2022年高一数学：三角函数的图像及性质 .pdf

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1、重点列表：重点名称重要指数重点 1 三角函数的定义域与值域重点 2 三角函数的周期性重点 3 三角函数的奇偶性重点详解：1“五点法”作图(1) 在 确 定 正 弦 函 数y sinx在0 ， 2 上 的 图 象 形 状 时 ， 起 关 键 作 用 的 五 个 点是，(2) 在 确 定 余 弦 函 数y cosx在0 ， 2 上 的 图 象 形 状 时 ， 起 关 键 作 用 的 五 个 点是，2周期函数：对于函数f(x) ，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 _，那么函数f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期如果在周期函数f(x) 的所有周期中存在一个

2、最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的_3三角函数的图象和性质函数性质ysinx ycosx ytanx定义域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 图象值域R对称性对称轴：对称中心：对称轴：对称中心：无对称轴；对称中心；最小正周期111213单调性单调增区间14单调减区间15单调增区间16单调减区间17单调增区间18奇偶性192021【参考答案】1(1)(0 ，0) 2，1( ，0) 32，1(2 ，0) (2

3、)(0 ，1) 2，0( ， 1) 32，0(2，1) 2f(xT) f(x) 最小正周期3 RRx|xk2，kZ 1，1 1，1 xk2(kZ) (k，0)(kZ) xk(kZ) k2， 0 (kZ) k2，0 (kZ) 11212213142k2，2k2(kZ) 152k2，2k32(kZ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 16 2k，2k (kZ) 17 2k，2k (kZ) 18k2，k2(kZ) 19

4、奇函数20偶函数21奇函数重点 1：三角函数的定义域【要点解读】三角函数的定义域、值域(1) 三角函数的定义域的求法三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式 ( 组) 一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域( 如正切函数等 ) (2) 三角函数值域的求法三角函数的值域问题，大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域，也可以通过三角恒等变形化为

5、求yAsin( x ) B的值域；或化为关于sinx( 或 cosx) 的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域【考向 1】利用三角函数图像求定义域【例题】求y lg(sinxcosx) 的定义域解：要使函数有意义，必须使sinxcosx0. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 解法二：利用三角函数线，如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinxcosx，则4x54( 在 0，2 内)

6、 定义域为 x|4 2kx54 2k，kZ. 解法三： sinxcosx2sinx40，由正弦函数ysinx的图象和性质可知2kx42k ，解得 2k4x542k，kZ. 定义域为x|42kx542k，k Z . 【评析】求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式( 或等式 ) ；求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式( 组) 分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集【考向 2】三角函数的值域【例题】求下列函数的定义域：(1)ysin （cosx）；(2)ylgsinx2sinx3. 名师资

7、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 重点 2：三角函数的周期性【要点解读】三角函数的周期性(1) 求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解(2) 三角函数的最小正周期的求法有：由定义出发去探求；公式法：化成yAsin( x) ，或yAtan( x ) 等类型后，用基本结论T2| |或T| |来确定；根据图象来判断【考向 1】三角函数周期的判断

8、【例题】求下列函数的最小正周期(1)y(asinxcosx)2(aR)；(2)y2cosxsinx33sin2xsinxcosx；(3)y2 sin4x3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 【评析】求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解注意带绝对值的三角函数的周期是否减半，可用图象法判定，y2|sin(4x3)| 的图象即是将y2

9、sin4x3的图象在x轴下方部分翻折到x轴的上方去【考向 2】三角函数周期的应用【例题】已知函数f(x) tan2x4. (1) 求f(x) 的定义域与最小正周期；(2) 设 0，4，若f2 2cos2 ，求 的大小解： (1) 由 2x42k，kZ，得x8k2，kZ. 所以f(x) 的定义域为 x|x8k2，kZf(x) 的最小正周期T2. (2) 由f22cos2，得 tan 42cos2，sin4cos 42(cos2sin2) ，整理得sin coscossin 2(cos sin )(cos sin ) 因为 0，4，所以sin cos 0，因此 (cos sin )212，即 si

10、n2 12. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 由 0，4，得 20，2. 所以 26，即 12. 重点 3：三角函数的奇偶性【要点解读】三角函数的奇偶性判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性【考向 1】三角函数奇偶性的判断【例题】判断下列函数的奇偶性(1)f(

11、x) cos22xcos( x) ；(2)f(x) 1 sinxcosx1 sinxcosx. 【评析】判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证f(-x) 是否等于f(x) 或f(x) ，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断，也可直接用x取代x，再化简判断，还可利用f( x) f(x) 0 是否成立来判断其奇偶性难点列表：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15

12、 页 - - - - - - - - - 难点名称难度指数难点 1 三角函数线的对称性难点 2三角函数线的单调性与最值难点详解：根据图象求解析式yAsin( x) k(A0，0) 的方法(1) 在一个周期内 ( 或者从最高点到相邻的最低点，即半个周期内)，若最大值为M，最小值为m，则AMm2，kMm2. 特别地，当k0 时，AMm. (2) 由周期T确定，即由2T求出常用的确定T值的方法如下：曲线与x轴的相邻两个交点之间的距离为T2；最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为T2；相邻的两个最低点 ( 最高点 ) 之间的距离为T；有时还可以从图中读出T4或者是3T4的长度来确定. (3) 的求

13、法通常有以下两种：代入法：把图象上的一个已知点代入( 此时，A，B已知 ) ，或代入图象与直线yb的交点求解 ( 此时要注意交点在上升区间还是下降区间) 五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的零点，0 作为突破口，具体如下：“第一点” ( 即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点) 为 x0；“第二点” ( 即图象的“峰点” ) 为x2；“第三点” ( 即图象下降时与x轴的交点 ) 为 x；“第四点”( 即图象的“谷点”) 为 x 32；“第五点”为x2.难点 1：三角函数对称性【要点解读】利用复合函数的方法求三角函数的对称轴与对称中心特别注意三角函数的对称轴与对称中心有无数个【考向

14、1】轴对称【例题】 (1) 已知f(x) 2sinx3(x R) ，函数yf(x) | | 2的图象关于直线x0 对称，则 的值为 _名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 解：yf(x ) 2sin(x3) 的图象关于x0对称，即f(x) 为偶函数32k，kZ，即 k6，kZ，又 | | 2，所以 6. 故填6.(2) 函数y2sin2x4 1 的图象的一个对称中心的坐标是( ) A.38，0B.38，1C.8，1D

15、. 8， 1解：对称中心的横坐标满足2x4k ，解得x8k2，kZ. 当k1 时，x38，y1. 故选 B.【评析】 解此类选择题最快捷的方式往往是代入验证法；对于函数f(x) Asin( x)B，如果求f(x) 图象的对称轴，只需解方程sin( x) 1，也就是令x2k(kZ) 求x；如果求f(x) 图象的对称中心，只需解方程sin( x) 0，也就是令x k(kZ) ；对于较复杂的三角函数表达式，有时可以通过恒等变换为的情形，这一部分将在“三角恒等变换”中涉及【考向 2】中心对称【例题】已知函数g(x) 2cos 2x42m2 的图象关于点(0，2) 对称，求m的最小正值难点 2：三角函数

16、的单调性与最值【要点解读】三角函数的单调性(1) 三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 形或利用数形结合方法求解关于复合函数的单调性见“2.2函数的单调性与最大( 小)值”(2) 利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内若不是同名三角函数，则应考虑化为同

17、名三角函数或用差值法( 例如与 0 比较，与1 比较等 ) 求解【考向 1】三角函数的单调性【例题】 (1) 求函数y sin3 2x的单调递减区间；(2) 求y 3tan6x4的最小正周期及单调区间【评析】若函数ysin( x) 中 0，可用诱导公式将函数变为y sin( x)的形式 ( 目的是将x的系数变为正) ，将“ x”视为一个整体，那么y sin( x ) 的增区间为y sin( x ) 的减区间，其减区间为ysin( x) 的增区间对于函数ycos( x) ，ytan( x )( 0) 等的单调性的讨论同上名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

