2022年高中数学《导数及其应用》知识点总结 .pdf

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1、1 导数及其应用知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数( )f x 在区间12,x x上的平均变化率为：2121()()f xf xxx。2. 导数的定义：设函数( )yf x 在区间 ( , )a b 上有定义，0( , )xa b ，若x 无限趋近于0 时，比值00()()f xxf xyxx无限趋近于一个常数A，则称函数( )f x 在0 xx 处可导，并称该常数A 为函数( )f x 在0 xx 处的导数，记作0()fx。函数( )f x 在0 xx 处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()yf xxf x；

2、 （2）求平均变化率：00()()f xxf xx； （3）取极限，当x 无限趋近与0 时，00()()f xxf xx无限趋近与一个常数A，则0()fxA . 4. 导数的几何意义：函数( )f x 在0 xx 处的导数就是曲线( )yf x 在点00(,()xf x处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出( )yf x 在 x0处的导数，即为曲线( )yf x 在点00(,()xfx处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()yyfxxx。当点00(,)P xy不在( )yf x 上时，求经过点P 的( )yf

3、x 的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将 P 点的坐标代入确定切点。特别地， 如果曲线( )yf x 在点00(,()xf x处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0 xx 。5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S是时间 t 的函数( )S t ，则( )VS t 表示瞬时速度，( )av t 表示瞬时加速度。二、导数的运算1. 常见函数的导数：（1）()kxbk(k, b 为常数 )；（2）0C(C 为常数 )；（3） ( )1x；（4）2()2xx ；（5）32()3xx ；（6）211( )xx；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

4、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2 （7）1()2xx；（8）1()x x（为常数）；（9） ()ln(0,1)xxaaa aa；（10）11(log)log(0,1)lnaaxeaaxxa；（11） ()xxee ；（12）1(ln)xx；（13） (sin )cosxx ；（14） (cos )sinxx 。2. 函数的和、差、积、商的导数：（1） ( )( )( )( )f xg xfxgx ；（2） ( )( )CfxCfx （C 为常数）；（

5、3） ( ) ( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x gx ；（4）2( )( )( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xfx g xg xg xgx。3. 简单复合函数的导数：若( ),yf uuaxb ，则xuxyyu ，即xuyya 。三、导数的应用1. 求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数( )yf x 在区间 ( , )a b 内可导，（1）如果恒( )0fx，则函数( )yf x 在区间 ( , )a b 上为增函数；（2）如果恒( )0fx，则函数( )yf x 在区间 ( , )a b 上为减函数；（3）如果恒(

6、 )0fx，则函数( )yf x 在区间 ( , )a b 上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数( )yf x 的定义域；求导数( )fx ；解不等式( )0fx，解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式( )0fx，解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来 , 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数( )yf x 在区间 ( , )a b 内可导，(1)如果函数( )yf x 在区间 ( , )a b 上为增函数 ,则( )0fx(其中使( )0fx的x值不构成区间 )；(2) 如果函数( )yf x 在区间 ( , )a b 上为减函

7、数 ,则( )0fx(其中使( )0fx的x值不构成区间 )；(3) 如果函数( )yf x 在区间 ( , )a b 上为常数函数 ,则( )0fx恒成立。2. 求函数的极值：设函数( )yf x 在0 x 及其附近有定义，如果对0 x 附近的所有的点都有0( )()f xf x（或0( )()f xf x） ，则称0()f x是函数( )f x 的极小值（或极大值） 。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，

8、共 4 页 - - - - - - - - - 3 （1）确定函数( )f x 的定义域；（2）求导数( )fx ； （3）求方程( )0fx的全部实根，12nxxx ，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x 变化时，( )fx 和( )f x 值的变化情况：x 1(,)x1x12(,)x xnx(,)nx( )fx正负0 正负0 正负( )f x单调性单调性单调性（4）检查( )fx 的符号并由表格判断极值。3. 求函数的最大值与最小值：如果函数( )f x 在定义域 I 内存在0 x ， 使得对任意的xI ， 总有0( )()f xf x， 则称0()f x为函数在定义域上的最大值。函数

9、在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数( )f x 在区间 , a b 上的最大值和最小值的步骤：（1）求( )f x 在区间 ( , )a b 上的极值；（2）将第一步中求得的极值与( ),( )f af b 比较，得到( )f x 在区间 , a b 上的最大值与最小值。4. 解决不等式的有关问题：（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。( )()f xxA的值域是 , a b时，不等式( )0f x恒成立的充要条件是max( )0f x，即0b；不等式( )0fx恒成立的充要条件是min( )0f x，即0a。( )()f xxA的值域是( , )a

10、b时，不等式( )0f x恒成立的充要条件是0b；不等式( )0fx恒成立的充要条件是0a。（2）证明不等式( )0f x可转化为证明max( )0f x，或利用函数( )f x 的单调性， 转化为证明0( )()0f xf x。5. 导数在实际生活中的应用：实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -