2022年高中数学_数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧 .pdf

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1、第 1 页 共 15 页1 数列求和的基本方法和技巧关键词：数列求和通项分式法错位相减法反序相加法分组法 分组法合并法数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧 . 下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、 等比数列求和公式：) 1(11)1() 1(111qqqaaqqaqnaS

2、nnn自然数方幂和公式：3、) 1(211nnkSnkn4、) 12)(1(6112nnnkSnkn5、213)1(21nnkSnkn 例 求和 1x2x4x6x2n+4(x 0)解：x0该数列是首项为1，公比为 x2的等比数列而且有n+3项当 x21 即 x1 时 和为 n+3 评注： (1) 利用等比数列求和公式当公比是用字母表示时，应对其是否为1 进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为 0 进行讨论(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项对应高考考题：设数列1， （1+2） ， （1+2+1222n） ，的前顶和为ns，则ns的值。名师资料总结

3、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 15 页2 二、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn 的前 n 项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后再将

4、得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。例 求和：132)12(7531nnxnxxxS（1x）解：由题可知，1)12(nxn 的通项是等差数列2n 1 的通项与等比数列1nx的通项之积设nnxnxxxxxS) 12(7531432.（设制错位）得nnnxnxxxxxSx) 12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1 (121)1 ()1 () 12()12(xxxnxnSnnn注意、 1 要考虑当公比 x 为值 1 时为特殊情况2 错位相减时要注意末项此类题的特点是所求数列是由一个等差

5、数列与一个等比数列对应项相乘。对 应 高 考 考 题 ：设 正 项 等 比 数 列na的 首 项211a， 前n 项 和 为nS， 且0)12(21020103010SSS。 （）求na的通项；（）求nnS的前 n 项和nT。三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1naa. 例 求证：nnnnnnnCnCCC2)1() 12(53210证明：设nnnnnnCnCCCS)12(53210. 把式右边倒转过来得0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS（反序）又由mnnmnCC可得名师资料

6、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 15 页3 nnnnnnnCCCnCnS1103)12()12( . . +得nnnnnnnnnCCCCnS2)1(2)(22(2110（反序相加）nnnS2)1(四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 若数列na的通项公式为nnnbac，其中nnba,中一个是等差数

7、列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。例：求数列1614,813,412,211的前 n 项和；分析：数列的通项公式为nnna21，而数列nn21,分别是等差数列、等比数列， 求和时一般用分组结合法； 解 ：因为nnna21，所以)21()813()412()211(nnns)21814121()321 (nn（分组）前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此1212211)211(212) 1(2nnnnnn五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.

8、 通项分解（裂项）如：（ 1）)()1(nfnfan（2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（ 3）111)1(1nnnnan（4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 15 页4 （ 5）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan例 求数列,11,321,211nn的前 n 项和 . 解：设nnnnan11

9、1（裂项）则11321211nnSn（裂项求和）)1()23()12(nn11n小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意：余下的项具有如下的特点1 余下的项前后的位置前后是对称的。2 余下的项前后的正负性是相反的。练习在数列 an中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列 bn的前 n 项的和. 六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值

10、 . 解：设1032313logloglogaaaSn由等比数列的性质qpnmaaaaqpnm（找特殊性质项）和对数的运算性质NMNMaaalogloglog得)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn（合并求和）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 15 页5 )(log)(log)(log6539231013aaaaaa9log9log9log333

11、 10 数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。数列通项公式的十种求法一、公式法例 1 已知数列na满足1232nnnaa，12a，求数列na的通项公式。解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列na的通项公式为31()222nnan。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列2n

12、na是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列na的通项公式。二、累加法例 2 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()2(1)12(2)1(221)(21 1)12(1)(2)21(1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnnLLL所以数列na的通项公式为2nan。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

13、 - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 15 页6 评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式121nnaan转 化 为121nnaan， 进 而 求 出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaaL，即得数列na的通项公式。例 3 已知数列na满足112313nnnaaa，求数列na的通项公式。解：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)31 3331331nnnnnnnnn

14、nnnaaaaaaaaaannnnLLL所以31.nnan评注：本题解题的关键是把递推关系式1231nnnaa转化为1231nnnaa，进而求出11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaaL，即得数列na的通项公式。例 4已知数列na满足1132 313nnnaaa，求数列na的通项公式。解：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnn

15、nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaanLLL因此11(1 3)2(1)21131331 3322 3nnnnnann，则21133.322nnnan名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 7 页 共 15 页7 评注：本题解题的关键是把递推关系式13231nnnaa转化为111213333nnnnnaa，进而求出112232111122321()()()()333333333nnnnnnnnnnnna

16、aaaaaaaaL，即得数列3nna的通项公式，最后再求数列na的通项公式。三、累乘法例 5 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1) (2)2 1(1)122(1 1)52(21)52(21) 5 2(11) 5 32 (1)32533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nnLLLL所以数列na的通项公式为(1)12325!.n nnnan评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系12(1)5nnnan

17、a转 化 为12(1)5nnnana， 进 而 求 出13211221nnnnaaaaaaaaaL，即得数列na的通项公式。例 6 （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaananL，求na的通项公式。解：因为123123(1)(2)nnaaaananL所以1123123(1)nnnaaaananaL用式式得1.nnnaana则1(1)(2)nnanan名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15

18、 页 - - - - - - - - - 第 8 页 共 15 页8 故11(2)nnanna所以13222122! (1)43.2nnnnnaaanaan naaaaaLL由123123(1)(2)nnaaaananL，21222naaa取得，则21aa，又知11a，则21a，代入得!1 3 4 52nnanL。所以，na的通项公式为!.2nna评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)nnana n转化为11(2)nnanna，进而求出132122nnnnaaaaaaaL，从而可得当2nna时，的表达式，最后再求出数列na的通项公式。四、待定系数法例 7已知数列na满足1123 56

19、nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1152(5 )nnnnaxax将1235nnnaa代 入 式 ， 得123 55225nnnnnaxax， 等 式 两 边 消 去2na， 得13 5525nnnxx，两边除以5n，得352 ,1,xxx则代入式得1152(5 )nnnnaa由1156510a及式得50nna， 则11525nnnnaa， 则数列5 nna是以1151a为首项，以 2 为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式1235nnnaa转化为1152(5 )nnnnaa，从而可知数列5 nna是等比数列，进而求出数列5 nna的通

20、项公式，最后再求出数列na的通项公式。例 8 已知数列na满足1135241nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1123(2)nnnnaxyaxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 9 页 共 15 页9 将13524nnnaa代入式，得1352423(2)nnnnnaxyaxy整理得(52 )24323nnxyxy。令52343xxyy，则52xy，代入式得115223(522)nnnnaa由11522

21、1 12130a及式，得5220nna，则115223522nnnnaa，故 数 列522nna是 以1152211213a为 首 项 ， 以3为 公 比 的 等 比 数 列 ， 因 此1522133nnna，则1133522nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式13524nnnaa转化为115223(522)nnnnaa，从而可知数列522nna是等比数列，进而求出数列5 22nna的通项公式，最后再求数列na的通项公式。例 9 已知数列na满足21123451nnaanna，求数列na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz将212345nnaann

22、代入式，得2222345(1)(1)2()nnannx ny nzaxnynz，则222(3)(24)(5)2222nnax nxynxyzaxnynz等式两边消去2na，得22(3)(24)(5)222x nxynxyzxnynz，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 10 页 共 15 页10 解方程组3224252xxxyyxyzz，则31018xyz，代入式，得2213(1)10(1)182(31018)

23、nnannann由213 110 118131320a及式，得2310180nann则2123(1)10(1) 18231018nnannann，故数列231018nann为以213 110 1 1813132a为首项，以 2 为公比的等比数列，因此2131018322nnann，则42231018nnann。评注：本题解题的关键是把递推关系式212345nnaann转化为2213(1)10(1)182(31018)nnannann，从而可知数列231018nann是等比数列，进而求出数列231018nann的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。五、对数变换法例 10 已知数列na满足51

24、23nnnaa，17a，求数列na的通项公式。解：因为511237nnnaaa，所以100nnaa，。在5123nnnaa式两边取常用对数得1lg5lglg3lg 2nnaan设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny11将式代入11 式，得5lglg 3lg 2(1)5(lg)nnanx nyaxny，两边消去5lgna并整理，得(lg3)lg 255x nxyxny，则lg35lg 25xxxyy，故lg 34lg 3lg 2164xy代入11 式，得1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg(1)5(lg)41644164nnanan12名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

25、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 11 页 共 15 页11 由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg1lg 71041644164a及12 式，得lg3lg3lg 2lg04164nan，则1lg3lg3lg 2lg(1)41645lg3lg3lg 2lg4164nnanan，所以数列lg3lg3lg 2lg4164nan是以lg3lg3lg 2lg 74164为首项，以5 为公比的等比数列，则1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2l

