2022年高中基本不等式经典例题教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载全方位教学辅导教案学科：数学任课老师：授课时间： 2022 年 11 月 3 日星期次课姓名性 别女年 级高二总课时：第教学均值不等式应用（技巧）内容教学1、熟识均值不等式的应用题型目标2、把握各种求最值的方法重点重点是把握最值应用的方法难点难点是不等式条件的应用课 前作业完成情形：检 查教与 交沟通与沟通流 一均值不等式学针1.（1）如a,bR,就a2b22ab2如a,bR,就aba22b2（当且仅当ab时取“=” ）过对2. 1 如a ,bR*,就a2bab 2如a,bR*,就ab2ab（当且仅当ab性时取“=” ）3 如

2、a,bR*,就aba2b2 当且仅当ab时取“=” ）授3. 如x0,就x12 当且仅当x1时取“=” ）; 如x0,就x12 当且仅当程课xxx1时取“=” ）如x0,就x12 即x12 或x1-2 当且仅当ab时取“=” ）xxx3. 如ab0,就ab2 当且仅当ab时取“=” ）ba如ab0,就ab2 即ab2 或ab-2 当且仅当ab时取“=” ）bababa4. 如a,bR,就a2b2a22b2（当且仅当ab时取“=” ）注：（ 1）当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“ 积定和最小,和定积最大” （ 2）求最值的条件

3、“ 一正,二定,三取等”3均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范畴、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载应用一：求最值例 1：求以下函数的值域（1） y3x 21 22x（2） yx1x解题技巧：技巧一：凑项例 1：2yx2xx13,x3；2415的最大值变式：已知5,求函数y4x4x；技巧二：凑系数例 1. 当 时,求 y x 8 2 x 的最大值；解析：由 知,利用均值不等式求最值,必需和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值；留意到

4、 2 x 8 2 8 为定值,故只需将y x 8 2 x 凑上一个系数即可；评注：此题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值；名师归纳总结 变式： 1、设0x3,求函数y4x32x的最大值；并求此时x 的值第 2 页,共 10 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2已知 0x1,求函数学习必备x 1欢迎下载yx 的最大值 .；30x2,求函数yx 2 3 x 的最大值 . 3技巧三 ： 分别例 3. 求y2 x7x10 x1的值域；x1技巧四 ：换元解析二：此题看似无法运用均值不等式,可先换元,令yt2 1

5、7t1 +10=t25t4t45tttt=x 1,化简原式在分别求最值；当,即 t=时,y2t459（当 t=2 即 x1 时取“ ” 号） ；t评注：分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值；即化为ymg x AB A0,B0,gx恒正或恒负的形式,然g x 后运用均值不等式来求最值；变式名师归纳总结 1 yx23x1,x0第 3 页,共 10 页x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载应结合函数f x xa技巧五： 留意：在应用最值定理求最值时,如遇等号取不到的情形,x的单调性；例：求函数

6、yx 25的值域；x14t1 t2y5；2 x4解：令x24t t2,就yx25x24x242t因t0,t11,但t1解得t1不在区间2,故等号不成立,考虑单调性；tt由于yt1在区间 1,单调递增, 所以在其子区间2,为单调递增函数, 故t2所以,所求函数的值域为5 , 2；条件求最值1. 如实数满意4ab2,就3a3b的最小值是 . 变式：如logxlog4y21 y的最小值 .并求 x,y 的值,求1 x技巧六：整体代换：2：已知x0,y0,且1 x91,求 xy 的最小值；y；名师归纳总结 变式：（1）如x,y,R且2xyb1,求1 xx1的最小值第 4 页,共 10 页y2已知a,b

7、x,yR且a1,求y的最小值xy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1y2 的最大值 . 技巧七 、已知 x,y 为正实数,且 2 x 2y 21,求 x技巧八：已知a,b 为正实数, 2baba30,求函数y1 ab的最小值 . 分析：这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对此题来说,这种途径是可行的；二是直接用基本 不等式,对此题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行；点评： 此题考查不等式

8、abab（a,bR）的应用、 不等式的解法及运算才能；b如2何由已知不等式aba2 b30（a,bR）动身求得 ab的范畴,关键是查找到a与ab之间的关系,由此想到不等式a2bab（a,bR）,这样将已知条件转换为含ab 的不等式,进而解得ab的范畴 .变式： 1.已知 a0,b0,abab 1,求 ab 的最小值；名师归纳总结 2.如直角三角形周长为1,求它的面积最大值；第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载技巧九、取平方5、已知 x,y 为正实数, 3x2y10,求函数 W解法一：如利用算术平均与平方平均之间的

9、不等关系,3x 2y2 （3x ）2（2y ）3x 2y 的最值 . a b a 2b 222,此题很简洁2 2 3x2y 2 5 解法二：条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“ 和为定值” 条件靠拢；W 0,W23x2y23x 2y 10 2 3x 2y 10 3x 2 2y 2 103x2y20 W20 2 5 的最大值；,为利用均值不等式制造了条件；变式 : 求函数y2x152 1x522评注：此题将解析式两边平方构造出“ 和为定值”总之,我们利用均值不等式求最值时,肯定要留意“ 一正二定三相等”,同时仍要留意一些变形技巧,积极制造条件利用均值

10、不等式；应应用二：利用均值不等式证明不等式例 6：已知 a、b、cR ,且abc1；求证：1111118abc变式：1已知a ,b ,c为两两不相等的实数,求证：a2b2c2abbcca2、正数 a,b,c 满意 abc 1,求证： 1a1b1 c8abc应用三：均值不等式与恒成立问题名师归纳总结 例：已知x0,y30且1 x91,求使不等式xxyym 恒成立的实数m 的取值范畴；y解：令xyk x0,y0,191,kx9x9y1.10y9x1xykykkxky110 k2；k16,m,16第 6 页,共 10 页k- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学

11、习必备 欢迎下载课堂1：添加项x3,求yx223的最小值 . 检【例 1】已知测2x2: 配系数【例 2】已知0x3,求yx32x 的最大值 . 23: 分拆项【例 3】已知x2,求yx2x3x6的最小值 . 24: 巧用”1” 代换【例 4】已知正数x,y满意2xy1, 求12的最小值 . xy. 名师归纳总结 【例 5】已知正数x ,y ,z满意xyz1,求149的最小值 . 第 7 页,共 10 页xyz- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载5: 换元【例 6】已知abc, 求wx2a5cac的最小值 . abbc【例 7】已知x1

12、, 求yx18的最大值 . x7: 直接运用化为其它课【例 9】已知正数xa,b满意ababx3, 求 ab 的取值范畴 . 1、（ 1）、已知0,y2y1,求1 x1的最值；0,满意后y作业（2）、如x0,y0,且2 x81,求 xy的最值； 此 时 的x值 为y（3）、如 -4x1,求x222x2的最大值 . x2 2 、 函 数fx=xx22x 0 的 最 大 值 是4_名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、（2022 山东理）如对任意学习必备2欢迎下载1a恒成立,就 a 的取值范畴是x ,xx3x4 、 如

13、 点A 2, 1在 直 线mxny10上 , 其 中mn0, 就12的 最 小 值mn为 . 5、（ 1）、已知 x+3y-2=0 ,就 3 x+27 y+1 的最小值为 . （2）、如 x,y 0,+ 且 2x+8y-xy=0 ,求 x+y 的最小值 . 6、已知两个正数a b 满意ab4,求使2 a8m恒成立的 m 的范畴 . b7函数 y=log ax+3 1a0,a 1 的图象恒过定点中 mn0,求11的最小值为；mnA,如点 A在直线 mx+ny+1=0上,其820XX 年合肥模拟 已知 x1x2 x2022x20221,且 x1,x2, ,x2022,x2022都是正数,就 1 x

14、1 1 x2 1x2022 的最小值是 _9已知直线 l 过点 P2,1,且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点, O 为坐标原点,名师归纳总结 就三角形 OAB 面积的最小值为_第 9 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载10 20XX 年江苏卷改编 如 x、y、zR2,x2y3z0,求 y xz的最小值11已知 A0,9 B0,16 是 y 轴正半轴上的两点,Cx,0 是 x 轴上任意一点,求当点C在何位置时,ACB 最大？12. 已知不等式xy1a9对任意正实数,x y 恒成立,就正实数a 的最小值为xy签 字教研组长：教学主任：同学：教务老师：家长：老 师 同学的状况、接受情形和协作程度：课 后 评 价给家长的建议： TA-65 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页