2022年高中高一数学各章知识点总结《整理》.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中高一数学必修 第一章 集合与函数概念一、 集合有关概念1 各章学问点总结1、集合的含义 ：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素；2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性说明： 1对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素；2任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素；3集合中的元素是公平的,没有先后次序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列次序是否一样；

2、具有了确定性和整体性；4集合元素的三个特性使集合本身3、集合的表示 ： 如 我校的篮球队员 , 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法；留意啊： 常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“ 属于” 的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 aA ,相反, a 不属于集合 A 记作 a A 列举法 ：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上；描

3、述法 ：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法；用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法；语言描述法 ：例： 不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 xR| x-32 或 x| x-32 不4、集合的分类 ：1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集含任何元素的集合例： x|x2= 5二、 集合间的基本关系1.“ 包含” 关系子集 留意： 有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分,；（2）A 与 B 是同一集合；反之 : 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A, 记作 A B 或 B A 2“ 相等”

4、关系 55,且 55,就 5=5 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “ 元素相同”结论：对于两个集合 A 与 B,假如集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时 ,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即： A=B 任何一个集合是它本身的子集； A A 真子集 :假如 A B,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A B 或 B A 假如 A B, B C ,那么 A C 假如 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集；三

5、、 集合的运算1交集的定义 ：一般地,由全部属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集记作 A B读作”A 交 B” ,即 AB=x|x A,且 xB 2、并集的定义 ：一般地, 由全部属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集；记作： AB读作”A 并 B” ,即 AB=x|x A,或 xB 3、交集与并集的性质：A A = A, A = , AB = B A,AA = A, A = A ,A B = B A. 4、全集与补集（1）补集 ：设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集（即）,由 S中全部不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S

6、中子集 A 的补集（或余集）记作： CSA 即 CSA =x x S 且 x A （2）全集 ：假如集合 S 含有我们所要讨论的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集；通常用 U 来表示；（3）性质： CUC UA=A C UA A= CUA A=U 名师归纳总结 二、 函数的有关概念1函数的概念 ：设 A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系f,使第 1 页,共 14 页对于集合 A 中的任意一个数x,在集合 B 中都有唯独确定的数fx 和它对应,那么就称f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=fx ,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴A 叫做函

7、数的定义域； 与 x 的值相对应的y 值叫做函数值, 函数值的集合fx| x A 叫做函数的值域注- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 意： 2 假如只给出解析式 y=fx ,而没有指明它的定义域,就函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1分式的分母不等于零； 2偶次方根的被开方数不小于零； 3对数式的真数必需大于零；4 指数、对数式的底必需大于零且不等于 1. 5假如函数是由一些基本函数通过四就运

8、算结合而成的 .那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .（6）指数为零底不行以等于零 6实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义 . 又留意：求出不等式组的解集即为函数的定义域； 2 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再留意：（ 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系打算的,所以,假如两个函数的定义域和对应关系完全一样,即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样,而与表示自变量和函数值的字母无关；相同函数的判定方法：表达式相同；定义域一样 两点必需同时具备 见课本 21 页相关例

9、 2 值域补充 1、函数的值域取决于定义域和对应法就,不论实行什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 . 2.应熟识把握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础；3. 函数图象学问归纳 1定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=fx , x A 中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 Px,y的集合 C,叫做函数 y=fx,x A 的图象C 上每一点的坐标 x,y均满意函数关系 y=fx ,反过来,以满意 y=fx 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x,y,均在 C上 . 即记为 C= Px,y | y= fx , xA 图象 C 一般的是一条

10、光滑的连续曲线 或直线 ,也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的如干条曲线或离散点组成；2 画法 A、描点法：依据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以 x,y 为坐标在坐标系内描出相应的点 Px, y ,最终用平滑的曲线将这些点连接起来 . B、图象变换法（请参考必修 4三角函数）常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换3作用 ：1、直观的看出函数的性质；发觉解题中的错误；2、利用数形结合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；4快去明白区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间； （3）区间的数轴表示5什么叫做映射 一

11、般地,设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射；记作“f：A B ” 给定一个集合 A 到 B 的映射,假如 aA,b B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明 ：函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合 A、B 及对应法就 f 是确定的；对应法就有“ 方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应, 它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；

12、对于映射 f：A B 来说, 就应满意：（） 集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象, 并且象是唯独的；（）集合 A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象；6 常用的函数表示法及各自的优点： 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,留意判定一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必需注明函数的定义域； 3 图象法： 描点法作图 要留意： 确定函数的定义域；化简函数的解析式；观看函数的特点； 4 列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特点表法：便于查出函数值；图象法：便于量出函数值留意