26、g(lg 7)541644164nnan，因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg(lg 7)54164464(lg 7lg 3lg 3lg 2 )5lg 3lg 3lg 2lg(7332 )5lg(332 )lg(7 332 )5lg(332 )lg(733nnnnnnnnnnnnan1115116454151511642)lg(732)nnnnn则11541515164732nnnnna。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5123nnnaa转化为1lg3lg3lg

27、2lg3lg3lg 2lg(1)5(lg)41644164nnanan，从而可知数列lg3lg3lg 2lg4164nan是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg 2lg4164nan的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。六、迭代法例 11 已知数列na满足3(1)2115nnnnaaa，求数列na的通项公式。解：因为3(1)21nnnnaa，所以121323(1) 23212nnnnnnnnnaaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - -

28、- - - - - - - 第 12 页 共 15 页12 2(2) (1)32(2)(1)3(3)(2)(1)11 2(3)(2) (1)(1)123 (1)223(2) 23 (1)233 (2)(1)2332 3(2) (1)213! 21nnnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaL LL LL又15a，所以数列na的通项公式为(1)123! 25n nnnna。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)21nnnnaa两边取常用对数得1lg3(1)2lgnnnana，即1lg3(1)2lgnnnana，再由累乘法可推知(1

29、)123! 213211221lglglglglglglg5lglglglgn nnnnnnnnaaaaaaaaaaL，从而1(1)3! 225nn nnna。七、数学归纳法例 12 已知数列na满足11228(1)8(21) (23)9nnnaaann，求数列na的通项公式。解：由1228(1)(21) (23)nnnaann及189a，得2122322243228(1 1)88224(21 1) (213)9925258(21)248348(221) (223)252549498(31)488 480(231) (233)49498181aaaaaa由此可猜测22(21)1(21)nnan

30、，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n时，212(21 1)18(21 1)9a，所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 13 页 共 15 页13 1228(1)(21) (23)kkkaakk222222222222222222222(21)18(1)(21)(21) (23)(21)1(23)8(1)(21) (

31、23)(21) (23)(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(21)(21) (23)(23)1(23)2(1) 112(1) 1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2由此可知，当1nk时等式也成立。根据（ 1） ， （2）可知，等式对任何*nN都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例 13 已知数列na满足111(14124)116nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令124nnba，则21(1)24nnab故2111(1)24nnab，代入11(14124)1

32、6nnnaaa得221111(1)14(1)241624nnnbbb即2214(3)nnbb因为1240nnba，故111240nnba则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 14 页 共 15 页14 所以3nb是以1131243124 132ba为 首项，以21为公比的等比数列，因此121132()( )22nnnb，则21()32nnb，

33、即21124()32nna，得2 111()( )3 423nnna。评注：本题解题的关键是通过将1 24na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列3nb为等比数列，进而求出数列3nb的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。九、不动点法例 14已知数列na满足112124441nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令212441xxx，得2420240 xx，则1223xx，是函数2124( )41xf xx的两个不动点。因为112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341nnnnnnnnnnnnnnaaa

34、aaaaaaaaaaa。 所 以 数 列23nnaa是 以112422343aa为首项，以913为公比的等比数列，故12132()39nnnaa，则113132()19nna。评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 先 求 出 函 数2124( )41xf xx的 不 动 点 ， 即 方 程212441xxx的 两 个 根1223xx，进而可推出112213393nnnnaaaa，从而可知数列23nnaa为等比数列，再求出数列23nnaa的通项公式，最后求出数列na的通项公式。例 15 已知数列na满足1172223nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令7223xxx，得22420

35、xx，则1x是函数31( )47xfxx的不动点。因为17255112323nnnnnaaaaa，所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 15 页 共 15 页15 2 111()( )3 423nnna。评注：本题解题的关键是通过将1 24na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列3nb为等比数列，进而求出数列3nb的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。九、不动点法例

36、14已知数列na满足112124441nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令212441xxx，得2420240 xx，则1223xx，是函数2124( )41xf xx的两个不动点。因为112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa。 所 以 数 列23nnaa是 以112422343aa为首项，以913为公比的等比数列，故12132()39nnnaa，则113132()19nna。评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 先 求 出 函 数2124( )41xf xx的 不 动

37、 点 ， 即 方 程212441xxx的 两 个 根1223xx，进而可推出112213393nnnnaaaa，从而可知数列23nnaa为等比数列，再求出数列23nnaa的通项公式，最后求出数列na的通项公式。例 15 已知数列na满足1172223nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令7223xxx，得22420 xx，则1x是函数31( )47xfxx的不动点。因为17255112323nnnnnaaaaa，所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -