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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第一章 微积分的理论基础内容及基本要求:1、懂得函数的概念 2、懂得复合函数的概念,明白反函数的概念 3、把握基本初等函数的性质及其图形 4、会建立简洁实际问题中的函数关系式 5、懂得极限的概念 (对极限的 N、 定义可在学习过程中逐步加深懂得)6、把握极限的四就运算法就 7、会用两个重要极限求极限 8、 解无穷小、无穷大,以及无穷小的阶的概念;会用等阶无穷小求极限 9、 懂得函数在一点连续的概念 10、明白间断点的概念,并会判定点的类型 11、明白初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理)学习重点
2、: 函数概念;复合函数概念;极限概念;极限四就运算法就;两个重要极限;函数连续概念;学习难点 :极限概念;第一节 函数一. 函数的概念及其表示法1.函数的定义 设 x 与 y 是变量 , D 是给定的一个数集 . x D , y 依据肯定的法就总有确定的数值与之对应 ,就称 y 是 x 的函数 ,记作 y f x .其中 D 为函数的定义域 , x 是自变量, y 是因变量 . 0x 处的函数值记为f0x,即y0fx0. ,对应的函数值总是只有一Wy|yfx,xD称为函数yfx 的值域 . 单值函数与多值函数: 假如自变量在定义域内任取一个值时个,这种函数称为单值函数,否就称为多值函数.本书一
3、般指单值函数. 2.定义域的求法D1实际问题由实际意义确定:如自由落体运动xx01 gt 22,就其定义域为t0. 2数学式子由算式有意义的自变量的一切实数值所确定:如y12 x,其定义域为1,1. 3.函数的图形名师归纳总结 建立直角坐标系后|,点x,y的集合 C : 第 1 页,共 33 页Cx,yyfx,xD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 称为函数yfx 的图形 . 学习必备欢迎下载4.特殊函数1肯定值函数 : yxx ,xx,0xsgnx. x,0 .2符号函数 : ,1x,02,52. .如绝ysgnx0,x0,1x0 .3取整函数 : y
4、 x表示不超过 x 的最大整数 .如1,124分段函数 :在自变量的不同范畴中,用不同式子表示的同一个函数称为分段函数对值函数 ,取整函数 ,符号函数都是分段函数.两个不同式子的分界点称为分段函数的分段点. 二. 线性函数的基本属性1.转变量 对于函数 y f x ,当自变量在其定义域内从一点 x 变为异于 x 的点 x 时,相应地,函数值从 0y 变为 y ,我们称 x x 0 为自变量 x 在 x 处的转变量,简称为自变量的转变量, 记作 x x 0x,称 y y 0 为函数 y f x 在 0y 处相应的转变量,简称为函数的转变量,记作2.匀称变化与非匀称变化yyy 0fxfx0. 对线
5、性函数,无论自变量x 从哪里开头变化,只要它的转变量一样大,就函数的转变量也一样大;换句话说,线性函数随自变量的变化是匀称的,即y x. 三. 复合函数与反函数名师归纳总结 1. 复 合 函 数设 函 数yfu的 定 义 域 为D , 函 数u x在D2上 有 定 义 , 而第 2 页,共 33 页W 2u|ux,xD2,且W 2D1,那末 ,对xD2通过函数ufx有确定的 u 与之对应 ,对于这个 u 通过yfu有确定的y 与之对应 ,从而得由yu,ux复合而成的复合函数,记作yfx,而 u 为中间变量 . yarcsinu, 留意1不是任二个或二个以上的函数都复合成一个复合函数.如- -
6、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ux22就不能复合成一个复合函数学习必备欢迎下载. 2 任一复合函数都可以分解成一些简洁函数的复合 .此点在求复合函数的导数时很重要 .如函数 y ln tan x可分解成 : y ln u , u tan v , v x .2 22.反函数 设函数 y f x 定义域为 D ,值域为 W .对 y W ,总 x D , s . x 与 y 对应,这样就确定了一个以 y 为自变量的函数 x ,称为 y f x 的反函数 ,记作 x y ,也记作 y f 1 x .相对于反函数 y f 1 x ,原先函数 y f x 称为直接函
7、数 . 留意 1单值函数的反函数不肯定是单值函数 ;但当直接函数 y f x 不仅单值且单调时,其反函数 y f 1 x 必为单值函数 . 2 y f x 和 y f 1 x 的图形关于直线 y x 对称 . 四. 初等函数与双曲函数1.基本初等函数1.幂函数 :yx,是常数 . . secx ,ycscx .2.指数函数 :yax,a0 ,a1,特殊地 :yex. 3.对数函数 :ylogax ,a0,a1,特殊地 :ylnx留意 :指数函数与对数函数互为反函数. 4.三角函数 :ysinx,ycosx,ytanx,ycotx ,y5.反三角函数 :yarcsinx ,yarccosx ,y
8、arctanx,yarccotx. 2.初等函数由常数与基本初等函数经过有限次四就运算和有限次复合所构成的并且用一个式子表示的函数 ,称为初等函数 .如ylntanx,ylnx1x2.2都是初等函数 . 3.双曲函数与反双曲函数1.双曲函数名师归纳总结 双曲正弦:shxex2ex,D,奇函数,图形过原点且关于原点对称. 在第 3 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,内,当 x时,shx学习必备x e欢迎下载时, shxy1ex. y1 2,当 x2双曲余弦 :chxex2ex,Dx,偶函数 ,图形关于 y 轴对称 .在,0 内,在0,内
9、. x时,chxy1ex,当 x时, chxy1ex. .在22双曲正切 :thxshxexe,D,.奇函数 ,图形过原点且关于原点对称chxexex,内,且thx1,当 x时 ,thx1; 当 x时, thx1.即y1为thx 的两条水平渐进线. 性质 : sh xyxshxchychxshy,ch xychxchyshshxshy ,ch2x2 sh1 ,sh 2x2shxchx,ch2xch2x2x. 2.反双曲函数反双曲正弦 :yarshxlnx1x2,单值 . ,1 y0 . 反双曲余弦 :,主值xyarchxlnxx21 反双曲正切 :1ln1x x. yarthx21函数举例 :
10、 例 1 设fx 1xx2,求f nx fffx. x名师归纳总结 解f2xffx2fxx f1x2221xx2; 第 4 页,共 33 页1f22x11x例 2 f3x ff2xx2,nx1x2. 13xnx1 xx2设fx x . 1,求fx2解fx1 xx1ftt22,即fxx22. ,2x例 3 设fx x e2,fx1x,且x0,求x 及其定义域 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解fx ex 2,所以fx 学习必备.又欢迎下载0,所以e2x x 由1 得e2x 1xx , 1x0,即x 的定义域为ax0. b对称ab,就fxe2x 1x
11、,1 2x ln 1x ;由2得例 4 设yf,x,的图形关于直线x与x为周期函数 . 即f证明fxf2 axf x 关于xa对称 关于xb对称 f2b2axfxfx2 ba, x为周期函数 . 五.函数的参数表示与极坐标表示1.函数的参数表示把 y 与x的函数关系通过变量t 间接地表示为t 称为参变量,也称为xx t,tDyy t,上式称为 y 与 x 函数关系的参数表示式,也称为此曲线的参数方程,参数;2.函数的极坐标表示 在平面上选取一条具有起始点 O (称为极点)和长度单位的半直线 Ox,称为极轴,这样在此平面上就建立了极坐标系;对平面上任一点 P,将线段OP的长度记为,成为极径, 极
12、轴 Ox 到射线 OP 的转角记作,称为极角; 假如限制 0 2, ,0,那么平面上除极点 O 外任一点 P 便有唯独的有序数组 , 与其对应; 反之, 任给一数组 , ,以 为极角,为极角,必有唯独的点与之对应;因此,我们把 , 称为点 P 的极坐标;名师归纳总结 点 P 的直角坐标x,y与极坐标,之间有如下关系y2第 5 页,共 33 页x,tanx2cosyysinx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次节 数列的极限一. 数列1.数列无限多个数有次序地排成一列x1,x2,xn,第n项x 称为数列的一般项.数列称为数列 ,记为n
13、x.数列中的每一个数称为数列的项xn也可看作自然数n 的函数 : x nfn,nN. 在几何上 ,数列xn也可看作数轴x 上的一系列点 . 2.子数列设数列xn. 在xn中 第一次抽取nx1, 其次次抽取xn2,n2n 1,第 k 次抽取xnk,得新数列,xnk. x1n,xn 2,xn k称为数列nx的子 数列二. 数列的极限 :lim nxnA .1.引例 :刘徽的割圆术 . 2.数列极限的定义设数列xn1.观看当 n 无限增大时 ,数列的项的变化趋势.详细写出来是 : A0,此n,11,1,1,1,1,2345n当 n 无限增大 即要多大就有多大时 ,一般项1 无限接近 要多近就有多近
14、n于常数时称数列1 n的极限为零 ,或数列1收敛于零 .由此有n定义 描述性定义 名师归纳总结 xn当 n 无限增大时, 数列xn与常数 A 无限接近 ,称数 A 为数列xn的极限 ,或称数列第 6 页,共 33 页收敛于 A .记作lim nxnA .,或xnA , n. 下面我们对数列1来详细分析 : n要使1 与 nA0的距离小于1,即10- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1A学习必备0欢迎下载1. 11nnn10就n110,取N10,当n10时,101,即从第 11 项开头 ,全部项与A0的n10距离小于1 10. , 要 使1A1011, 就
15、n100. 取N100, 就 当取1100nnn100nN1 0 0 时, 1 n01,即从第 101 项开头 ,全部项与A0的距离小于1. 100100 名师归纳总结 0 ,要使1An1.取N1,就当nN1时 , 10.即从第 7 页,共 33 页nnN1 项开头 , 全部项与A0的距离小于. 用精确的数学语言,有定义给定数列xn和常数 A :0 ,NN0,当nN时,有xnA成立 ,就称常数 A 为数列xn的极限 ,或称数列xn收敛于常数 A ,记为lim nxnA .,或xnA, n. 假如数列没有极限,就称数列是发散的. 留意1反映了数列xn中项x 与常数 A 的接近程度.由于可以任意小
16、,此时xnA反映了x 与常数 A无限接近 要多近就有多近,不是越来越近 . 2NN反映了数列xn中与常数 A 接近的项的范畴,即从N1项xN1开头 ,所有项与 A 的距离小于.因此 N 是的函数 .一般地 , 越小 ,就 N 越大 . 3 lim nxnA .主要是对于给定的,能够找到一个N,使得xN1,xN2,xn,与 A的距离小于,而前 N 项x 1,x2,xN是否与 A 的距离小于没有任何影响 . 4 N 是否存在才是关键,不必找最小的N . 5 lim nxnA .的几何意义 : 由定义 : 0 ,NN0,当nN时,有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -
17、- - xnAxnA学习必备欢迎下载, ,AUA ,即xN1,xN2,xn,全部落在 A 的邻域内 . A适当例 1 证明lim nnn1 n11. 分析 :由注 3的思路 :0 从不等式xnA解出 n ,从而确定 N . 证明0 ,要使x nAnn1n111n就n1.取N1,就当nN时,有xnA所以lim nnn1n11. 有时 ,由xnA解出 n 是特别麻烦 .由注 4可知 ,此时可将不等式xn放大 不能太大 ,即名师归纳总结 xnAfn g n 放大后gn仍可小于. 第 8 页,共 33 页由gn解出 n ,从而确定 N .就当nN时,有xnAfn gn 故lim nxnA .注:这里的
18、适当放大意思是xnAf ng n 例 2 证明lim nn2na21 . 证明0 ,要使xnAn2na21n2a2nn此时直接解出n 很难 .将xnA适当放大 , xnAn n2a22n a2an- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以na2,取Na2即可 . 学习必备欢迎下载就n或如下放大 : | a|xnAnanann|a|.取N即可 . 三. 收敛数列的性质定理 1极限唯独性定理 假如数列xn,就其极限必唯独. 0.就证明设lim nxnA .nlimxnnB.AB.取B2A. B2A. 由lim nxnA .就N10,当N1时,有xnA由nlim
19、xnB,就N20,当nN2时,有xnBB2A. 取NmaxN1N2,就当nN时 ,有xnAB2A,xnBB2A.解得xnB2A,冲突 . xnB2A.定理 2(有界性)收敛数列必有界.但有界数列不肯定收敛. 证明设lim nxnA .就给定0,N0,当nN时,有xnAx nx nA AxnAAA0, 1不存在 为什么 .见取Mmaxx 1,x2,xN,A0.就对任意的 n ,有xnM即数列xn必有界 . 反之 ,数列1 n1是有界的 由于1n1M1,但lim n1n下面的说明 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - -
20、定理 3(保号性)设lim nanA ,学习必备欢迎下载N,使得nN,恒有A0 A0 ,就anq0 anq0其中 q 为某一正常数;例 3求lim x 2x2x315.2lim x 23xlim x 250 ,.3x解lim x 2x23x5lim x 2xlim x 2x 23lim x 2xlim x 25223253lim x 2x2x315lim x 2x3lim x 2123173xlim x 2x23x533三. 数列极限的有理运算法就定理 4:设lim na nA ,lim nb nB ,就limcanncliman.nn.1 lim na nb nAB ; 2 lima nb
21、nAB ; 3 limanA,其中B.0b nB推论 1 假如liman存在,而c为常数,就常数因子可以提到极限记号外面. 就lim nanlim na推论 2 假如lim na n存在,而n是正整数,四. 数列极限的判定法就1.夹逼准就名师归纳总结 准就假如数列x , nyn及nz 满意以下条件 : 第 10 页,共 33 页1ynx nz nn,123,2 lim nyna ,lim nz na,那末数列x 的极限存在 , 且nlimxna. 证:yna,zna,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0 ,N10 ,N20,使得学习必备欢迎下载当nN
22、1 时恒有y na,当nN2时恒有z n,a,取NmaxN1N2,上两式同时成立, 即ayna,azna,当nN时,恒有aynx nzna,即xna成立,lim nxna .n1n.求lim nn111例 4:2n222解:n11nn2nn21n2nn21又lim nnnnlim n111,12lim nnn1lim n111,1n2n2由夹逼定理得lim n11n12n1n1 .n2222.单调有界准就假如数列xn满意条件x 1x 2x nxn1,就称此数列单调增加;或者x 1x 2x nxn1,称此数列单调削减准就单调有界数列必有极限. 几何说明 : 名师归纳总结 x 1x2x3xnxn1
23、AMx 的极限存在.第 11 页,共 33 页例 5:证明数列xn333n 重根式证:明显xn1xn,xn是单调递增的;33 ,又1x33 ,假定xk,3x k13x k3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xn是有界的;lim nx n存在.学习必备欢迎下载x n13x n,x213xn,Alim n2 x n1lim n3x n,n2 A3A ,解得A1213,113舍去 2五.子数列及其与数列的关系定理 5数列与子数列关于收敛的关系 假如lim nxnA .就其任一子数列xnk必收敛 ,且名师归纳总结 lim kx nkA .第 12 页,共 33
24、 页注1逆否命题 :假如数列xn的某一子数列发散或某两个或两个以上 子数列收敛 ,但极限不同 ,就数列xn必发散 . 例 6 证明数列1n1是发散的 . 证明取两个子列 : 奇子列 :1 2k1,明显lim k12k11 .又偶子列 : 1 2k,明显lim k1 2k1. 由于lim k12k11lim k12k1,所以lim n1n1不存在 . 2假如数列xn的奇子列与偶子列均收敛于同一极限,就数列xn必收敛 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第三节 函数的极限主要争论 :在自变量的某一变化过程中,函数是否与一常数无限接近,即
25、1lim x x 0fx A; 2lim xfx A. 一.自变量趋于变大时函数极限的概念名师归纳总结 lim xfxA.即自变量 x 无限接近时,fx 无限接近于A. . . 第 13 页,共 33 页x包括 x和 x. 定义1设fx当xM时有定义 .,0X0,当xX时,有fx A成立 ,就 A 称为fx当 x的极限 ,记为lim xfxA或fxA ,x2设f x 当xM时有定义 . ,0X0,当xX时,有xfx A成立 , 就 A 称为fx当 x时的极限 ,记为x limfx A或fxA ,3 设fx当xM时有定义 . 0,X0,当xX时,有x. fx A成立 , 就 A 称为fx当 x时
26、的极限 ,记为lim xfx A或fxA ,注:1 lim xfx A的几何意义 : 2 lim xfx Ax limfx x limfx A. 3 lim xfx A,就yA为曲线yf x 的水平渐进线 . 例 1 证明lim xsinx0. x证明0 ,要使fx Asinx0sinx1xxx就x1.取X1,就当xX时,有sinx0x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即lim xsinx0. 学习必备欢迎下载x例 2 求lim xarctan x. ,x limarctanx2,所以lim xarctanx不存在 . 解x lima r c t a
27、n2同理x limarccotx,0x limarccotx,所以lim xarccotx不存在 . 记住 :lim xsinx ,lim xcosx均不存在 .0x 时,fx无限接近于 A . 二. 自变量趋于有限值x 时函数的极限x lim x 0fxA,即自变量 x 无限接近定义名师归纳总结 定义设fx在0x0内有定义 .0,0,当 x0x0,时,有第 14 页,共 33 页UUfxA成立 ,就 A 称为fx当xx0时的极限 ,记作lim x x 0fx A或fx A ,x0x. 注1由极限的定义知,fx当xx0时是否有极限与fx在x 处是否有定义无关. 2反映了fx与 A 的接近程度 .由于0可以任意小 ,故fx与 A 可无限接近 . 30反映了自变量x 与x 的接近程度 . 4给定0,问题是是否存在0.假如存在 ,就当x0x时f x 以 A 为极限 ;否就 , f x 的极限不存在.因此 ,只要确定一个,而不必找出最大的.一般地 ,假如越小 ,就也越小 . 5 的求法是由不等式fx A接出xx0g不是解 x ,取g即可.同数列极限 ,假如fx A解xx0较困难 ,可将f
限制150内