2022年高中数学必修一至必修五知识点总结完整版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点高中数学必修 1 学问点总结第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个 对象叫元素；2、集合的中元素的三个特性：1. 元素的确定性； 2. 元素的互异性； 3. 元素的无序性 说明： 1 对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象 或者是或者不是这个给定的集合的元素； 2 任何一个给定的集合中, 任何两个元素都是不同的对象, 相同的对象 归入一个集合时,仅算一个元素； 3 集合中的元素是公平的, 没有先后次序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的

2、元素是否一样,不需考查排列次序是否一样； 4 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性；3、集合的表示： 如 我校的篮球队员 , 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合： A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法；非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N* 或 N+ 关于“ 属于” 的概念整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a 是集合 A 的元素,就说 a属于集合 A 记作 a A ,相反, a 不属于集合 A 记作 a A 列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个

3、大括号括上；描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法；用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法；语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是 x.R| x-32 或x| x-32 4、集合的分类：（1）有限集含有有限个元素的集合例： x|x2= 5（2）无限集含有无限个元素的集合（3）空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系 1. “ 包含” 关系子集 留意： 有两种可能（ 1）A是 B的一部分,；（2）A 与 B 是同一集合；反之 : 集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B不包含集合 A,记作 A B 或 B

4、A 2“ 相等” 关系 5 5,且 55,就 5=5 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “ 元素相同”结论：对于两个集合 A 与 B,假如集合 A的任何一个元素都是集合 B的元 素,同时 , 集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A等 于集合 B,即： A=B 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结A 精品学问点任何一个集合是它本身的子集；A真子集 : 假如 A B,且 B A 那就说集合 A是集合 B的真子集,记作 AB或 B A 假如 A B, B C , 那么 A C 假

5、如 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定 : 空集是任何集合的子集,三、集合的运算空集是任何非空集合的真子集；1交集的定义：一般地,由全部属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集记作 AB读作”A 交 B” ,即 AB=x|x A,且 xB2、并集的定义：一般地,由全部属于集合A 或属于集合 B的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集；记作： AB读作”A 并 B” ,即 AB=x|xA,或 xB3、交集与并集的性质： AA = A, A = , A B = BA,A A = A, A = A ,A B = B A. 4、全集

6、与补集（1）补集：设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集（即）,由 S 中全部不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）（2）全集：假如集合S 含有我们所要争论的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集；通常用 U来表示；四、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应,那么就称 f ：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=fx,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的

7、 y 值叫做函数值,函数值的集合 fx| xA 叫做函数的值域留意：假如只给出解析式y=fx ,而没有指明它的定义域,就函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合 或区间的形式定义域补充 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： 1 分式的分母不等于零； 2 偶次方根的被开方数不小于零； 3 对数式的真数必需大于零； 4 指数、对数式的底必需大于零且不等于 1. 5 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的 . 那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合 . （6）指数为零底名师归纳总结 不

8、行以等于零 6 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义. 第 2 页,共 43 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结精品学问点 又留意：求出不等式组的解集即为函数的定义域；构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域留意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定 义域和对应关系打算的, 所以,假如两个函数的定义域和对应关系完全一样,即称这两个函数相等（或为同一函数） （2）两个函数相等当且仅当它们的定 义域和对应关系完全一样,而与表示自变量和函数值的字母无关；相同函数的判定方法：表达式相同；定义域一样 21 页相关例 2

9、 值域补充 1、函数的值域取决于定义域和对应法就, 两点必需同时具备 见课本不论实行什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 . 2. 应熟识把握一次函数、 二次函数、 指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础；3. 函数图象学问归纳 1 定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=fx , xA中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 Px,y 的集合 C,叫做函数 y=fx,x A的图象集合 C上每一点的坐标 x ,y 均满意函数关系 y=fx ,反过来,以满意 y=fx的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 x ,y ,均在 C上 . 即记为 C= Px,y | y= fx

10、 , xA , 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线 或直线 , 也可能是由与任意平行与 成； 2 画法Y 轴的直线最多只有一个交点的如干条曲线或离散点组A、描点法：依据函数解析式和定义域, 求出 x,y 的一些对应值并列表, 以x,y为坐标在坐标系内描出相应的点Px, y,最终用平滑的曲线将这些点连接起来 . B、图象变换法（请参考必修 4 三角函数）常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 3 作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；发觉解题中的错误；4明白区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间；（

11、3）区间 的数轴表示5什么叫做映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f ,使对 于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B中都有唯独确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f ：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射；记作“f ：A B”给定一个集合 A 到 B 的映射,假如 aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象名师归纳总结 说明：函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合A、B 及对应第 3 页,共 43 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

12、- - - - 名师总结 精品学问点法就 f 是确定的； 对应法就有 “ 方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的； 对于映射 f ：AB 来说,就应满意：（）集合 A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯独的； （）集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个； （）不要求集合B中的每一个元素在集合 A中都有原象；常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,留意判定一个图形是否是函数图象的依据； 2 解析法：必需注明函数的定义域； 3 图象法：描点法作图要留意：确定

13、函数的定义域；化简函数的解析式；观看函数的特点； 4 列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特点解析法：便于算出函数值；列表法：便于查出函数值；图象法：便于量出函数值. 补充一：分段函数（参见课本 P24-25）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；在不同的范畴里求函数值时必需把自变量代入相应的表达式； 分段函数的解析式不能写成几个不同的方 程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各 部分的自变量的取值情形（1）分段函数是一个函数, 不要把它误认为是几个 函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集补充二：复合函数假如 y=f

14、u,uM,u=gx,xA, 就 y=fgx=Fx,x A 称为 f 、g 的复合函数；例如: y=2sinx y=2cos2x+1 7函数单调性（1）增函数 设函数 y=fx 的定义域为 I ,假如对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 a,b,当 ab 时,都有 fafb,那么就说 fx 在区间 D 上是增函数；区间 D称为 y=fx 的单调增区间（睇清晰课本单调区间的概念）假如对于区间 D上的任意两个自变量的值a,b,当 ab 时,都有 fa fb ,那么就说 fx 在这个区间上是减函数 . 区间 D称为 y=fx 的单调减区间 . 留意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间

15、上的性质,是函数的局部性质；2 必需是对于区间 D内的任意两个自变量 a,b；当 ab时,总有 fafb ；（2） 图象的特点 y=fx 在这一区 假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减 函数的图象从左到右是下降的 . 3. 函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法：任取 a,bD,且 a1,且n N *当 n 是奇数时,正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数 此时,a 的 n次方根用符号 n a 表示式子 n a 叫做根式 （radical）,这里 n 叫做根指数（ radical e

16、xponent）, a 叫做被开方数（ radicand ）当n是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数此时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号n a 表示正的n次方根与负的n次方根可以合并成n a（ a 0）由此可得： 负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 0；留意：当n是奇数时,n a n a,当 n 是偶数时,na n| a | a a 0 a a 0 2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：mmN * n 1 ,a n 1m n 1m a n a0,0 的负分数指数幂没有意义a,0m ,nN* n1annama

17、0 ,m ,n0 的正分数指数幂等于指出：规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1）a rarararsa0,r,sRR ；（2）r a sarsa0,r,sR；（3）abasa0 ,r,s（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地,函数 y a x a ,0 且 a 1 叫做指数函数（exponential function）,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质名师归纳总结 a1 0a1 3 45

18、67810a1 3 45 6708a12.52.5221.51.511110.50.50-0.5-11120-11.512-1-1-1.50a-1.5-2-2-2.5-2.5图象特点函数性质a1a1函数图象都在 y 轴右侧函数的定义域为（ 0,）名师归纳总结 图象关于原点和 y 轴不对非奇非偶函数减函数logax0第 8 页,共 43 页称向 y 轴正负方向无限延长函数的值域为 R 函数图象都过定点 （1,0）log a10自 左 向自 左 向增函数右看,右看,图 象 逐图 象 逐渐上升渐下降x,1logax00x,1第 一 象第 一 象限 的 图限 的 图象 纵 坐象 纵 坐标 都 大标 都

19、 大0x,1logax0x1 ,logax0于 0 于 0 第 二 象第 二 象限 的 图限 的 图象 纵 坐象 纵 坐标 都 小标 都 小- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于 0 于 0 名师总结精品学问点三、幂函数1、幂函数定义： 一般地,形如yxaR的函数称为幂函数, 其中为常数2、幂函数性质归纳（1）全部的幂函数在（ 0,+）都有定义,并且图象都过点（1,1）；（2）0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 0 , 上是增函数特别地,当 1时,幂函数的图象下凸； 当 0 1 时,幂函数的图象上凸；（3）0时,幂函数的图象在区间 0 , 上是减函数

20、在第一象限内, 当x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地靠近 y 轴正半轴,当 x 趋于时, 图象在 x 轴上方无限地靠近 x 轴正半轴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 y f x x D ,把使 f x 0 成立的实数 x叫做函数 y f x x D 的零点；2、函数零点的意义：函数 y f x 的零点就是方程 f x 0 实数根,亦即函数 y f x 的图象与 x 轴交点的横坐标；即：方 程 f x 0 有 实 数 根 函 数 y f x 的 图 象 与x轴 有 交 点 函 数y f x 有零点3、函数零点的求法：求函数yf x 的零点：yfx

21、的1（代数法）求方程fx0的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：2ca0 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴二次函数yax2bxc0） ,方程axbx有两个交点,二次函数有两个零点） ,方程 ax 2bx c 0 有两相等实根（二重根） ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点） ,方程 ax 2bx c 0 无实根, 二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点高中数学必修二学问点一、直线与方程（1）直线的倾斜角名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 43 页精

22、选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角；特殊地,当直线与 x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0度；因此,倾斜角的取值范畴是0 180 （2）直线的斜率定义： 倾斜角不是 90的直线, 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率；直线的斜率常用k 表示；即；斜率反映直线与轴的倾斜程度；当时,；当时,；当时,不存在；过两点的直线的斜率公式：留意下面四点：1 当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90 ；2k 与 P1 、P2的次序无关； 3以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；4 求直

23、线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到；（3）直线方程点斜式：直线斜率 k,且过点留意：当直线的斜率为 0时, k=0 ,直线的方程是 y=y1 ；当直线的斜率为 90时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1 ；斜截式：,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b 两点式：（）直线两点,截矩式：其中直线与轴交于点 ,与轴交于点 ,即与轴、轴的截距分别为；一般式：（ A,B 不全为 0）留意：各式的适用范畴 特殊的方程如：平行于 x 轴的直线：（b 为常数）；平行于 y 轴的直线：（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有

24、某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为（二）垂直直线系 垂直于已知直线（是不全为（三）过定点的直线系0的常数）的直线系： （ C 为常数）0的常数）的直线系： （C 为常数）（ ）斜率为 k 的直线系：,直线过定点；（ ）过两条直线,的交点的直线系方程为名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点（为参数）,其中直线不在直线系中；（6）两直线平行与垂直 当,时,；留意：利用斜率判定直线的平行与垂直时,要留意斜率的存在与否；（7）两条直线的交点 相交 交点坐标即方程组的一组解；方程组无

25、解；方程组有许多解与重合（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点,就（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离（10 ）两平行直线距离公式 在任始终线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解；二、圆的方程 1、圆的定义：平面内到肯定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆 的半径；2、圆的方程（1）标准方程,圆心,半径为 r；（2）一般方程 当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为 当时,表示一个点；当时,方程不表示任何图形；（3）求圆方程的方法：一般都采纳待定系数法：先设后求； 确定一个圆需要三个独立条件,如利用圆的标准方程,需求出 a,b,r；如利用一般方程,需要求出 D

26、,E, F；另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置；3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情形：名师归纳总结 （1）设直线,圆,圆心到l 的距离为,就有； ；第 11 页,共 43 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点（2）过圆外一点的切线：k 不存在,验证是否成立 k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离 =半径,求解 k,得到方程【肯定两解】3 过圆上一点的切线方程：圆 x-a2+y-b2=r2,圆上一点为 x0 ,y0,就过此点的切线方程为 x0-ax-a+y0-

27、by-b= r2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差）设圆,与圆心距（ d）之间的大小比较来确定；两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差）,与圆心距（ d）之间的大小比较来确定；当时两圆外离,此时有公切线四条；当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条；当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线；当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线；当时,两圆内含；当时,为同心圆；留意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上；已知两圆相切,两圆心与切点共线圆的帮助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特点（1）棱柱：几何特点： 两底面是对应

28、边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形；（2）棱锥几何特点：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相像,其相像比等于顶点到截面距离与高的比的平方；（3）棱台：几何特点： 上下底面是相像的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成几何特点： 底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面绽开图是一个矩形；名师归纳总结 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成第 12 页,共 43 页几何特点： 底面是一个圆；母线交于圆锥的顶

29、点；侧面绽开图是一个扇形；（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 几何特点： 上下底面是两个圆；名师总结精品学问点侧面绽开图是一个弓侧面母线交于原圆锥的顶点；形；（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特点： 球的截面是圆；2、空间几何体的三视图球面上任意一点到球心的距离等于半径；定义三视图：正视图（光线从几何体的前面对后面正投影）；侧视图（从左向右） 、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度；3、空间几何体的直观图 斜二测画法斜二测画法特点：原先与 x 轴平行的线