2022年高考数学圆锥曲线专题复习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载圆锥曲线一、学问结构 1. 方程的曲线 在平面直角坐标系中,假如某曲线 C看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一 个二元方程 fx,y=0 的实数解建立了如下的关系：1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 线叫做方程的曲线 . . 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲点与曲线的关系如曲线 C的方程是 fx,y=0,就点 P0x0,y0 在曲线 C上fx0,y 0=0 ；点 P0x 0,y 0 不在曲线 C上fx0,y 0 0f 1x,y=0,f2x,y=0,就两条曲线的交点如曲

2、线 C1,C2的方程分别为 f1x 0,y 0=0 点 P0x0,y0 是 C1,C2的交点方程组有 f2x 0,y 0 =0 n 个不同的交点；方程组没有实数解,曲线n 个不同的实数解,两条曲线就有就没有交点 . 2. 圆圆的定义：点集： M OM=r,其中定点O为圆心,定长r 为半径 . 圆的方程：1 标准方程圆心在 ca,b ,半径为 r 的圆方程是圆心在坐标原点,半径为x-ax2+y-b2=r2r 的圆方程是2+y2=r22 一般方程当 D 2+E 2-4F 0 时,一元二次方程名师归纳总结 x2+y叫 做圆 的一 般方 程,圆心2为 -x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2E2-4F.

3、 配方 ,将 方程第 1 页,共 29 页D ,-2E ）,半 径是 222+Dx+Ey+F=0化为-4Fx+D 22+y+E 22=D2E4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载当 D 2+E 2-4F=0 时,方程表示一个点-D ,-2E ; 2点 M在圆 C内,当 D 2+E 2-4F 0 时,方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系已知圆心Ca,b,半径为 r, 点 M的坐标为 x0,y0 ,就MC r点 M在圆 C内, MC =r点 M在圆 C上, MC r其中 MC=x0-a2y0-b2. 3 直线和圆的位置关系 直线和圆有

4、相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交 有两个公共点 直线与圆相切 有一个公共点 直线与圆相离 没有公共点 直线和圆的位置关系的判定 i 判别式法ii利用圆心 Ca,b 到直线 Ax+By+C=0的距离 d=AaA2BbC与半径 r 的大小关系来判B2定. 3. 椭圆、双曲线和抛物线基本学问 曲性线椭圆双曲线抛物线质轨迹条件M MF1 + MF2 M MF1- MF2. M MF=点 M 到=2a, F1F2 2a = 2a, F2F2 2a. 直线 l 的距离 . 圆形标准方程x2+y2=1a b0 x2-y2=1a 0,b 0 y2=2pxp 0 a2b2a2b2名师归纳总结 顶轴点A

5、1-a,0,A2a,0; A10,-a,A20,a O0,0 第 2 页,共 29 页B10,-b,B20,b 对称轴 x=0,y=0 对称轴 x=0,y=0 对称轴 y=0 长轴长： 2a 实轴长： 2a 虚轴长： 2b - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载短轴长： 2b 焦点F1-c,0,F2c,0 F1-c,0,F2c,0 FP ,0 2焦点在长轴上焦点在实轴上焦点对称轴上焦距 F1F2=2c,F1F2=2c, x=-p 2c=a2-b2c=a2b2准线x=a2x=a2cc准线与焦点位于顶点离心率准线垂直于长轴,且在准线垂直于

6、实轴, 且在两两侧,且到顶点的距离椭圆外 . 顶点的内侧 . 相等 . e=c ,0 e1 ae=c ,e 1 ae=1 4. 圆锥曲线的统肯定义平面内的动点 Px,y 到一个定点 Fc,0 的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 ee 0, 就动点的轨迹叫做圆锥曲线 . 其中定点 Fc,0 称为焦点,定直线l 称为准线,正常数 e 称为离心率 . 当 0e1 时,轨迹为椭圆,当 e=1 时,轨迹为抛物线当 e1 时,轨迹为双曲线5. 坐标变换名师归纳总结 叫做坐标变换在解析几何中,把坐标系的变换 如转变坐标系原点的位置或坐标轴的方向第 3 页,共 29 页坐标变换

7、. 实施坐标变换时,点的位置,曲线的外形、大小、位置都不转变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. 换叫坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不转变,只转变原点的位置,这种坐标系的变做坐标轴的平移,简称移轴. 标系坐标轴的平移公式设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y ,在新坐x Oy 中的坐标是 x ,y . 设新坐标系的原点O 在原坐标系xOy 中的坐标是h,k,就x=x+h x=x -h 1 或2 y=y+k y=y-k 公式 1 或2 叫做平移 或移轴 公式 .中心或顶点在 h,k的圆锥曲线方程见下表. 方程焦点焦线对称轴椭圆x-h2+y-k2=1 c+h,kx=a2+h

8、x=h a2b2cy=k - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x-h2+y-k优秀学习资料欢迎下载y=a2+k x=h 2 =1 h, c+kb2a2cy=k 双曲线x-h2-y-k2=1 c+h,k=a2+k x=h a2b22cy=k k2-x-h=1 y=a2+k y-h, c+hx=h 抛物线a2b2cy=k p +h,k 2x=-p +h 2y-k2=2px-h y=k y-k2=-2px-h -p +h,k 2x=p +h 2y=k x-h2=2py-k h, p +k 2y=-p +k 2x=h x-h2=-2py-k h,- p +k 2

9、y=p +k 2x=h 二、学问点、才能点提示 一 曲线和方程,由已知条件列出曲线的方程,曲线的交点说明在求曲线方程之前必需建立坐标系,然后依据条件列出等式进行化简. . 特殊是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形,是否满意已知条件,只有这样求出的曲线方程才能精确无误. 另外,要求会判定曲线间有无交点,会求曲线的交点坐标三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：. 椭圆及其标准方程 .椭圆的简洁几何性质 .椭圆的参数方程；. 双曲线及其标准方程 .双曲线的简洁几何性质；. 抛物线及其标准方程 .抛物线的简洁几何性质；考试要求：. 1把握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简洁几何性质,懂得椭圆的参数

10、方程；. 2把握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简洁几何性质；. 3把握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简洁几何性质；. 4明白圆锥曲线的初步应用；四对考试大纲的懂得高考圆锥曲线试题一般有 3 题 1 个挑选题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 , 共计 22 分左右 , 考查的知识点约为 20 个左右 . 其命题一般紧扣课本, 突出重点 , 全面考查 . 挑选题和填空题考查以圆锥名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 曲线的基本概念和性质为主优秀学习资料欢迎下载解答题常作为数学高考中的, 难度在中等以下,一般较简洁得

11、分,压轴题,综合考查同学数形结合、等价转换、分类争论、规律推理等诸方面的才能,重点考查圆锥曲线中的重要学问点 , 通过学问的重组与链接 , 使学问形成网络 , 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系 , 往往结合平面对量进行求解,在复习应充分重视；求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类争论、规律推理、合理运算及创新思维才能,解决好这类问题,除要求娴熟把握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人仍经常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法 . 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,

12、可采纳“ 先定形,后定式,再定量” 的步骤 . 定形 指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 . 定式 依据 “形 ”设方程的形式, 留意曲线系方程的应用,坐标轴上时,可设方程为mx 2+ny2=1m0,n0. 如当椭圆的焦点不确定在哪个定量 由题设中的条件找到“ 式” 中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小. 【例题】【例 1】 双曲线x2y2=1bN的两个焦点F 1、 F2,P 为双曲线上一点,24b|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF 2|成等比数列,就b 2=_. 解：设 F 1c,0）、F 2c,0、Px,y,就名师归纳总结 |PF 1| 2+|PF2|2=2|PO|2

13、+|F 1O| 2252+c2, F1Bx第 5 页,共 29 页即|PF 1| 2+|PF 2| 250+2c2, 又 |PF 1| 2+|PF2|2=|PF 1|PF2|2+2|PF1| |PF 2|, 依双曲线定义,有|PF 1|PF2|=4, 依已知条件有 |PF1| |PF2|=|F 1F 2| 2=4c216+8c250+2c 2,c217 , 3又 c2=4+b 217 ,b 325 ,b 2=1. 3【例 2】 已知圆 C1 的方程为x22y1220,椭圆 C2的方程为3x2y21ab0 ,C2的离心率为2 ,假如 C1 与 C2 相交 2y22ab于 A、B 两点,且线段AB

14、 恰为圆 C1 的直径,求直线AB 的方程和椭圆 C2 的方程；A解：由e2,得c2,a22 c2,b2c2.C12a2F2O- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设椭圆方程为x2y21.优秀学习资料欢迎下载22 b2b设 A x 1 , y 1 . B x 2 , y 2 . 由圆心为 2 1, .x 1 x 2 4 , y 1 y 2 .22 2 2 2又 x 12 y 12 ,1 x 22 y 22 ,12 b b 2 b b2 2 2 2两式相减,得 x 12 x 2 y 12 y 2 0 .2 b b x 1 x 2 x 1 x 2 2 y 1

15、y 2 y 1 y 2 0 ,又 x 1 x 2 4 . y 1 y 2 .2 得 y 1 y 2 1 .x 1 x 2直线 AB的方程为 y 1 x 2 .即 y x 32 2将 y x 3 代入 x2 y2 ,1 得2 b b3 x 2 12 x 18 2 b 2 0 .2直线 AB 与椭圆 C 2 相交 . 24 b 72 0 .由 A B 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 24 x 1 x 2 20 .32得 2 24 b 72 20 .3 32 2解得 b 2 .8 故全部椭圆方程 x y1 .16 8【例 3】 过点 1,0的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为

16、 2 的椭圆 C2相交于 A、B 两点,直线 y= 1 x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于2直线 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程 . 2 2解法一：由 e= ca 2 2,得 aa 2 b 12 ,从而 a 2=2b 2,c=b. 设椭圆方程为 x 2+2y 2=2b 2,Ax1,y1,Bx2,y2在椭圆上 . 就 x1 2+2y1 2=2b 2,x2 2+2y2 2=2b 2,两式相减得,x1 2 x2 2+2y1 2y2 2=0, y 1 y 2 x 1 x 2 .x 1 x 2 2 y 1 y 2 y设 AB 中点为 x0,y0,就 kAB=2y

17、x 00 , B y= 12 xF2 o F 1 xA名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又x0,y0在直线 y= 2 1 x 上, y0= 2 1 x0, 优秀学习资料欢迎下载于是x 00=1,kAB=1, 2y设 l 的方程为 y=x+1. 右焦点 b,0关于 l 的对称点设为 x ,y,2 k2. , 就xyb1b1解得x1byxy122由点 1,1b在椭圆上,得1+21b 2=2b 2,b 2=9,a29. 168所求椭圆C 的方程为8 x216y2=1,l 的方程为 y=x+1. 99解法二：由e=c2,得

18、a2a2b21,从而 a2=2b 2,c=b. a22设椭圆 C 的方程为 x2+2y 2=2b 2,l 的方程为 y=kx1, 将 l 的方程代入C 的方程,得 1+2k 2x24k 2x+2k22b 2=0, 就 x1+x2=14k22,y1+y2=kx1 1+kx21=kx1+x2 2k=12k2k直线 l：y=1 x 过 AB 的中点 2x 12x2,y 12y 2,就1k212k22 k212 k2解得 k=0,或 k=1. 名师归纳总结 如 k=0,就 l 的方程为 y=0,焦点 Fc,0关于直线 l 的对称点就是F 点本身,不能在椭圆C 上,第 7 页,共 29 页所以 k=0

19、舍去,从而k=1,直线 l 的方程为 y=x1,即 y=x+1,以下同解法一 . 解法 3：设椭圆方程为x2y21 ab0 12 ab2直线 l 不平行于 y 轴,否就 AB中点在 x 轴上与直线y1x 过AB中点冲突；2故可设直线l的方程为yk x1 2 2代入 1消y 整理得：k2a2b2x22k2a2xa2k2a2b203 设A x 1,y1Bx2,y2,知：x 1x2k2 k2a222a2b又y 1y2kx 1x22k 代入上式得：kx 12 kx 21,k2 kk2a2ab21,kkb21,又e222k222ka222k2b22a22c222e21,直线l的方程为y1x,a2a- -

