2022年高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题概率与统计理科教师版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载概率与统计一、高考猜测 计数原理、概率统计部分是高中数学中使用课时最多的一个学问板块,高考对该部分的 考查分值也较多从近几年的情形看,该部分考查的主要问题是排列组合应用问题,二项式 定理及其简洁应用,随机抽样,样本估量总体,线性回来分析,独立性检验,古典概型,几 何概型,大事的独立性,随机变量的分布、期望和方差,正态分布的简洁应用,在试卷中一 般是 23 个挑选题、填空题,一个解答题,试题难度中等或者稍易估量 20XX 年该部分的 虽然可能显现一些适度创新,但考查的基本点不会发生大的变化计 基本考查方向仍是这样,数原理、概率统

2、计部分的复习要从整体上,从学问的相互关系上进行概率试题的核心是概 率运算,其中大事之间的互斥、对立和独立性是概率运算的核心,排列组合是进行概率运算 的工具,在复习概率时要抓住概率运算的核心和这个工具；统计问题的核心是样本数据的分 布,反映样本数据的方法：样本频数表、样本频率分布表、频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,得到样本数据的方法是随机抽样,在复习统计部分时,要紧紧抓住这些图表和方法,把图表的含义弄清晰,这样剩下的问题就是有关的运算和对统计思想的懂得,如样本均值和 方差的运算,用样本估量总体等二、学问导学 4 解决概率问题要留意“ 四个步骤,一个结合”等可能大事 互斥大事 独立大事：求概率

3、的步骤是：第一步,确定大事性质n次独立重复试验即所给的问题归结为四类大事中的某一种. 其次步,判定大事的运算和大事积大事即是至少有一个发生,仍是同时发生, 分别运用相加或相乘大事. 第三步, 运用公式等可能大事: P Ampnk求解第四步, 答,即给提出的问题有一个明确的答复.n互斥大事：P ABP AP B独立大事：P A BP AP Bn次独立重复试验:P nkCkpk1n要点 2 离散型随机变量的分布列1. 随机变量及相关概念随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - -

4、- - - 用希腊字母、学习必备欢迎下载这样的随机变量叫等表示 . 随机变量可能取的值, 可以按肯定次序一一列出,做离散型随机变量 . 随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量 . 2. 离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地,设离散型随机变量可能取的值为 1x,x , ,ix, ,取每一个值 ix（ i 1,2, ） 的概率 P（ix）= iP,就称下表 . x 1 x 2ixP P1 P2 iP为随机变量 的概率分布, 简称 的分布列 . 由概率的性质可知, 任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）iP 0, i 1,2, ;

5、（2）P 1 P 2 =1. 常见的离散型随机变量的分布列：（2） 几何分布名师归纳总结 在独立重复试验中,某大事第一次发生时所作的试验的次数1是一个取值为正整数的离散第 2 页,共 26 页型随机变量,“k ” 表示在第 k 次独立重复试验时大事第一次发生. 随机变量的概率分布为：1 2 3 k P p qp 2 q pqkp- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载要点 4 抽样方法与总体分布的估量 抽样方法总体分布的估量 由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估量总体的分布,一般地, 样本容量越大, 这种估量就越精确 .

6、总体分布： 总体取值的概率分布规律通常称为总体分 布. 当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示,几何表示就是相应的条形图 . 当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应 样本的频率分布 . 总体密度曲线： 当样本容量无限增大, 分组的组距无限缩小, 那么频率分布直方 图就会无限接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线 . 要点 5 正态分布与线性回来 1. 正态分布的概念及主要性质名师归纳总结 f x 1ex2,xR其中第 3 页,共 26 页222（1）正态分布的概念假如连续型随机变量的概率密度函数为2）. 、为常数,并且0,就称听从正态分

7、布,记为 N （,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 线性回来学习必备欢迎下载. 简洁的说,线性回来就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系 . 不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循. 回来分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法. 它可以供应变量之间相关关系的体会公式. 详细说来,对 n 个样本数据（x y ）,（x 2,y ）, ,n（xn,y ）,其回来直线方程, 或体会公式为：.ybxa . 其中bii1x yinxy,ayb x,nx i2n x 2

8、1其中x, 分别为 |ix | 、|iy | 的平均数 .三、易错点点睛【学问点归类点拨】二项式abn与ban的绽开式相同,但通项公式不同,对应项也不相同,在遇到类似问题时,要留意区分名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、假如3x31n学习必备欢迎下载1的系数是（）2 x的绽开式中各项系数之和为128,就绽开式中x3（A） 7 （B）7（C） 21 （D）21 , 依据二项式通项公式得解析：当x1时3 1312n2n128,n7即3x31712 xrT1Cr3 7rr 1 x2rCr37r 1rx75r75r3,r

9、6时 对 应1, 即3333 x77T 6 16 C 77 6 36 117 3121.故1x3x33 x3 x 项系数为 21. 在求法上也有很大的【易错点 3】二项式系数最大项与绽开式系数最大项是两个不同的概念,差别,在此往往由于概念不清导致出错名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载4 C n2410解析：由题意知, 第五项系数为 C n 42 4,第三项的系数为 C n 2 2 2,就有 C n 22 21,n 8 设 展 开 式 中 的 第 r 项 , 第 r+1 项 , 第 r+2 项 的 系

10、 数 绝 对 值 分 别 为r 1 r 1 r rC 8 2 C 8 2r 1 r 1 r r r 1 r 1 r 1 r 1 r rC 8 2 , C 8 2 , C 8 2,如第 r+1 项的系数肯定值最大,就 C 8 2 C 8 2,解得：15 r 6 系 数 最 大 值 为 T 7 1792x 11由 n 8 知 第 五 项 的 二 项 式 系 数 最 大 , 此 时1T 5 1120 6x . 【易错点 4】对于排列组合问题,不能分清是否与次序有关而导致方法出错；1. 有六本不同的书按以下方式安排,问共有多少种不同的安排方式？名师归纳总结 （1）分成 1 本、 2 本、 3 本三组；

11、1 人 1 本, 1 人两本, 1 人 3 本；第 6 页,共 26 页（2）分给甲、乙、丙三人,其中（3）平均分成三组,每组2 本；2 本；（4）分给甲、乙、丙三人,每人- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （5）学习必备欢迎下载2 C 62 C 4C23 A 3种；在问题（ 3）的基础上,再安排即可,共有安排方式23 A 3【学问点归类点拨】此题是有关分组与安排的问题,是一类极易出错的题型,对于此类问题的关键是搞清晰是否与次序有关,分清先选后排,分类仍是分步完成等,对于平均分组问题更要留意次序,防止运算重复或遗漏；2. 从 5 位男老师和 4 位女老师

12、中选出 3 位老师,派到三个班担任班主任（每班一位班主任）,要求这三位班主任中男、女老师都要有,就不同的选派方法共有（）A、 210 种 B 、420 种 C 、630 种 D 、840 种1 2 2 1解析：第一挑选 3 位老师的方案有： 一男两女； 计 C 5 C 4 30；两男一女： 计 C 5 C =40；3其 次 派 出 3 位 教 师 的 方 案 是 A 3 =6 ； 故 不 同 的 选 派 方 案 共 有3 1 2 2 1A 3 C 5 C 4 C 5 C 4 6 30 40 420 种；3解析：（1）3 个女同学是特别元素,我们先把她们排列好,共有 A 种排法；由于 3 个同学

13、必名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载须排在一起,我们可视排好的女同学为一个整体,在与男同学排队,这时是五个元素的全排5 3 5列,应有 A 种排法；由乘法原理,有 A 3 A 5 720 种不同排法；4（2）先将男生排好,共有 A 种排法；再在这 4 个男生的中间及两头的 5 个空中插入 3 个女3 4 3生,有 A 种方案；故符合条件的排法共有 A 4 A 5 1440 种；2（3）甲、乙 2 人先排好,共有 A 种排法；再从余下的 5 人中选三人排在甲、乙 2 人中间,3 3有 A 种排法,

14、这时把已排好的 5 人看作一个整体, 与剩下的 2 人再排, 又有 A 种排法； 这样,4 2 3总共有 A 4 A 2 A 3 720 种不同的排法；4（4）先排甲、乙、丙 3 人以外的其他四人,有 A 种排法,由于甲、乙要相邻,故把甲、乙2排好,有 A 种排法；最终把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的 4 人的空当中,2 4 2 2有 A 种排法；这样,总共有 A 4 A 2 A 5 960 种不同的排法；4（5）从七个位置中选出 4 个位置把男生排好,有 A 种排法；然后再在余下得个空位置中排4女生,由于女生要按高矮排列；故仅有一种排法；这样总共有 A 种不同的排法；2. 有两排

15、座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现支配 2 人就坐,规定前排中间三个座位不能坐,并且这2 人不左右相邻,那么不同排法的种数（）2 A 种,再加上4 种不能算相A、234 B 、 346 C、350 D 、363 1 A 19解析：把前后两排连在一起,去掉前排中间3 个座位,共有邻的,共有2 A 201 A 192 A 24346种；所以的概率分布为名师归纳总结 P 300 100 100 300 第 8 页,共 26 页0.008 0.096 0.384 0.512 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 依据的概率分布,可得的期望学习必备欢迎

16、下载E3000.0081000.096 100 0.384300 0.512180（2）这名同学总得分不为负分的概率为P 0 0.384 0.512 0.896；【学问点归类点拨】二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列,其概率 P kk 0,1,2, 就是独立重复试验 n 次其中发生 k 次的概率 C P k k1 P n k；但在解决实际问题时肯定看清是否满意二项分布；解析：（1）的全部可能值为0, 1,2,3, 4；用A 表示“ 汽车通过第k 个路口时不停”就名师归纳总结 P A k3k1,2,3,4且A A 2,A 3,A 4独立；故P0PA 13119,第 9 页,共 26 页

17、44P1P A 1A 2313,P2P A 1A 2A 3244164464P3P A 1A 2A 3A 433127,442564 P4P A 1A 2A 3A 434814256从而的分布列为0 1 2 3 P 1392781E4166425625601132932748152541664256256256P31P4181175；（2）256256- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【学问点归类点拨】在正态分布学习必备2欢迎下载为总体的平均数,为总体的标准差,N,中,另外,正态分布N,2在,的概率为268.300,在3 ,3内取值的概率为99.700

18、；解题时,应当留意正态分布N,在各个区间的取值概率,不行混淆,否就,将显现运算失误；四、典型习题导练1、一 笼子中装有 2 只白猫, 3 只黑猫,笼门打开每次出来一只猫,每次每只猫都有可能出来；（）第三次出来的是只白猫的概率；（）记白猫出来完时笼中所剩黑猫数为,试求 的概率分布列及期望；1 2C 2 A 4 23【解析】（）A 5 5（）设笼中所剩黑猫数为,就：=0,1,2,3,其概率分布列如下：0 1 2 3 P 1 4 1 2 3 1 1 2 2C 2 A 4 2 C C 2 3 A 3 3 C C 2 3 A 2 1 A 2 15 4 3 2A 5 5 A 5 10 A 5 5 A 5

19、103 4 3 10E = + + = =110 10 10 102、深圳市某校中同学篮球队假期集训,集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球（即没有用过的球）, 3 个是旧球（即至少用过一次的球）每次训练,都从中任意取出 2 个球,用完后放回（）设第一次训练时取到的新球个数为,求 的分布列和数学期望； （）求其次次训练时恰好取到一个新球的概率名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）设“ 从6 个球中任意取出学习必备欢迎下载B 2 个球,恰好取到一个新球” 为大事就“ 其次次训练时恰好取到一个新球”就是大事A 0

20、BA 1BA2B而大事A0B、A1B、A2B互斥,名师归纳总结 所以,P P A 0 BA 0B PA 1 BA 0 P A 2 B B | A 0）1 PA C 3 B C 3 1P 1 A 1B 33 PA 2B由条件概率公式,第 11 页,共 26 页52 C 65525, 9 分得P A 1B PA 1PB|A 1）31 C 2C1388, 10 分452 C 651525P A 2B P A 2PB|A 2）11 1C 1 C 5111 11 分52 C 65315所 P A 0以 B,A 1B第二 A 2 B 次 3训8练1 时15恰 38好取到一个新球的概率为252575 12

21、分3、黄山风景区某旅行超市销售不同价格的两种纪念品, 一种单价 10 元, 另一种单价15 元, 超市方案将这两种纪念品共4 件（两件 10 元,两件 15 元）在超市入口和出口处展出销售, 假设光顾该超市的一位游客随机的从这两处选购纪念品, 且选购单价10 元和 15 元的纪念品是等可能的 . （）如每处各展出一件10 元的纪念品和一件15 元的纪念品 , 就该游客只选购了一件纪念品且单价为15 元的概率是多少.（） 如每处至少展出一件纪念品, 记该游客只选购了一件纪念品且单价为15 元的概率为P , 怎样安排展出能使P 的值最大 .并求出 P 的最大值；（）如每处随机的各展出两件纪念品,

22、该游客从这两处各选购了一件纪念品, 记该游客选购纪念品的消费总金额为X 元, 求随机变量X 的分布列 , 并求出 X 的数学期望 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、盒中有大小相同的编号为学习必备欢迎下载1 元,从盒中1,2,3,4,5,6 的六只小球,规定：摸一次需摸出 2 只球,假如这 2 只球的编号均能被 3 整除,就获一等奖,奖金 10 元,假如这 2 只球的编号均为偶数,就获二等奖,奖金 2 元,其他情形均不获奖 如某人摸一次且获奖,求他获得一等奖的概率； （）如有 2 人参与摸球嬉戏,按规定每人摸一次,摸后放回,2 人共获奖金 X元,

23、求 X的分布列及期望名师归纳总结 【解析】 设摸一次得一等奖为大事A,摸一次得二等奖为大事PPA 11,第 12 页,共 26 页C2 615B,就P B2 C 31C2 6511441某人摸一次且获奖为大事AB,明显 A、B 互斥所以PAB15515PA 1PA|ABAB15154故某人摸一次且获奖,他获得一等奖的概率为：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【解析】 设同学“ 跳高得 大事N,A ,跳远得 B ” 记为大事 M , “ 跳高得 B ,跳远得 A ” 记为就P M111,P N111（2 分）所以该同学恰好得到一个A 和

24、一个 B 的概率326248为名师归纳总结 P MP N117；（4 分）7230 ；（12 分）第 13 页,共 26 页6824（）由题意,的全部可能取值是10, 15,20,20,25,30；而P10111,P 15111156424622424P201111113,P 25P MP N643422824P30111（8 分）就的分布列为341210 15 20 25 P1537124248243012的数学期望为E10115520925712524242424246- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载6、某电视台有 A、B两种智

25、力闯关嬉戏,甲、乙、丙、丁四人参与,其中甲乙两人各自独立进行嬉戏 A,丙丁两人各自独立进行嬉戏 B. 已知甲、乙两人各自闯关胜利的概率均为,丙、丁两人各自闯关胜利的概率均为 . 求嬉戏 A被闯关胜利的人数多于嬉戏 B被闯关胜利的人数的概率；（）记嬉戏 A、B 被闯关胜利的总人数为,求 的分布列和期望 . 7、盒内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色球, 3 个白色球, 4 个黑色球 . 规定取出 1 个红色名师归纳总结 球得 1 分,取出 1 个白色球得 0 分,取出 1 个黑色球得 1 分 . 现从盒内任取3 个球（）求第 14 页,共 26 页取出的 3 个球中至少有一个红球的概率；（

26、）求取出的 3 个球得分之和恰为1 分的概率；（）设为取出的 3 个球中白色球的个数,求的分布列和数学期望. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8、如图 3,学习必备欢迎下载1,1,2,2,3,4 . A B 两点之间有 6 条网线连接,它们能通过的最大信息量分别为名师归纳总结 从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量, , 1B设这三条网线通过的最大信息量之和为1（）当6 时, 就保证线路信息畅通, 求线路信息畅通的概率; 2（）求的分布列和数学期望. A2 本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等学问考查或然与必第 15 页,共

27、 26 页然的数学思想方法,以及数据处理才能、运算求解才能和应用意识 4【解析】（）从6 条网线中随机任取三条网线共有C320种情形 1 分图 361 141236 , P611 1C C 21 2 分3 C 641242237 , P71 1C C 211 3 分3 C 64 1342248 , P81 C 213. 4 分3 C 620 2349, P91 C 21. 5 分3 C 610- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P6P6P7学习必备8欢迎下载911313PP4420104 . 9、乒乓球单打竞赛在甲、乙两名运动员间进行,竞赛采纳7 局 4

28、 胜制（即先胜4 局者获胜,竞赛终止）,假设两人在每一局竞赛中获胜的可能性相同.（）求甲以 4 比 1获胜的概率；（）求乙获胜且竞赛局数多于5局的概率；（）求竞赛局数的分布列. 1【解析】（）：由已知,甲、乙两名运动员在每一局竞赛中获胜的概率都是2 1 分记“ 甲以 4 比 1获胜” 为大事A ,就P A 3 C 13 1 24 311 4 分228（）：记“ 乙获胜且竞赛局数多于5 局” 为大事 B . 由于乙以 4 比 2 获胜的概率为P 13 C 13 1 25 315, 6 分乙以 4 比3获胜的概率为P 23 C 13 1 26 315,223222327 分 8 分所以P BP 1

29、P 2516（）解：设竞赛的局数为X ,就 X 的可能取值为4,5,6,7 P X44 2C 141, 9 分P X53 1 3 12C 2 24 311, 10 分2824P X63 2C 13 15 215, 11 分P X73 1 32C 216 315 12222162216分 竞赛局数的分布列为：名师归纳总结 X4567 13 分第 16 页,共 26 页P1155841616- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P0C0102416; 学习必备欢迎下载1112332; P1C4433813381名师归纳总结 P20C21222248;P3C31

30、3218; 第 17 页,共 26 页443381273381P4C414201 11 分 随机变量的分布列为：12 分43381. 0 1 2 3 4 P16328818181278181 所以E16 81132 8122438414 13 分8181813- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载11、20XX年 2 月份,从银行房贷部门得到好消息,首套住房贷款利率将回来基准利率 . 某大 型银行在一个星期内发放贷款的情形统计如下列图：求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限（取过剩近似整数值） ；从本周内该银行所借 贷客户中任意选取两位

31、,求他们贷款年限相同的概率；假设该银行此星期的贷款业绩一共连续10 个星期不变,在这段时间里,每星期都从借贷客户中选出一人,记表示其中贷款年限不超过20 年得人数,求E . 【 命题意图 】本小题主要考查统计与概率的相关学问,详细涉及到统计图的应用、二项分布以及数学期望的求法 .【解 析】 平 均 年 限10 10 15 10 20 25 25 20 30 15n 22 年 . 4 分 802 2 2 2 2P C 10 C 10 C 252 C 20 C 15 137所求概率 C 80 632 . 8 分 9 9 45由条件知 B 10, ,所以 E 10 . 12 分 16 16 812、

32、为增强市民节能环保意识,某市面对全市征召义务宣扬理想者现从符合条件的 500 名理想者中随机抽取 100 名理想者,他们的年龄情形如下表所示（）频率分布表中的、位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）,再依据频率分布直方图估量这 500 名理想者中年龄在 30 ,35 岁的人数；（）在抽出的 100 名理想者中按年龄再采纳分层抽样法抽取 20 人参与中心广场的宣扬活动,从这 20 人中选取 2 名理想者担任主要负责人,记这 2 名理想者中“ 年龄低于 30 岁” 的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望分组（单位：岁）频数 频率【解析】（）处填 20,处填 0.35 ；补全频率

33、分布直方图如下列图名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 依据频率分布直方图估量这学习必备欢迎下载500 0.35 175 500 名理想者中年龄在30 ,35 的人数为（4 分）13、某高校在20XX年的自主招生考试成果中随机抽取100 名同学的笔试成果,按成果共分五组,得到频率分布表如下表所示；（1）恳求出位置相应的数字,填在答题卡相应位置上,并补全频率分布直方图；（2）为了能选出最优秀的同学,高校打算在笔试成果高的第3、4、5 组中用分层抽样的方法名师归纳总结 抽取 12 人进入其次轮面试,求第3、4、5 组中每

34、组各抽取多少人进入其次轮的面试；假定考第 19 页,共 26 页生“XXX” 笔试成果为178 分,但不幸没入选这100 人中,那这样的挑选方法对该生而言公正吗？为什么？（3）在（ 2）的前提下,学校打算在12 人中随机抽取3 人接受“ 王教授”的面试, 设第 4 组中被抽取参与 “ 王教授”面试的人数为,求的分布列和数学期望- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载0.3； 【解析】（1）由题意知,5组频率总和为 1,故第3组频率为0.3,即处的数字为1 分总的频数为100,因此第4组的频数为20,即处数字为20 2 分频率分布直方图如下：3012=6人,第（2）第3 4 5、组共 60 名同学,现抽取 12人,因此第 3 组抽取的人数为：604 组抽取的人数为：2012=4人,第 5组抽取的人数为：1012=2人. 6060 7 分公正：由于从全部的参与自主考试的考生中随机抽取100 人,每个人被抽到的概率是相同的. 8 分（只写“ 公正” 二字,不写理由,不给分）名师归纳总结 （3）的可能取值为0 1 2 3.P303 C 8141P12 1C C 4281 12 分第 20 页,共 26 页3 C 12553 C 1255P 21 2C C 412P3 C 41 11 分12 55313 C