333baabbaba由233ba,得6)(3baab,故2)(baab又2)(2233babababa,)()(22babababaab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -
11、- - - - - - 第 5 页,共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载abbaba22,即0)(2ba这不可能,故2ba说明: 本题三种方法均采用反证法,有的推至与已知矛盾,有的推至与已知事实矛盾一般说来,结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句,或结论以否定语句出现,或结论肯定“过头”时,都可以考虑用反证法典型例题八例 8 设x、y为正数,求证33322yxyx分析: 用综合法证明比较困难,可试用分析法证明: 要证33322yxyx,只需证233322)()(yxyx,即证6336642246233yyxxyyxyxx,化简得334224233yxyxyx,
12、0)323(2222yxyxyx0334422yy,032322yxyx0)323(2222yxyxyx原不等式成立说明:1 本题证明易出现以下错误证法:xyyx222,323233332yxyx, 然后分 (1)1yx;(2)1yx;(3)1x且10y;(4)1y且10 x来讨论,结果无效2用分析法证明数学问题,要求相邻两步的关系是BA,前一步是后一步的必要条件,后一步是前一步的充分条件,当然相互为充要条件也可以典型例题九例 9 已知2122yx,求证32122yxyx分析: 联想三角函数知识,进行三角换元,然后利用三角函数的值域进行证明证明: 从条件看,可用三角代换,但需要引入半径参数r2
13、122yx,可设cosrx,sinry,其中2021,r)2sin211(cossin22222rrryxyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载由232sin21121,故22223)2sin211(21rrr而21212r,3232r,故32122yxyx说明: 1三角代换是最常见的变量代换,当条件为222ryx或222ryx或12222byax时,均可用三角代换2用换元法一定要注意新元的范围
14、,否则所证不等式的变量和取值的变化会影响其结果的正确性典型例题十例 10 设n是正整数,求证121211121nnn分析: 要求一个n项分式nnn212111的范围,它的和又求不出来,可以采用“化整为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围证明: 由), 2, 1(2nknknn,得nknn1121当1k时,nnn11121;当2k时,nnn12121当nk时,nnnn11211212111221nnnnnnn说明: 1、用放缩法证明不等式,放缩要适应,否则会走入困境例如证明4712111222n由kkk11112,如果从第3 项开始放缩, 正好可证明; 如果从第2 项放缩, 可得小于 2
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