20、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 此时a22b2,方程3化为3x24x优秀学习资料0,欢迎下载241b28 3 b21 022b216b3,椭圆C的方程可写成：x22y22b24 ,又c2a2b2b2,3x0,y0,右焦点F ,设点F关于直线l的对称点就y0b102bx01,y01b,x0y01xb2 b2,b33,2又点 1,b 在椭圆上,代入 4 得：12 143b29,a29168所以所求的椭圆方程为：x2y2199816【例 4】 如图,已知 P1OP2 的面积为27 ,P 为线段 P1P2 的一个三等分点,求以直 4名师归纳总结 线 OP1、 OP

21、2 为渐近线且过点P 的离心率为13 的双曲线方程 . 2. x第 8 页,共 29 页解：以 O 为原点, P1OP2 的角平分线为x 轴建立如下列图的直角坐标系设双曲线方程为x2y2=1a0,b0 y22P2ab由 e 2=c21b2132,得b3. a2a2a2两渐近线OP1、OP2 方程分别为y=3 x 和 y= 2 3 xP设点 P1x1,33 x1,P2x2, 2x2x1 0,x20, oP12就由点 P 分P 1P 2所成的比 =P 1P=2, PP 2得 P 点坐标为 x132x2,x 12x 2, 2又点 P 在双曲线x24y2=1 上,a29 a2所以x 192x22x19

22、2x22=1, a2a2即x1+2x22x1 2x2 2=9a2,整理得 8x1x2=9a 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又|OP 1|x 129x 1213x 1优秀学习资料9欢迎下载13x2|,OP|x22x224242sinP 1OP 212tanP 1Ox23212tan2P 1Ox19134SP 1OP 21|OP 1|OP 2|sinP 1 OP 2113x 1x21227,224134即 x1x2=92由、得a2=4,b 2=9 故双曲线方程为x2y2=1. 49x21 ab0 上一动点 P 引圆 O：x2 +y2 =b2 的两条切

23、线【例 5】 过椭圆 C：y2a2b2PA、PB,A、B 为切点,直线AB 与 x 轴, y 轴分别交于M 、N 两点； 1 已知 P 点坐标为x0,y0 并且 x0y0 0,试求直线AB 方程； 2 如椭圆的短轴长为2 28,并且| OM a| 2 | ON b| 2 16 25,求椭圆 C 的方程； 3 椭圆 C 上是否存在点 P,由 P 向圆 O 所引两条切线相互垂直？如存在,请求出存在的条件；如不存在,请说明理由；解： 1设 Ax1,y1,Bx2, y2 名师归纳总结 切线 PA：x 1xy 1yb2,PB：x2xy2yb2第 9 页,共 29 页P 点在切线 PA、PB 上,x 1x

24、0y 1y0b2x 2x 0y2y0b2直线 AB 的方程为x 0xy 0yb2x0y002在直线 AB 方程中,令y=0,就 Mb2,0；令 x=0,就 N0,b2 x0y0|a2|2|b2|2a2y2 0x2 0a2252a2b22OMONbb162b=8 b=4 代入得 a2 =25, b 2 =16 椭圆 C 方程：y2x21xy0（注：不剔除xy 0,可不扣分）25163 假设存在点Px0,y0满意 PAPB,连接 OA、OB 由 |P A|=|P B| 知,四边形 PAOB 为正方形, |OP|=2 |O A| 2 x 0y2 02b2- - - - - - -精选学习资料 - -

25、 - - - - - - - 又 P 点在椭圆 C上a2x2 0b优秀学习资料欢迎下载22 y 0a2b2由知 x2 0b2a22b2,2 y 0aa2b22P点向圆所a2b22bab0 a 2 b20 2 b 时,椭圆 C 上存在点,由1当 a 2 2b20,即 a引两切线相互垂直；2当 a 2 2b 20,即 ba 2 b 时,椭圆 C 上不存在满意条件的 P 点【例 6】 已知椭圆 C 的焦点是 F1（3 ,0）、F2（3 ,0）,点 F1 到相应的准线的距离为 3 ,过 F2 点且倾斜角为锐角的直线 l 与椭圆 C交于 A、B 两点,使得 |F 2B|=3|F 2A|. 3（ 1）求椭

26、圆 C的方程；（2）求直线 l 的方程 . 解：（ 1）依题意,椭圆中心为O（0, 0）,c3F1yAlx点 F1 到相应准线的距离为b23,b2331,c3a 2=b2+c 2=1+3=4 所求椭圆方程为x2y21P4（2）设椭圆的右准线l 与 l 交于点 P,作 AM l ,AN l ,M垂足OF 2N分别为 M 、 N. 由椭圆其次定义,得|AF 2|e|AF 2|e|AM|B|AM|同理 |BF 2|=e|BN| 由 Rt PAM Rt PBN,得|PA|1|AB|2|F2A|2e|AM| 9 分. |BC|PBCB.2cosPAM|AM|12133l的斜率ktanPAM2|PA|2e

27、32|PC直线 l 的方程y2x3即2xy60【例 7】 已知点 B（ 1,0）,C（1,0）,P 是平面上一动点, 且满意（1）求点 P 的轨迹 C 对应的方程；（2）已知点 A（m,2）在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C的两条弦 AD 和 AE,且 ADAE,判定：直线 DE是否过定点？试证明你的结论 . （3）已知点 A（m,2）在曲线 C上,过点 A 作曲线 C的两条弦 AD,AE,且 AD,AE 的斜率 k1、名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - k2满意 k1k2=2.求证：直线优秀学习资料欢迎下载DE

28、过定点,并求出这个定点. 解：（1）设Px,y代入|PC|BC|PBCB 得x12y21x ,化简得y24x.,0 2 将A m , 2 代入y24x 得m,1点A 的坐标为,12 .设直线AD的方程为y2kx1 代入y24 x,得y24y84kk由y 12 可得y24,2D4,142 .kk2k2 .同理可设直线AE:y21x1 ,代入y24x 得E4 k2,14 kk就直线DE方程为:y4 k244kx4 k21 ,化简得k4k24kk2y2 kx5y2 ,0即y2kk1x5 ,过定点,52 .2 3 将Am,2代入y24x 得m,1设直线DE的方程为ykxb ,Dx 1 ,y 1,Ex

29、1,y 1 由y2kxxb 得k2x22kb2 xb20,y4kADkAE2 ,y 12y 222x 1,x21 ,11k2 .x 1x 2且y 1kx 1b,y2kx2bk22x1x2kb2k2x 1x2b2 22,0将x 1x22kb2,x 1x2b2代入化简得b2k22,bk22kbk2.2 .,舍去,将bk2代入ykxb得ykxk2kx12,过定点,1将b2k 代入ykxb 得ykx2kkx12,过定点 ,12,不合定点为,12233,直线 l 过 A（a,0）、【例 8】 已知曲线x2y21a0,b0 的离心率ea2b2B（0, b）两点,原点O 到 l 的距离是3.2（）求双曲线的

30、方程；名师归纳总结 （）过点B 作直线 m 交双曲线于M、N 两点,如OMON23,求直线 m 的方程 . 第 11 页,共 29 页解：（）依题意,l方程xy,1即bxayab0,由原点 O 到 l 的距离ab为3 ,得aabb2ab3又ec233b,1 a322c2a故所求双曲线方程为x2y213- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）明显直线优秀学习资料欢迎下载x 1, y 1）、m 不与 x 轴垂直,设m 方程为 y=kx 1,就点 M 、N 坐标（x 2, y2）是方程组ykx211的解36k1,x 1x23 k61x2y3消去 y,得 13 k2x26kx60依设,13 k20 ,由根与系数关系,知x 1x 2k22OMONx 1,y1x2,y2x 1x 2y 1y2x 1x 2kx 11 kx 21=1k2x 1x2kx1x 21=6 12k26k2113k13 k2=3 k6111 22OMON233k611= 23,k=2当 k=1 时,方程有两个不等的实数根 2故直线 l 方程为y1x,1或y1x1221的两个焦点F 、F 的距离之和为定值,【例 9】 已知动点 P 与双曲线x2y223且cosF 1PF 2的最小值为19（1）求动点 P 的轨迹方程；（2）如已知D03,