2022年高等数学第一章函数与极限试题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思高等数学第一章函数与极限试题一.挑选题1.设 Fx是连续函数 fx的一个原函数,MN表示“M 的充分必要条件是 N”,就必有（A） Fx是偶函数,fx 是奇函数 . （B） Fx是奇函数fx是偶函数 . （C） Fx是周期函数fx 是周期函数 . （D） Fx是单调函数fx 是单调函数2设函数fx 1就xex11（A） x=0,x=1 都是 fx 的第一类间断点 . （B） x=0,x=1 都是 fx 的其次类间断点（C） x=0 是 fx 的第一类间断点, x=1 是 fx的其次类间断点 . （D） x=

2、0 是 fx 的其次类间断点, x=1 是 fx的第一类间断点 . 3设fx=xx1,x 0,1,就ff11 D）x x = A）1x 1C）B）1xX4以下各式正确选项 名师归纳总结 A）lim x 0 1 +1xx=1B） lim x 0 1 +1 xx=e 第 1 页,共 12 页xC）lim x 11 x=-e D ） lim x 1 +x=e 1 x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思5已知lim xxa ax9,就 a C.ln；D.2ln3；x；3；A.1 ；B.6极限：lim xx1x C.e2；D.

3、e2x1A.1 ；B.；7极限：xlimx332=（）xC.0 ；D.2 A.1 ；B.；8极限：x lim0x1 x1=（）D.2 C1 ；2A.0 ；B.；9. 极限：x limx2xx=（）D.1 2A.0 ；B.；C.2 ；10极限 : x lim 0tan xsin3sin 2 xx=（）D.16 C.1 ；16A.0 ；B.；二. 填空题名师归纳总结 11极限lim xxsinx2x1= . ；第 2 页,共 12 页212. lim x 0arctanx =_. x13. 如yfx在点x 连续,就lim x xfx fx=_14.x lim x0sin5x_；x15.lim n

4、12n_；n16. 如函数yx2x23 x12,就它的间断点是 _17. 肯定值函数fxxx,x0;x0,x0 ;x,x0.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思其定义域是 ,值域是18.符号函数fx,1x0;sgnx0,x0;其定义域是,1x0.,值域是三个点的集合19. 无穷小量 是20. 函数yfx 在点 x0 连续,要求函数y f x 满意的三个条件是三. 运算题21. 求 lim x 0 1 1e xx 1x .22. 设 fe x =3x-2, 求 fx 其中 x0; x 523.求 lim x 2 3 x

5、 x 2 ;24.求 lim x xx 11 x ;2sin x25.求 lim0 tan 2 x x 23 x 26. 已知 limx xx aa x 9,求 a的值；127. 运算极限 lim n 1 2 n3 n n28. f x x 2 lg 5 2 x 求它的定义域；x 129. 判定以下函数是否为同一函数：名师归纳总结 fx sin2xcos2x gx21 第 3 页,共 12 页fxx21gxx1x1fxx12gx x1fxx12gxx1 y ax 2 sat- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思30.

6、已知函数 fxx2-1 ,求 fx+1、ffx2、ff3+2 31. 求lim n3n25n16n24n732. 求lim n1nn233. 求lim nn1n34. 求lim n2n3n2n3n35. 判定以下函数在指定点的是否存在极限名师归纳总结 yxx,1x2x2ysinx ,x200第 4 页,共 12 页1x ,x0xx ,2336. lim x 3 x13y2x3x137.x lim x 3 x 23938.lim x 01x1x39. 求当 x时,以下函数的极限x3x140. 求当 x时,以下函数的极限y2x2x1 141. x3x41.lim x 0sin3xx42.lim x

7、 01cosxx243.lim n11n3n44.lim n112nn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思45.lim x 11xkx46.lim x11xx47.lim x 01kx1x48. 讨论函数在指定点的连续性fx sinx,x0 x0 0 fxx11 ,x 1 x,1x049. 指出以下函数在指定点是否间断,假如间断, 指出是哪类间断点；50. 指出以下函数在指定点是否间断,假如间断,指出是哪类间断点；fx 1,x0, xx0 ,x051. 指出以下函数在指定点是否间断, 假如间断,指出是哪类间断点；名师

8、归纳总结 fx x2,x00,x第 5 页,共 12 页,1x52. 证明 fx x2 是连续函数53.lim x 0ln1xx54. lim x 1x21lnxx155. 试证方程 2x 33x22x30 在区间 1,2至少有一根56.x lim 0tan xsin3sin 2 xx57. 试证正弦函数y = sin x 在 - , + 内连续；58. 函数 f x = x = x,x0；在点 x = 0 处是否连续？0x,x59. 函数f x=xsin 1x0,x0；是否在点x0连续？x0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进

9、,熟读而精思60. 求极限lim x 0ax1.x答案：一.挑选题1.A 【分析 】 此题可直接推证,但最简便的方法仍是通过反例用排除法找到答案 . x【详解 】方法一：任一原函数可表示为 F x 0 f t dt C,且F x f x .当 Fx 为 偶 函 数 时 , 有 F x F x , 于 是 F x 1 F x , 即f x f x ,也即 f x f x ,可见 fx为奇函数； 反过来,如 fxx x为奇函数,就0 f t dt 为偶函数,从而 F x 0 f t dt C 为偶函数,可见A为正确选项 . 方法二： 令 fx=1, 就取 Fx=x+1, 排除B、C; 令 fx=x

10、, 就取 Fx=1 x , 排除D; 故应选 A. 2【评注】 函数 fx 与其原函数Fx的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过 . 请读者摸索 fx 与其原函数 Fx的有界性之间有何关系 . 2. D【分析 】明显 x=0,x=1 为间断点,其分类主要考虑左右极限 . 【详解】由于函数 fx 在 x=0,x=1 点处无定义,因此是间断点 . 且 lim x 0 f x ,所以 x=0 为其次类间断点；x lim1 f x 0,x lim1 f x 1,所以 x=1 为第一类间断点,故应选 D. x【评注】 应特殊留意：limx 1 x x1,limx 1 x x1 . 从而 x lim1 e

11、x 1,x名师归纳总结 lim x 1ex10 .第 6 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3 C4 A5 C 6 C7 A8 Cx时,分母极限为令,不能直接用商的极限法就；先恒等变形,将函数“ 有理化”：原式 = lim x 0 xx 1 x 1 1 x1 1 1 lim x 0 x 11 1 12 .（有理化法 ）9 D10 C解 原式 lim x 0 tan x 2 1x cos3 x lim x 0 x8 12x 3 x 216 1 . 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限,不能在代数

12、和的情形中使用；如上例中如对分子的每项作等价替换,就 错误 ！原式 lim x 0 x2 x x3 0 .二.填空题名师归纳总结 11. 2 ,12第 7 页,共 12 页12. 1 13. 014 . 5e215 . x16. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思17 .,0,18. ,1,01, 无穷小量19 . 在某一极限过程中,以0 为极限的变量,称为该极限过程中的20 . 函数 y f x 在点 x0 有定义； x x0 时极限x lim x 0fx存在；极限值与函数值相等,即x lim x 0fxfx0三

13、. 运算题21 . 【分析】型未定式,一般先通分,再用罗必塔法就x. x1lim x 0xx21xex=lim x 0xx2x1e【详解】lim x 0 11exxx 1e2=lim x 012xxex=lim x 02ex3.22222.f x=3lnx+1 x0 23.3e24. e 225.13;626.ln27. 3 28. 解：由 x2解得 x-2 由 x 解得 x 由 5x解得 x2.5 函数的定义域为 x2.5 x-2 且 x 1或表示为（ 2.5,1 ）（ 1,-2 ）29. 、是同一函数,由于定义域和对应法就都相同,表示变量的名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页

14、,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思字母可以不同；不是同一函数,由于它们的定义域不相同；不是同一函数,由于它们对应的函数值不相同,即对应法就不同； 30. 解：fx+1 x+12-1 x2+2x,315n1ffxfx2-1 x2-12-1 x4-2x2 ff3+2f32-1+2 f10 99 31 . 解：n lim3n25n1n lim3n2n5n1n lim2n 42 n76n24n76n24n76nn2n2lim n35lim n1lim n13001n 1n2 1lim n64lim n7lim n6002111nn23

15、2. 解：lim n12n2nlim nnn1 lim nn2n2n2 2 n2233 . 解：n limn1nn limn1nnnn1n limn1nn limn11n limn lim1n lim10nnn111nn034 . 解：lim n2n3nlim n2n1lim n2nlim n13 23 22n3nn1n limnn lim1013335 . 解：由于lim x 2y2,lim x 2y3,lim x 2ylim x 2y所以 函数在指定点的极限不存在；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,

16、在循序而渐进 ,熟读而精思 由于lim x 0ysin00 ,lim x 0y100,lim x 0ylim x 0y3名师归纳总结 所以 函数在指定点的极限lim x 0y101lim x 01111第 10 页,共 12 页36 . lim x 3x13lim x 3lim x 3133131lim x 3x637 . lim x 3x3lim x 3xx33lim x 3x131x2x93x638 . lim x 01x1lim x 01x1 1x1lim x 0x x 1x1xxx239 . lim x2x3x211lim x211xx3 13xx11x2x3lim x2lim x1l

17、im x12002x 13 x1lim x1lim xlim x1001x2x340. lim x2x2x1lim x211xx 12x 13x3x11x2x32lim x11lim x x 2limx x 121lim x x 3limx x 130000x100lim x141. lim x 0sin3xlim x 0sin3x33x3x42.lim x 01cosxlim x 02sin2x1lim x 0sinx222x24 x 22x22243. =lim n 11neen 1lim n131n44.lim n11n2lim n11n22 enn- - - - - - -精选学习资料

18、 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思45. lim x11kx1lim x11kx1e1kkkkxkx46.lim x11x1lim x11x1e1xx47.lim x 01kx1ke ksinx1kx48解lim x x0fxlim x0x而fx0f01lim x0fxf0函数在x0处连续；49. 间断,函数在 x1 处无定义且左右极限不存在,其次类间断点50. 间断,函数在 x0 处左右极限不存在,其次类间断点51. 间断,limx 0 f x 0 但 f01,两者不相等,第一类间断点52. 证明：x 0, 2 2 2 2由于x limx 0 f x

19、 x limx 0 x x limx 0 x x 0,fx 0=x 0所以 x limx 0 f x f x 0 因此,函数 fxx 2 是连续函数；1 153. 解 : limx 0 ln 1x x limx 0 ln 1 x x ln limx 0 1 x x ln e 1254. 解 : limx 1 xx 1 1ln x limx 1 x 1 ln x 2 0 055 . 证明：设 fx 2x 33x 22x3,就 fx 在1,2 上连续, f1 20 依据零点定理,必存在一点 就 x 就是方程的根； 1,2 使 f 0,名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12

20、页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思56. 原式lim x 0tanx 1cosxlim x 0x1x212 8 x2x331657. 证 x - , + ,任给 x 一个增量 x,对应的有函数 y 的增量 y = sin x + x- sin x = 2 sin 2 x cos x 2 x . 0 y 2 sin 2 x 2 2 x x,由夹逼准就知, y 0（ x0）,再由 x 的任意性知正弦函数 y = sin x 在其定义域- , + 上到处连续,即它是连续函数；名师归纳总结 58. 解留意 f x是分段函数,且点x0两侧 f 表达

21、式不一样；0连续；第 12 页,共 12 页解法 1f 0 - 0 =x lim0x0,f 0 + 0 =x lim 0x0,lim x 0fx0.又 f 0 = 0, 函数 f x = x 在点 x = 0 处连续（图119）；解法 2 x lim0fx x lim0x0f0, 函数在点x0左连续；又x lim0fx x lim0x0f0 , 函数在点x0右连续, 所以函数在点x59.证虽然 f 是分段函数,但点x = 0 两侧函数表达式一样；x lim 0fx lim x 0xsin1 xM00f0,f x在点 x = 0 处连续60.解令 a x 1 = t,就 x = log a 1+t ,当 x 0 时, t0, 原式lim t 0logat t1 lim t 0loga111 t1elna. tloga特殊地,lim x 0exx11,这说明 x 0 时, xe x - 1. - - - - - - -