2022年高考一轮复习空间点直线平面之间的位置关系.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载第 3 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系【20XX 年高考会这样考】1本讲以考查点、线、面的位置关系为主,同时考查规律推理才能与空间想象 才能2有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题3能运用公理、 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简洁命题【复习指导】1把握平面的基本性质, 在充分懂得本讲公理、 推论的基础上结合图形懂得点、线、面的位置关系及等角定理2异面直线的判定与证明是本部分的难点,定义的懂得与运用是关键基础梳理1平面的基本性质1公理 1：假如一条直线上的两点在一个平面内,这个平面内那么

2、这条直线上全部的点都在2公理 2：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面3公理 3：假如两个平面 不重合的两个平面 有一个公共点,那么它们仍有其他 公共点,且全部这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推论 1：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面推论 2：经过两条相交直线,有且只有一个平面推论 3：经过两条平行直线,有且只有一个平面2直线与直线的位置关系 1位置关系的分类共面直线平行 相交异面直线：不同在任何一个平面内2异面直线所成的角定义：设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点O 作直线 a a,b b,名师归纳总结 把 a 与 b 所成的锐角或直角叫做异面直线a,b

3、所成的角 或夹角 第 1 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 范畴： 0, 2 . 优秀学习资料欢迎下载3直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情形4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情形5平行公理：平行于同一条直线的两条直线相互平行6等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互 补两种方法异面直线的判定方法：1判定定理：平面外一点 是异面直线A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线2反证法：证明两线不行能平行、相交或证明两线不行能共面,从而可得两线异面三个作用 1公理 1 的作用：检验平面；判

4、定直线在平面内；由直线在平面内判定 直线上的点在平面内2公理 2 的作用：公理2 及其推论给出了确定一个平面或判定“ 直线共面 ” 的方法3公理 3 的作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线双基自测 1人教 A 版教材习题改编 以下命题是真命题的是 A空间中不同三点确定一个平面 B空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C一条直线和一个点能确定一个平面名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载D梯形肯定是平面图形解析 空间中不共线的三点确定一个平面,A 错；空间中两两相交不交于一点的三条

5、直线确定一个平面, B 错；经过直线和直线外一点确定一个平面,C 错；故D 正确答案 D 2已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b A肯定是异面直线 B肯定是相交直线C不行能是平行直线D不行能是相交直线解析 由已知直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线, 但不行能为平行直线,如 bc,就 ab,与已知 a、b 为异面直线相冲突 . 答案 C 32022 浙江以下命题中错误选项 A假如平面 平面 ,那么平面 内肯定存在直线平行于平面 B假如平面 不垂直于平面 ,那么平面 内肯定不存在直线垂直于平面 C假如平面 平面 ,平面 平面 ,l,那么 l平面 D假如

6、平面 平面 ,那么平面 内全部直线都垂直于平面 解析 对于 D, 如平面 平面,就平面 内的直线可能不垂直于平面 ,甚至可能平行于平面 ,其余选项均是正确的答案 D 42022 武汉月考 假如两条异面直线称为“ 一对” ,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线 C36 对D48 对A12 对B24 对解析名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载如下列图,与 AB 异面的直线有 B1C1；CC1,A1D1,DD 1 四条,由于各棱具有相同的位置且正方体共有12 条棱,排除两棱的重复运算,共有异面直线12

7、 4 224对答案 B 5两个不重合的平面可以把空间分成 _部分答案 3 或 4 考向一 平面的基本性质【例 1】.正方体 ABCDA1B1C1D1 中, P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1的中点,那么,正方体的过P、Q、R 的截面图形是 D六边形A三角形B四边形C五边形审题视点 过正方体棱上的点 解析P、Q、R 的截面要和正方体的每个面有交线如下列图,作 RGPQ 交 C1D1于 G,连接 QP 并延长与 CB 交于 M,连接 MR 交 BB1 于 E,连接 PE、RE 为截面的部格形状同理连 PQ 并延长交 CD 于 N,连接 NG 交 DD 1于 F,连接 QF,FG. 截面为六边

8、形 PQFGRE. 答案 D 画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线只需两名师归纳总结 个公共点即可确定 作图时充分利用几何体本身供应的面面平行等条件,可以更第 4 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载快的确定交线的位置【训练 1】 以下如下列图是正方体和正四周体,点,就四个点共面的图形是 _解析P、Q、R、S分别是所在棱的中在图中,可证 Q 点所在棱与面 PRS平行,因此, P、Q、R、S 四点不共面可证中四边形 PQRS为梯形； 中可证四边形PQRS为平行四边形； 中如图所示取 A1A 与 BC

9、的中点为 M、N 可证明 PMQNRS为平面图形,且 PMQNRS为正 六边形答案考向二异面直线【例 2】.如下列图,正方体 ABCDA1B1C1D1中, M、N 分别是 A1B1、B1C1的中点问：1AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由；2D1B 和 CC1是否是异面直线？说明理由审题视点 第1问,连结 MN,AC,证 MNAC,即 AM 与 CN 共面；第 2问可 采纳反证法解名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载1不是异面直线理由如下：连接 MN、A1C1、AC. M、N 分别是 A1B

10、1、B1C1 的中点,MN A1C1.又A1A 綉 C1C,A1ACC1 为平行四边形,A1C1 AC, MN AC,A、M、N、C 在同一平面内,故 2是异面直线证明如下：ABCDA1B1C1D1 是正方体,B、C、C1、D1不共面假设 D1B 与 CC1 不是异面直线,AM 和 CN 不是异面直线就存在平面 ,使 D1B. 平面 ,CC1. 平面 ,D1,B、C、C1,与 ABCDA1B1C1D1 是正方体冲突假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线证明两直线为异面直线的方法1定义法 不易操作 2反证法：先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件动身,经过严密的推理

11、,导出冲突,从而否定假设,确定两条直线异面【训练 2】 在下图中, G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,就表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有 _填上全部正确答案的序号 解析 如题干图 1中,直线 GHMN；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载图2中, G、H、N 三点共面,但 M.面 GHN,因此直线 GH 与 MN 异面；图3中,连接 MG,GMHN,因此 GH 与 MN 共面；图4中, G、M、N 共面,但 H.面 GMN,GH 与 MN 异面所以图 2、4中 GH 与

12、 MN 异面答案24 考向三异面直线所成的角【例 3】.2022宁波调研 正方体 ABCDA1B1C1D1 中1求 AC 与 A1D 所成角的大小；2如 E、F 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小审题视点 1平移 A1D 到 B1C,找出 AC 与 A1D 所成的角,再运算2可证 A1C1与 EF 垂直解1如下列图,连接 AB1,B1C,由 ABCDA1B1C1D1 是正方体,易知 A1D B1C,从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角AB1ACB1C, B1CA60. 即 A1D 与 AC 所成的角为 60. 2如下列图,连接 AC、B

13、D,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,ACBD,AC A1C1,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载E、F 分别为 AB、AD 的中点,EF BD, EFAC. EFA1C1. 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90. 求异面直线所成的角常采纳“ 平移线段法 ” ,平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移；补形平移运算异面直线所成的角通常放在三角形中进行【训练 3】 A 是 BCD 平面外的一点, E,F 分别是 BC,AD 的中点1

14、求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；2如 ACBD,ACBD,求 EF 与 BD 所成的角1证明 假设 EF 与 BD 不是异面直线,就 EF 与 BD 共面,从而 DF 与 BE 共面,即 AD 与 BC 共面,所以 A、B、C、D 在同一平面内,这与 A 是 BCD 平面外的一点相冲突故直线 EF 与 BD 是异面直线2解如图,取 CD 的中点 G,连接 EG、FG,就 EG BD,所以相交直线 EF 与 EG所成的角,即为异面直线 EF 与 BD 所成的角在 Rt EGF 中,由 EGFG1 2AC,求得 FEG45,即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45. 考向四 点共线、点

15、共面、线共点的证明【例 4】.正方体名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载ABCDA1B1C1D1 中, E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点求证：1E、C、D1、F 四点共面；2CE、D1F、DA 三线共点审题视点 1由 EFCD1 可得；2先证 CE 与 D1F 相交于 P,再证 PAD. 证明 1如图,连接 EF,CD1,A1B. E、F 分别是 AB、AA1的中点,EF BA1. 又 A1B D1C,EF CD1,E、C、D1、F 四点共面2EF CD1,EFCD1,CE 与 D1F

16、必相交,设交点为 P,就由 PCE,CE. 平面 ABCD,得 P平面 ABCD. 同理 P平面 ADD1A1. 又平面 ABCD平面 ADD1A1DA,P直线 DA, CE、D1F、DA 三线共点要证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用平面的基本性质3,即证点在两个平面的交线上或者挑选其中两点确定始终线,然后证明另一点也在此直线上名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载【训练 4】 如下列图,已知空间四边形ABCD 中,E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是

17、边 BC、CD 上的点,且CF CBCG CD2 3,求证：三条直线 EF、GH、AC 交于一点证明E、H 分别为边 AB、AD 的中点,EH 綉1 2BD,而 CF CBCG CD2 3,FG BD2 3,且 FG BD. 四边形 EFGH 为梯形,从而两腰EF、GH 必相交于一点 P. P直线 EF,EF. 平面 ABC,P平面 ABC. 同理, P平面 ADC. P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线 AC 上,故 EF、GH、AC 三直线交于一点阅卷报告 10点、直线、平面位置关系考虑不全致误【问题诊断】由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑,这与在平面上考虑点、线的位置关系

18、相比复杂了许多,特殊是当直线和平面的个数较多时,各种位置关系错综复杂、相互交错,假如考虑不全面就会导致一些错误的判定【防范措施】借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析【示例】.2022四川l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,就以下命题正确选项 Al 1l2,l2l3. l1 l 3 Bl 1l2,l2 l3. l1l3 Cl1 l2 l3. l1,l2,l3 共面 Dl 1,l2,l3 共点. l1,l2,l3 共面名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载错因 受平面几何学问限制,未能全面考虑空

19、间中的情形实录甲同学： A乙同学： C 丙同学： D. 正解 在空间中,垂直于同始终线的两条直线不肯定平行,故 A 错；两平行线中的一条垂直于第三条直线,就另一条也垂直于第三条直线,B 正确；相互平行的三条直线不肯定共面,如三棱柱的三条侧棱,故如三棱锥的三条侧棱,故 D 错答案 B 【试一试】2022江西 C 错；共点的三条直线不肯定共面,过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB,AD,AA1 所成的角都相等,这样的直线 l 可以作 A1 条 B2 条C3 条 D4 条尝试解答 如图,连结体对角线 AC1,明显 AC1 与棱 AB、AD,AA1 所成的角都相等,所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线,如连结BD1,就 BD1与棱 BC、BA、BB1所成的角都相等,BB1 AA1,BC AD,体对角线 BD1 与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等,同理,体对角线 A1C、DB1也与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等,过A 点分别作 BD1、A1C、DB1 的平行线名师归纳总结 都满意题意,故这样的直线l 可以作 4 条第 11 页,共 11 页答案D - - - - - - -