2022年高中数学选修—知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 坐标系与参数方程 学问点1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 Px,y是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换:xx0 0的作用yy下, 点 Px,y 对应到点P x y, 称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换. 2. 极坐标系的概念1 极坐标系如下列图, 在平面内取一个定点O , 叫做极点 , 自极点 O 引一条射线 Ox , 叫做极轴 ; 再选定一个长度单位, 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆. 时针方向 , 这样就建立了一个极坐标系注: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以相互垂直的两条数轴为

2、几何背景 ; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而极坐标系就不行. 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. 2 极坐标设 M是平面内一点 , 极点 O 与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 , 记为 ; 以极轴 Ox 为始边, 射线 OM 为终边的角 xOM叫做点 M的极角 , 记为 . 有序数对 , 叫做点 M的极坐标, 记作 M , . 一般地 , 不作特殊说明时 , 我们认为 0, 可取任意实数 . 特殊地 , 当点 M 在极点时 , 它的极坐标为 0, R. 和直角坐标不同 , 平面内一个点的极坐标有很多种表示 . 假如规定 0,0 2 , 那么除极点外 , 平

3、面内的点可用唯独的极坐标 , 表示 ;同时 , 极坐标 , 表示的点也是唯独确定的 . 3. 极坐标和直角坐标的互化名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如下列图 : , 极 坐 标 是2 互 化 公 式 : 设 M 是 坐 标 平 面 内 任 意 一 点 , 它 的 直 角 坐 标 是 , x y, 0, 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 0点 M直角坐标 , 极坐标 , 互化公式xcos2x2y2y x xy

4、sintan在一般情形下 , 由 tan确定角时 , 可依据点 M 所在的象限最小正角. 4. 常见曲线的极坐标方程曲线, 半径图形极坐标方程2 圆心在极点r0为 r 的圆名师归纳总结 圆心为 ,0, 半径2 cos 22第 2 页,共 5 页为 r 的圆, 半2 sin0圆 心 为 ,2径为 r 的圆- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 过极点 , 倾斜角为1R 或R 的直线, 与极轴20和20过点 ,0cosa 2垂直的直线过 点 ,2, 与 极sina0轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即 , , ,2 , , , , , 都表示

5、同一点的坐标 , 这与点的直角坐标的唯独性明显不同 . 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式 , 只要求至少有一个能满意极 坐 标 方 程 即 可 . 例 如 对 于 极 坐 标 方 程 , 点 M , 可 以 表 示 为4 4 , 2 或 , 2 或 -, 5 等多种形式 , 其中 , 只有 , 的极坐标满意方4 4 4 4 4 4 4 4程 . 二、参数方程1. 参数方程的概念一般地 , 在平面直角坐标系中, 假如曲线上任意一点的坐标,x y都是某个变数t 的函数,xf t , 并且对于 t 的每一个答应值, 由方程组所确定的点M x y , 都在这条曲线上yg t 那么方程就叫做这条

6、曲线的参数方程, 联系变数,x y的变数 t 叫做参变数 , 简称参数 , 相对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程. 2. 参数方程和一般方程的互化1 曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式, 一般地可以通过消去参数而从名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 参数方程得到一般方程 . 2 假如知道变数 ,x y 中的一个与参数 t 的关系 , 例如 x f t , 把它代入一般方程 , 求x f t 出另一个变数与参数的关系 y g t , 那么 就是曲线的参数方程 , 在参数方程与y g t

7、 一般方程的互化中 , 必需使 ,x y 的取值范畴保持一样 . 注： 一般方程化为参数方程,参数方程的形式不肯定唯独；应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当地设参数,假如选用的参数不同, 那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同；3圆的参数如下列图,设圆O的半径为r,点M从初始位置M 动身,按逆时针方向在圆O 上作转过的角匀速圆周运动,设M x y ,就xrcos sin为参数；yr这就是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程,其中的几何意义是OM0度；圆心为 , a b ,半径为 r 的圆的一般方程是xa2yb2r2,它的参数方程为：xarcos sin为参数；ybr4椭圆的参数方程名师归纳总结

8、 以坐标原点 O 为中心, 焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为x2y21 ab0,其参第 4 页,共 5 页a2b2数方程为xacos为参数,其中参数称为离心角； 焦点在 y 轴上的椭圆的标准方ybsin程是y2x21 ab0,其参数方程为xbcos为参数,其中参数仍为离心22 byasina角,通常规定参数的范畴为 0 ,2）；注： 椭圆的参数方程中,参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角区分开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外（即在0 到 2的范畴内） ,在其他任何一点,两个角的数值都不相等；但当02时,相应地也有- - - - - - -精选学习资料

9、- - - - - - - - - 02,在其他象限内类似；5双曲线的参数方程以坐标原点 O 为中心,焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为x2by21 a0,b0,a2b2其参数方程为xasec tan为参数,其中0,2且2,3.yb2焦 点 在 y 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是y2x21 a220,0,其 参 数 方 程 为abxbcot为参数,其中0,2 e 且.yacsc以上参数都是双曲线上任意一点的离心角；6抛物线的参数方程x以 坐 标 原 点 为 顶 点 , 开 口 向 右 的 抛 物 线y22px p0的 参 数 方 程 为2pt2 t为参数.y2pt7直线的参数方

10、程经过点 M 0 x 0 , y 0 ,倾斜角为 的直线 l 的一般方程是 y y 0 tan x x 0 ,2x x 0 t cos而过 M 0 x 0 , y 0 ,倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 t为参数 ；y y 0 t sin注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点 M 0 x 0 , y 0 ,倾斜角为 的直线 l 的参数x x 0 t cos方程为 t为参数 ,其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点,任一点y y 0 t sinM x y 为终点的有向线段 M M 的数量, 当点 M 在 M 0 上方时, t 0；当点 M 在 M 0 下方时, t 0；当点 M 与 M 0 重合时, t =0；我们也可以把参数 t 懂得为以 M 0 为原点,直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 度相同；M 的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位长名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页