13、啊：解析法：便于算出函数值；列补充一 ：分段函数（参见课本 P24-25） 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；在不同的范畴里求函数值时必需把自变量代入相应的表达式；分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情形（1）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数；域的并集,值域是各段值域的并集（2）分段函数的定义域是各段定义补充二： 复合函数 假如 y=fu,u M,u=gx,x A, 就 y=fgx=Fx ,xA 称为 f、g 的复合函名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选

14、学习资料 - - - - - - - - - 数；例如 : y=2sinX y=2cosX2+1 7函数单调性（1）增函数 设函数 y=fx 的定义域为 I,假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1, x2,当 x1x2 时,都有 fx1fx2 ,那么就说 fx 在区间 D 上是增函数；区间 D 称为 y=fx 的单调增区间（睇清晰课本单调区间的概念）假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当x1x2 时,都有 fx1 fx2 ,那么就说 fx 在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 . 留意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性

15、质,是函数的局部性质；2 必需是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2；当 x1x2 时,总有 fx1fx2 ；（2） 图象的特点 假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的 . 3.函数单调区间与单调性的判定方法A 定义法： 1 任取 x1,x2D,且 x11,且 *名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当 是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数此时,的 次方根用

16、符号表示式子 叫做根式 （radical ）,这里 叫做根指数 （radical exponent）, 叫做被开方数 （radicand）当 是偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数此时,正数 的正的 次方根用符号 表示,负的 次方根用符号表示正的 次方根与负的 次方根可以合并成（ 0）由此可得：负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0,记作 ；留意： 当 是奇数时,当 是偶数时,2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可

17、以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1） . ；（2） ；（3） （二） 指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地,函数 叫做指数函数（exponential function ）,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R留意 ：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质 a1 0a1 0a1 图象特点函数性质函数图象都在y 轴右侧函数的定义域为（0,）图象关于原点和第 4 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 轴不对称非奇非偶函数向y 轴正负方向无限延长函数的值域为R 函数图象都过定点 （1,0

18、） 自左向右看,图象逐步上升 自左向右看,图象逐步下降 增函数 减函数第一象限的图象纵坐标都大于 0 第一象限的图象纵坐标都大于 0 其次象限的图象纵坐标都小于 0 其次象限的图象纵坐标都小于 0 （三） 幂函数1、幂函数定义 ：一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常数2、幂函数性质归 纳（1）全部的幂函数在（0,+）都有定义,并且图象都过点（1,1）；（2） 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数特殊地,当 时,幂函数的图象下凸；当 时,幂函数的图象上凸； （3） 时,幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内,当 从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限地靠近 轴正半轴,当 趋于

19、 时,图象在 轴上方无限地靠近 轴正半轴第三章 函数的应用一、 方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数,把使 成立的实数 叫做函数 的零点；2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标；即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点3、函数零点的求法：的实数根；求函数 的零点：1 （代数法）求方程 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 找出零点4、二次函数的零点：二次函数 的图象联系起来,并利用函数的性质） ,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点） ,方程 有两相等实根（二重根）

20、,二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点） ,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点2、2、2、名师归纳总结 终 边 落 在x 轴 上 的 角 的 集 合 ：,z终 边 落 在y 轴 上 的 角 的 集 合 ：第 5 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2,z终边落在坐标轴上的角的集合：2,zlr360度2弧度基本三角函数符号记r21180.弧度忆：“ 一全,二正弦,三切,四S1lr1180度余弦”221弧度tan弧度180cot1倒数关系：SinCsc1正六边形对角线上对应的三角函数之积为1

21、CosSec1三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对tan21Sec 2平方关系：2 Sin2 Cos1边对应的三角函数的平方1Cot22 Csc, 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积乘积关系：SintanCos同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法： （参看图片或参考资料链接）构造以 上弦、中切、下割；左正、右余、中间 1 的正六边形为模型；（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积；（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）；由此,可得商数关系式；（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中,上面两个顶

22、点上的三角函数值的平方和等于下面顶点 上的三角函数值的平方；名师归纳总结 诱导公式终边相同的角的三角函数值相等SinSin tanSecCos CosCsc Cot第 6 页,共 14 页Sin2kSin,kzCos2kCos,kzt an2kt an,kz角与角关于x 轴对称SinSinCosCos角tantan与角关于y 轴对称SinSinCosCos角t ant an与角关于原点对称SinSinCosCos角t ant an2与角关于yx对称Sin2CosCos2SinCosSin2t an2cott an2cot- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

23、 上述的诱导公式记忆口诀：“ 奇变偶不变,符号看象限”周期问题yASinx,A0,0,TT2,T22yACosxA0,0,TyASinx,A0,0,0yACosx,A00,0bTyASinxb,A0yACosxAb,A0,T0,b0T2yAtanx0,0,yAcotx,A0,0,TTyAtanx,A0,0,yAcotx,A0,0,T 规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于 k /2 kZ的个三角函数值,当 k 是偶数时,得到 的同名函数值,即函数名不转变；当 k 是奇数时,得到 相应的余函数值,即 sin cos;cos sin;tan cot,cot tan. （奇变偶不变）然后在前面加上

24、把 看成锐角时原函数值的符号；（符号看象限）例如：sin2 sin4 /2 ,k4 为偶数,所以取 sin ；当 是锐角时, 2 270 ,360 ,sin2 0,符号为 “”；所以 sin2 sin 记忆口诀是：奇变偶不变,符号看象限；公式右边的符号为把 视为锐角时,角k 360 +（kZ）,-、180 ,360 - 所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限；各种三角函数在四个象限的符号如何判定,也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”这十二字口诀的意思就是说：名师归纳总结 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“”；yCosx第 7 页,共 14 页其次象限内

25、只有正弦是“”,其余全部是 “”；第三象限内切函数是“”,弦函数是 “”；第四象限内只有余弦是“”,其余全部是 “”三角函数的性质性质ySinx定义域R R - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 值域1,11,1周期性2 k2, 2 k2,kz ,增函数2k, 2 k,2,kz ,增函数奇偶性奇函数偶函数单调性22 k,k2k,kz ,减函数对称中心2 k2,2 k3,kz ,减函数kx2,0zz2kz,0,kzx对称轴k2,kk,k5图543 42y3y 1 2像-8-2 -6-3 /2-4- -2- /21O /2 2 43 /262 x-8-2 -6

26、-3 /2-4- -2- /2-1O /22 43 /262 x8-18-2-2-3-3-4-4-5-5-6性质xxytanxzxycotxz定义域x,2值域R R 周期性名师归纳总结 奇偶性k2,kk奇函数zz,增函数k,k奇函数,z ,增函数第 8 页,共 14 页单调性2,k,k对称中心,0,kk2,0kz对称轴无无- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 108y 6图4y2x像-15-10-5-3 /2- - /2-2O /2 3 /2510150 x -4-6-8-10怎样由 y Sinx 变化为 y ASin x k？振幅变化：y Sinx y

27、ASinx 左右伸缩变化：y ASin x 左右平移变化 y ASin x 上下平移变化 y ASin x k平面对量共线定理：一般地,对于两个向量 a , a 0 , b , 假如有一个实数 , 使得 b a , a 0 , 就 b 与 a 是共线向量；反之假如 b 与 a 是共线向量那么又且只有一个实数 , 使得 b a . 线段的定比分点点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比的定义式 P 1 P PP 2. 线段定比分点坐标公式y12y20. .线段定比分点向量公式OPOPxx 12x22OP 1y 1y当1 时11 y1当1 时线段中点坐标公式线段中点向量公式xx12x2OPOP1

28、2OP2y向量的一个定理的类似推广aa向量共线定理：b推广名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 平面对量基本定理：a1e12e2,其中e1,e2为该平面内的两个不共线的向量推广空间向量基本定理：a1e 1,e2,2e 23e3,其中e 1e3 为该空间内的三个不共面的向量一般地,设向量ax 1,y 1,bx 2,y2且a,0假如ab那么x 1y2x 2y 10反过来,假如x 1y 2x 2y 10 ,就a b .babCos, 其中 为两向量的夹角；一般地,对于两个非零向量a,b有aCosabx 1x1x22y1y2y

29、222y 1x22abx 1x2y1y2ab特殊的,aaa2a2或者aa假如ax 1,y1,bx2,y2且a0,就a特殊的,abx 1x2y 1y20OA 2OA n0如正n 边形A 1A 2A n 的中心为O,就 O A 1三角形中的三角问题SinABC,ABC2,A2B2-CCosC 222ABSinCCosABCosCSinA2BCosA2BSinCbc2RSinAabc2正弦定理：a SinASinBSinCSinBSinC余弦定理：a2b2c22 bcCosA,b2a22 c2 acCosBc2a22 b2 abCosCCosAb2c2a2,CosBa2c2b22 bc2ac变形：CosCa2b2c2tanAtanB2abtanCtanAtanBtanC三角公式以及恒等变换名师归纳总结 两角的和与差公式：SinSinCosCosSin,S第 10 页,共 14 页SinSinCosCosSin,S- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - CosCosCosSinSin,C CosCosCosSinSin,TC变形：tantantantan1tantantant