18、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 【考向 2】三角函数的最值(1) 已知函数f(x) 2cos 2x4. 求函数f(x) 在区间2，0 上的最大值和最小值(2) 求ycosx2cosx1的最小值；(3) 求y 3sin2x4cosx4，x3，23的最值解： (1) 2x0，342x44，当 2x434，即x2时，f(x) 有最小值，f(x)min 1；当 2x40，即x8时，f(x) 有最大值，f(x)max2，即f(x)在 2，0 上的最小值为1，最大值为2. (2) 解法一：yco

19、sx2cosx1cosx11cosx1111cosx，当 cosx 1 时，ymin11232. 解法二：由ycosx2cosx1，得 cosxy2y1，又 1cosx1， 1y2y11. y32. 函数的最小值为32. (3) 原式 3cos2x4cosx13 cosx23213，x3，23，cosx 12，12，从而当 cosx12，即x23 时，y有最大值154. 当 cosx12，即x3时，y有最小值14. 【评析】 (1) 先求出x 在 2，0 上的范围，然后根据单调性求解(2) 这里把cosx整体看作自变量，把三角函数式看成关于cosx的分式函数、二次函数，用代数的方法来求最值，当

20、然还要注意余弦函数性质的运用这种在知识交汇处的小综合，是值得引起我们重视的热点问题【趁热打铁】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 1函数f(x) 1cos4x4是( ) A周期为2的非奇非偶函数B周期为 的奇函数C周期为2的奇函数D周期为2的偶函数2 如果函数y 3cos(2x ) 的图象关于点43，0 成中心对称，那么| | 的最小值为( ) A.6B.4C.3D.23已知 0， 00，函数f( )xsinx4

21、在2， 上单调递减，则 的取值范围是( ) A.12，54B.12，34C. 0，12D.(0，27函数f(x) sin2x422sin2x的最小正周期是_名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 8函数f(x) 3cos(3x ) sin(3x) 是奇函数，则tan _. 9已知f(x) 2sin2x3. (1) 求函数yf(x) 的单调递减区间；(2) 若函数yf(x) 02为偶函数，求 的值10已知函数f(x)2

22、cos2xsin2x4cosx. (1) 求f3的值；(2) 求f(x) 的最大值和最小值第二章1 解：T242且为偶函数故选D.3 解：由题意知T25442，2T1，f( )xsin()x.又42k ， 4k，kZ. 0， 4. 故选 A.4解：若函数为偶函数，则必有3k2(kZ) ，又由于 2，2，故有 32，解得 6，经检验符合题意故选B.5解 ： 由 条 件 得f(x) 2 cos( x )cos4 sin( x )sin4 2cos x4，由于f(x) 的最小正周期为 且f(x) 为偶函数， 2，4，即f(x) 2cos2x. 由余弦函数性质知f(x) 在 0，2上单调递减故选A.名

23、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 7：f(x) sin2x4 22sin2x22sin2x22cos2x221cos2x222sin2x22cos2x2sin2x42，故该函数的最小正周期为T22. 故填 .8 解：函数f(x) 的定义域为R，且f(x) 为奇函数，所以f(0) 0，即f(0) 3cossin 0( 使 cos 0的 值不满足题设条件，故cos0)，得 tan 3. 故填3.9 解： (1) 令

24、2k22x32k32，kZ，解得单调递减区间是k512，k1112，kZ. (2)f(x) 2sin2x23. 根据三角函数图象性质可知，yf(x)02在x0 处取最值，sin231，2 3k2，k2512，kZ. 又 02，解得 512. 10 解： (1)f32cos23sin234cos3 134294. (2)f(x) 2(2cos2x1) (1 cos2x) 4cosx3cos2x4cosx13 cosx23273，xR. 因为 cosx 1，1 ，所以当cosx 1 时，f(x) 取最大值 6；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 当 cosx23时，f(x) 取最小值73. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -