2022年高考复习函数性质专题之.docx

《2022年高考复习函数性质专题之.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考复习函数性质专题之.docx（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载函数篇 一、考察函数的概念与性质（三要素、图像、奇偶性、对称性、单调 性、周期性）（一）、求函数的定义域（留意含根式函数,对数函数,分式函数的形式）,值域（图像法、单调性法、反函数法、分别系数法、判别式法等等）名师归纳总结 例 1、（20XX 年 1）函数ylg4x的定义域是xx4且x3第 1 页,共 11 页x3（ 二 ）、 如 函 数yfx的 图 像 关 于 直 线xa对 称 , 就 有faxfax或f2ax fx等,反之亦然 .留意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数yfx的图像关于直线xa的对

2、称曲线是函数yf2ax的图像,函数yfx 的图像关于点a,b 的对称曲线是函数y2bf2ax的图像 . 例 2、如函数yfx1 是偶函数,就yfx的图像关于对称. 分析：由yfx1 是偶函数,就有fx1fx1 ,即f1xf1x,所以函数yfx的图像关于直线x1对称 .或函数yfx1 的图像是由函数yfx的图像向右平移一个单位而得到的,yf x1 的图像关于y 轴对称,故函数yfx的图像关于直线x1对称 . 例 3、 如函数yfx满意对于任意的xR有f2xf2x,且当x2时fxx2x,就当x2时fx. 分析：由f2xf2x知,函数yf x 的图像关于直线x2对称,因而有fxf4x 成立 .x2,

3、就4x2,所以fxf4x 4x24x.即x2 时fxx29x20. （三）、如函数yfx满意：fxafxaa0就fx是以2 为周期的函数 .留意：不要和对称性相混淆.如函数yf x 满意：fxa fxa0就fx是以2a为周期的函数 .（留意：如函数f x 满意fxaf1,就fx也是周期函数）x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4、已知函数yfx学习必备x欢迎下载x1 fx成立, 且当x02,满意：对于任意的R有f时,f x 2 x 1,就 f 1 f 2 f 3 f 2006 . 分析：由 f x 1 f x 知：f x 2 f x 1 1 f x

4、 1 f x ,所以函数y f x 是以 2 为周期的周期函数 . f 2006 f 2004 f 2 f 0 1,f 2005 f 2003 f 3 f 1 1,有意原式值为 0. 随堂练习：已知函数满意：f f 2 13, 1 1, 求 2022（四）、奇函数对定义域内的任意 x 满意 f x f x 0；偶函数对定义域内的任意 x 满足 f x f x 0 .留意：使用函数奇偶性的定义解题时,得到的是关于变量 x 的恒等式而不是方程 .奇函数的图像关于原点对称 ,偶函数图像关于 y 轴对称；如函数 y f x 是奇函数或偶函数, 就此函数的定义域必关于原点对称；反之,如一函数的定义域不关

5、于原点对称,就该函数既非奇函数也非偶函数 .如 y f x 是奇函数且 f 0 存在,就 f 0 0；反之不然. 例 5、如函数fx 211a是奇函数,就实数a；x分析：留意到f0 有意义,必有f00,代入得a1.这种特值法在解填空、挑选题时2如能敏捷运用,就事半功倍. 2x3是定义在区间2a,12a上的偶函数,就此函数例 6、如函数fxax2b的值域是. 分析：函数是偶函数,必有2a1 2a0,得a1；又由yf x 是偶函数,因而b2.即fxx23x,33 ,所以此函数的值域为63,. （五）、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一样,偶函数在关于原点对称的区间内增减名师归纳总结 性相反 .如

6、函数yfx的图像关于直线xa对称,就它在对称轴的两侧的增减性相反；第 2 页,共 11 页此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“ 抽象不等式（即函数不等式）” 多用函数的单调性,但必需留意定义域. 例 7、如函数yf x 是定义在区间3 ,3上的偶函数, 且在3 ,0上单调递增, 如实数a满意：f2a1fa2,求a的取值范畴 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：由于yfx是偶函数,f学习必备f欢迎下载等价于不等式f|2 a1|fa2,2a1 a2又此函数在3 ,0上递增,就在03,递减 .所以3|2a1|a2,解得1a12. （六）、判

7、定函数的单调性可用有关单调性的性质 性只能用定义, 不能用关于单调性的任何性质,（如复合函数的单调性） ,但证明函数单调 用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因by ax , a , b 0 式分解 .记住并会证明：函数 x 的单调性 . 1例 8、已知函数 f x axx a 0 在 x ,1 上是单调增函数,求实数a的取值范畴 . y ax b , a , b 0 分析：函数 x 称为“ 耐克” 函数,由基本不等式知：当 x 0 时,函数b b bx x 0 , x , 的最小值是 2 ab,当 a 时等号成立 . a 时,函数递减；a 时,1f x ax a 0 函数递增 .记住此结论在

8、解挑选、填空等小题时用起来比较便利 .函数 x11在 ,1 上递增,就 a,得 a 1 .但如是大题推理就不能这样描述性的说明,必需要按函数单调性的定义有严格的论证 . f x 1 f x 2 x 1 x 2 a 1 任设 x 1x 2 ,1 , 且 x 1 x 2 . x 1 x 2,由函数 f x 是单调1 1a 0 a增 函 数 , 就 f x 1 f x 2 0, 而 x 1 x 2 0, 就 x 1x 2 .所 以 x 1 x 2 对 于11x 1x 2 ,1 , 且 x 1 x 2 恒成立,因 x 1x 2,故 a 1 . 需要说明的是：在考试中如“ 小题大做” 就铺张时间,由于“

9、 小题” 只要结果；而“ 大题小名师归纳总结 做” 就失分,由于“ 大题” 需要严格的论证过程. 第 3 页,共 11 页（七）、要把握函数图像几种变换：对称变换、 翻折变换、 平移变换 .会依据函数yfx的图像,作出函数yfx ,yf|x|,y|fx|,yfxa,yfx a的图像 .（ 注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特殊关注yf|x|,y|fx|的图像 . 例 9、函数fx|log2|2x1|1|的单调递增区间为. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：函数fx |log2|2x1|1学习必备欢迎下载ylog2x的图像经过以下变换

10、得到|的图像是由函数1的：先将函数 y log 2 x 的图像上各点的横坐标缩短到原先的 2（或将函数 y log 2 x 的图像向上平移 1 个单位）得到函数 y log 2 2 x 的图像,再将函数 y log 2 2 x 的图像作关1于y轴对称得到函数 y log 2 | 2 x | 的图像,再将函数 y log 2 | 2 x | 的图像向右平移 2 个单位,得到函数 y log 2 | 2 x 1 | 的图像,再将函数 y log 2 | 2 x 1 | 的图像向下平移 1个单位得到函数 y log 2 | 2 x 1 | 1,最终将函数 y log 2 | 2 x 1 | 1 的图

11、像在x轴下方部分翻折到 x 轴上方得到函数 f x | log 2 | 2 x 1 | 1 | 的图像 .留意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化（特殊是与x 轴的交点不要搞错） ,从图像上可以看出此函数的单调递增区间是11, 与3,. yyfxa|yf|x|yf|xa|与变化过22需要留意的是：函数图像变化过程：程：yfxyfxaf|x不同 .前者是先作关于y 轴对称后平移,而后者是先平移后再作关于直线xa对称 .二、考察一元二次函数（一）、一元二次函数是最基本的初等函数,要娴熟把握一元二次函数的有关性质. .一元二次函数在闭区间上肯定存在最大值与最小值,应会结合二次函数的图像求最值例

12、1、求函数fx x22ax1在区间,13 的最值 . 分析：求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要依据二次函数的对称轴与区间的位置关系分三种情形进行争论,但求开口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要依据区间端点与对称轴之间的距离分两种情形进行争论即可 . 2 2 a a 1 210 6 a a 1 f x min 1 a 1 a 3 f x max2 2 a a 1,10 6 a a 1. （二）、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不行分割的三个学问点 .解一元二次不等式是 “ 利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集” ,可以将一元二次不等式的问题化

13、归为一元二次方程来求解.特殊对于含参一元二次不等式的争论比较便利.仍应当留意的是； 一般地, 不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根） . 名师归纳总结 例 2、已知关于x的不等式| ax3|5的解集是,14 ,就实数a的值为. 第 4 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载.如合理利用方程与不等式之分析：如是从解不等式入手,仍应考虑常数a 的正负进行争论| a 3 | 5间的关系就可快速得到答案：解集端点值 ,1 4 是方程 | ax 3 | 5 的根 .就 | 4 a 3 | 5 得a 2 或 8a 2 或 12,

14、知 a 2 . 2例 3、解关于x的不等式：ax 2 ax 1 0 a R . 分析：第一要留意的是此不等式是否是一元二次不等式 .当 a 0 时,此不等式是恒成立的,2就其解集为 R .当 a 0 时,才是二次不等式 .与其对应的方程为 ax 2 ax 1 0,根判别2a a a式 4 a 24 a .当 0 ,即 a 1 或 a 0 时,方程两根为 x ,1 2a；当0 ,即 a 1 时,方程有等根 x 1；当 0 ,即 0 a 1 时,方程无实根 .结合二2 2a a a a a a , , 次函数的图像知：a 1 时不等式的解集为 a a；当 a 1 时,不等式的解集为 , 1 ,1

15、；当 0 a 1 时,不等式的解集为 R；当2 2a a a a a a , a 0 时,不等式的解集为 a a . 三、考察函数的反函数（一）、求一个函数的反函数必需标明反函数的定义域,反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解,而是求原函数的值域 .求反函数的表达式的过程就是解（关于 x 的）方程的过程 .留意：函数的反函数是唯独的,特殊在开平方过程中肯定要留意正负号的确定 . 2例 1、函数 f x log 2 x 2 x 2 , x , 2 的反函数为. 2 2 y 2 y分析：令 y log 2 x 2 x 2 ,就 x 2 x 2 2 x 1 2 1 .由于 x 2,所以 x 1

16、1,就 x 1 2 y1,x 1 2 y1 .又原函数的值域为 ,1 ,所以原函数的反函数为 f 1 x 1 2 x1 x 1 .（如是从反函数表达式得 2 x1 0 求得x 0 就不是反函数的定义域）. （二）、原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数的图像关于直线yx对称；如函数学习必备f欢迎下载A,值域为C,aA,bC,yx的定义域为就有 f f 1 b b , f 1 f a a . b f a a f 1 b .需要特殊留意一些复合函数的

17、反函数问题 .如 y f x 反函数不是 y f 1 2 x . 例 2、已知函数 y f x 的反函数是 y f 1 x ,就函数 y 2 f 1 3 x 4 的反函数的表达式是. 分析：求函数的反函数是解方程的过程,即用 y 表示 ,x 然后将 x, y 互换即得反函数的表达1 y y 1 y式.由 y 2 f 1 3 x 4 可得 f 3 x 4 2 3 x 4 f 2 x3 f 2 4 .所以1 x函数 y 2 f 1 3 x 4 的反函数为 y3 f 2 4 . x2 , x 0f x 例 3、已知 log 2 x , 2 x 0,如 f 1 a 3,就a . 分析：由 f 1 a

18、3 得 a f 3 ,所以 a 8 . （三）、一条曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于 y 轴的直线至多只有一个交点 . 一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应,反应在图像上平行于x 轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗？（是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数）举例吗？.仍应留意的是：有反函数的函数不肯定是单调函数,你能名师归纳总结 例 4、函数fxx22ax1,（x01, ,34 ）,如此函数存在反函数,就实数a 的取第 6 页,共 11 页值范畴是. 分析： 由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应,平行于

19、x轴的直线与函数的图像至多只有一个交点.又由二次函数fxx22ax1图像的对称轴为直线xa知：a0或a4必存在反函数,0a1或3a4必不存在反函数.当a3,1 时如何争论？留意到函数在区间0 1,上递减,在3 ,4上递增,所以只要f4f1 或f3 f0 即可 .亦即5a3或1a3.综上知,实数a 的取值范畴是0,22,1353,4 ,. 22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四、考察函数的零点和函数与方程思想（一）、留意零点的概念例 1、（2022 上海文数） 17.如 0x 是方程式 lg x x 2 的解,就 x 属于区间 答（）

20、（A ）（0,1）. （ B）（1,1.25）. （C）（ 1.25,1.75）（D）（1.75,2）解析：构造函数 f x lg x x ,2 由 f 1 . 75 f 7 lg 7 1 04 4 4f 2 lg 2 0 知 x 属于区间（ 1.75,2）（二）、争论方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特殊是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有肯定值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必需留意的是作出的图形要尽可能精确：x即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点等）、递增递减的区间、最值等. 例 2、已知函数fx2

21、x,1gxax1,如不等式fxgx的解集不为空集,就实数a的取值范畴是. 分析：不等式fxgx的解集不为空集,亦即函数yfx的图像上有点在函数ygx的图像的上方 . y函数fx2x1的图像是x轴上方的半1 1O 支抛物线,函数gxax1的图像是过点1l201,斜率为a的直线 .当a21时直线与抛物线相切,由图像知：a21.（留意图中的虚线也满意题义）名师归纳总结 例 3、如曲线y2|x|1与直线ykxb没有公共点,就k,b应当满意的条件是. O x分析：曲线y2|x|1是由y2x1 x0与y2x1 x0组成, 它们与y轴的交y点为0 1, 和0,1 ,图像如图（实线部分）.可以看出1 如直线y

22、kxb曲线y2|x|1的图像没有公共点,此-1 直线必与x轴平行,所以k0,1b1. 第 7 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载五、考察函数的最值与恒成立问题（一）、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范畴通常采纳分别参数法,转化为求某函数的最大值（或最小值） ；但是如该参数分别不出来（或很难分别）,那么也可以整体争论函数 y f a , x 的最值 .特殊留意： 双变量问题在求解过程中应把已知范畴的变量作为主变量,另一个作为参数 . 例 1、（1）已知不等式 4 xa 2 x 2 0 对于 x ,1）恒成

23、立,求实数 a 的取值范畴 . x x（2）如不等式 4 a 2 2 0 对于 a 3, 恒成立,求实数 x 的取值范畴 . 分析：（1）由 4 xa 2 x 2 0 得：a 2 x2 2x 对于 x ,1）恒成立,因 2 x 12,所以 2 x 2x 2 2,当 2 x 2 时等号成立 .所以有 a 2 2 . 2（ 2）留意到 4 xa 2 x 2 0 对于 a 3, 恒成立是关于 a 的一次不等式 .不妨设f a 2 x a 4 x2 , 就 f a 在 a 3, 上 单 调 递 减 , 就 问 题 等 价 于f 3 0, 所 以 4 x3 2 x2 0 2 x2 或 2 x1, 就 x

24、 取 值 范 围 为 , 0 ,1 . 六、考察抽象函数性质及其详细背景1、以下四类函数中,个有性质“ 对任意的x0,y0,函数 fx满意f（xy） f（x）f（y）” 的是fxxyC （A）幂函数（B）对数函数（C）指数函数（D）余弦函数解析：此题考查幂的运算性质fx fyaxayaxy2、已知函数fx 满意：f11, 4fx fyfxyfyx yR ,就4f2022=_. 解析：取 x=1 y=0 得f 0 12法一：通过运算f2,f3 ,f4 .,寻得周期为6 法二：取 x=n y=1, 有 fn=fn+1+fn-1, 同理 fn+1=fn+2+fn 名师归纳总结 联立得 fn+2= f

25、n-1 所以 T=6 故f2022=f0= 1第 8 页,共 11 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、函数f x 的定义域为R,如f x学习必备f欢迎下载 D 1与x1都是奇函数,就名师归纳总结 A f x 是偶函数B f x 是奇函数第 9 页,共 11 页C f x f x2D f x3是奇函数解: f x1与f x1都是奇函数,fx1f x1,fx1fx1,函数f x 关于点 1,0 ,及点 1,0 对称,函数f x 是周期T21 14的周期函数 .fx14f x14,fx3f x3,即f x3是奇函数；4、已知定义在R 上的奇函数fx,

26、满意f x4f x ,且在区间 0,2 上是增函数 ,就 .A.f 25f11f80B. f80f11f 25C. f11f80f 25D. f 25f80f11【解析】 :由于f x 满意f x4f x ,所以f x8f x ,所以函数是以8 为周期的周期函数 , 就f25f1 ,f80f0,f 11f3 ,又由于fx在 R 上是奇函数,f00,得f80f0 0,f25f1 f1 ,而由f x4f x 得f 11 f3 f3 f 14 f 1 ,又因 为fx 在区间 0,2 上是增函数,所以f 1 f00,所以f 10,即f 25f80f11,应选 D.5、已知函数f x 是 , 上的偶函数

27、,如对于x0,都有f x2）f x ,且当x0,2时,f x log x1）,就f 2022f2022的值为A 2B1C 1D 2答案： C 【解析】f 2022f2022f0f1log1log21, 应选 C. 226、已知函数fx是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有xfx0 1 1xfx ,就f5的值是C. 1 D. 52B. 1 2A. 2【答案】 A - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】 如 x 0,就有fx11学习必备x欢迎下载1,就有：xxf,取x2f1f1 21 31f1f1 2f511f1（ fx 是 偶

28、函 数 , 就2 12222f1f1）于是,221 20由此得ff5f3 2133 25f3f15111f1 25f10221 232323222七、考察分段函数的有关运算1、已知函数f x log3x x0,就ff 19D-1 41；x 2 ,x0A.4 B. 1 4C.-4 【答案】 B f1 9log312,就ff1 9f 222【解析】依据分段函数可得94log2x x0,0, 如 faf-a,就实数 a 的取值范畴是2、如函数 fx=log 1x,x2（A）（-1 ,0）（ 0,1）（B）（- , -1 ）（ 1,+ ）（C）（-1 ,0）（ 1,+ ）（D）（- , -1 ）（ 0

29、,1 ）【答案】 C 【解析】 此题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类争论思想,属于中等题；由分段函数的表达式知,需要对 a 的正负进行分类争论；a 0 a0A3 B2 Cx21 D0 【答案】 B C；【解析】当x0时,令2x30解得x3；当x0时,令2lnx0解得x100,所以已知函数有两个零点,选【命题意图】此题考查分段函数零点的求法,考查了分类争论的数学思想；4、（ 4）设 fx 为定义在 R 上的奇函数,当x0 时, fx=2 x +2x+bb 为常数 ,就 f-1=A 3 B 1 C-1D-3【答案】 D 5、已知函数f （ x）3 x2,x1, 如 f （f （0） 4a,就实数 a 2 . 1,x2ax x解析： f （ 0）=2,f （f （0）=f2=4+2a=4a ,所以 a=26、定义在 R 上的函数 fx 满意 fx= log 2 1x ,xx0x0,就 f（2022）的值为 fx1f2