2022年高考数学一轮复习精品学案――直线与圆的位置关系.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载20XX年高考数学一轮复习精品学案（人教版 A 版）直线、圆的位置关系一【课标要求】1能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2探究并把握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离；3能依据给定直线、圆的方程,判定直线与圆、圆与圆的位置关系；4能用直线和圆的方程解决一些简洁的问题；5在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想；二【命题走向】本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关 系（特殊是弦长问题） ,此类问题难度属于中等,一般以挑选题的形式显现,有时

2、在解析几何中也会显现大题,多考察其几何图形的性质或方程学问 .猜测 20XX 年对本讲的考察是：（1）一个挑选题或一个填空题,解答题多与其它学问联合考察；（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系,注 重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；（3）本讲的内容考察了同学的懂得才能、规律思维才能、运算才能 .三【要点精讲】1直线 l1与直线 l2的的平行与垂直（ 1）如 l1, l2 均存在斜率且不重合： l1/l 2l1:k 1=k2； l1l2k1k2=1；A2xB2yC20（ 2）如A 1xB 1yC 10,l2:如 A1、 A2、B1、B2都不为零；名师归纳

3、总结 l1/l 2A 1B 1C1；:两条第 1 页,共 13 页A 2B2C2l1l2A1A2+B1B2=0；l1 与 l2 相交A 1B 1；A 2B2l1 与 l2 重合A 1B 1C1；A2B2C2留意： 如 A2 或 B2 中含有字母, 应留意争论字母=0 与0 的情形； 两条直线的交点直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数.0,距离（1）两点间距离：如Ax1,y1,Bx2,y2,就ABx 2x 12y2y 12特殊地：AB/x轴,就 AB|x 1x2|、AB/y轴,就 AB|y 1y2|；（ 2 ） 平 行 线 间 距 离 ： 如l1:AxByC10 ,l2:

4、AxByC2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就：dC12C22学习必备欢迎下载.；留意点： x,y 对应项系数应相等AB（ 3）点到直线的距离：P x,y,l:AxByC0,就P 到 l 的距离为：dAxAByB2Cb2r2的位置关系有三种23直线AxByC0与圆xa2y（1）如dAa2 ABbC,dr相离0；B2（2）dr相切0；AxByC0F0求解,通过解（3）dr相交0；仍可以利用直线方程与圆的方程联立方程组x2y2DxEy的个数来判定：（1）当方程组有 2 个公共解时（直线与圆有 2 个交点）,直线与圆相交；（2）当方程组有且只有 1 个公共

5、解时（直线与圆只有 1 个交点）,直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点）,直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为 ,圆心 C 到直线 l的距离为 d,就直线与圆的位置关系满意以下关系：相切d=r 0；相交d0；相离dr 0；4两圆位置关系的判定方法名师归纳总结 设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1, r2,O 1O 2d；第 2 页,共 13 页dr 1r2外离4条公切线；dr 1r2外切3 条公切线；r 1r 2dr 1r 2相交2 条公切线；dr 1r2内切1 条公切线；0dr 1r2内含无公切线；- - - - - - -精选

6、学习资料 - - - - - - - - - 外离学习必备欢迎下载外切相交内切内含判定两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判定公共解的个数来解决 .四【典例解析】题型 1：直线间的位置关系例 1（全国文15）已知圆 O：x2y25和点 A（1,2）,就过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于1【解析】 由题意可直接求出切线方程为 y-2= x-1,即 x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的2截距分别是 5 和 5 ,所以所求面积为 1 55 25；2 2 2 4【答案】254【总结点评】 此题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关系等学问,数形结合与分类争论的思想方法,以

7、及定性地分析问题和解决问题的才能 .（2）已知两条直线 l 1 : ax 3 y 3 0, l 2 :4 x 6 y 1 0. 如 l 1 / l ,就 a _ _；解析：（ 1）答案：1；（2）2；2点评：（1）三点共线问题借助斜率来解决,只需保证 k AB k AC；（2）对直线平行关系的判定在一般式方程中留意系数为零的情形；名师归纳总结 例 2已知两条直线yax2和ya2x1相互垂直,就a 等于（）第 3 页,共 13 页A2B1C0D1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）（2007 安徽理, 7）如曲线y4 x 的一条切线

8、 l 与直线x4y80垂直,就 l 的方程为（）x4A 4xy30Bx4y50C 4xy30Dx4y30解析：（1）答案为 D；（2）与直线x4y80垂直的直线 l 为 4xym0,即y在某一点的导数为4,而y43 x ,所以y4 x 在 1 , 1 处导数为4,此点的切线为4xy30,应选 A；点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系,不存在两种情形；题型 2：距离问题同时兼顾到斜率为零和例 3将直线 2 x y 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x 2y 22 x 4 y 0相切,就实数 的值为（）（A） 3 或 7 （B） 2 或 8 （ C）0 或 10

9、（ D）1 或 11【思路点拨】 此题考查了平移公式、直线与圆的位置关系,只要正确懂得平移公式和直线与圆相切的充要条件就可解决 .【正确解答】由题意可知：直线 2 x y 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位后的直线 l 为：2 x 1 y 0 .已知圆的圆心为 O 1,2,半径为 5 .解法 1：直线与圆相切,就圆心到直线的距离等于圆的半径,因而有名师归纳总结 | 2 1 12|5,得3或 7.第 4 页,共 13 页5解法 2：设切点为C x y ,就切点满意2x1y0,即y2x1,代入圆方程整理得：5x224 x240, （*）由直线与圆相切可知, （* ）方程只有一个解,因而有0,得3或

10、 7.解法3：由直线与圆相切,可知COl ,因而斜率相乘得1,即y221,又由于x1C x y 在圆上,满意方程x2y22x4y0,解得切点为 1,1或 2,3 ,又C x y , 在直线 2x1y0上,解得3 或 7.（2）（湖北文 14）过原点 O 作圆 x 2+y2-6x8y20=0 的两条切线,设切点分别为P、Q,就线段 PQ的长为；【解析】可得圆方程是x32y425又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得PQ4.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4； 圆、向量与三角函数学习必备欢迎下载设 A、B 为圆x2y21上两点, O为坐标原点（

11、A、O、B 不共线）的值 .（）求证：OAOB与OAOB垂直 .（）当xOA4,xOB,4,4,且OA OB3时. 求 sin5解：（）由|OA| |OB| 1 得|OA2 |OB2 |1就OA2OB21OA2OB20OAOB OAOB0就 OAOB与OAOB垂直（）由xOA4得OAcos4,sin4又xOBOBcos ,sin由OA OB3得cos4cossin4sin355即cos43544042sin445sinsin44sin4cos4cos4sin4 =23242252510点评：该题全面综合明白析几何、平面几何、代数的相关知 识,充分表达了“ 留意学科学问的内在联系”.题目的设计新

12、奇脱 俗,能较好地考查考生综合运用数学学问解决问题的才能 .比较深 刻地考查明白析法的原理和应用,以及分类争论的思想、方程的 思想；该题对思维的目的性、规律性、周密性、敏捷性都进行了名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 不同程度的考查学习必备欢迎下载. .对运算、化简才能要求也较高,有较好的区分度题型 3：直线与圆的位置关系例 5（2022 江苏卷 18）（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xoy中,已知圆 C 1: x 3 2 y 1 24 和圆 C 2 : x 4 2 y 5 24 . （1）如直线 l 过点

13、 A 4,0,且被圆 C 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程；（2）设 P 为平面上的点,满意：存在过点 P 的无穷多对相互垂直的直线 1l 和2l ,它们分别与圆 C 和圆 C 相交,且直线 1l 被圆 C 截得的弦长与直线 2l 被圆 C 截得的弦长相等,试求全部满意条件的点 P 的坐标 . 解 1设直线 l 的方程为：y k x 4,即 kx y 4 k 0由垂径定理,得：圆心 C 到直线 l 的距离 d 4 2 2 3 21,2结合点到直线距离公式,得：| 3 k2 1 4 | 1,k 1化简得：24 k 27 k 0, k 0, or k 724求直线 l 的方程为：y 0

14、或 y 7 x 4,即 y 0 或 7 x 24 y 28 0242 设点 P 坐标为 m n ,直线 1l 、2l 的方程分别为：1 1 1y n k x m , y n x m ,即：kx y n km 0, x y n m 0k k k由于直线 1l 被圆 C 截得的弦长与直线 2l 被圆 C 截得的弦长相等,两圆半径相等；由垂径定理,得： ：圆心 C 到直线 1l 与 C 直线 2l 的距离相等；故有：| 3 k 1 n km | | 4k 5 n 1k m |,2k 1 12 1k化简得： 2 m n k m n 3, 或 m n 8 k m n 52 m n 0 m-n+8=0关于

15、 k 的方程有无穷多解,有：m n 3 0 , 或 m+n-5=0解之得：点 P 坐标为 3 13 , 或5 , 1 ；2 2 2 2例 6已知圆 M：（xcos ）2（ ysin ）（A）对任意实数 k 与 ,直线 l 和圆 M 相切；21,直线 l：ykx,下面四个命题：（B）对任意实数 k 与 ,直线 l 和圆 M 有公共点；（C）对任意实数,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切；（D）对任意实数 k,必存在实数,使得直线 l 与和圆 M 相切 . 其中真命题的代号是 _（写出全部真命题的代号）解析：圆心坐标为（cos ,sin ）|k cossin |1k |sin 2（ ）

16、|d1k 21k 2|sin（ ）| 1应选（ B）（D）名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载点评：该题复合了三角参数的形式,考察了分类争论的思想；题型 4：直线与圆综合问题例 7（江西理16）设直线系M:xcosy2sin102 ,对于以下四个命题：A M 中全部直线均经过一个定点B 存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上C对于任意整数 n n 3,存在正 n 边形 ,其全部边均在 M 中的直线上DM中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出全部真命题的代号）【 解 析 】 因

17、 为 x c o s y 2 s i n 所 以 点 P 0 , 2 到 M 中 每 条 直 线 的 距 离1d 2 2 1cos sin2 2即 M 为圆 C : x y 2 1 的全体切线组成的集合 ,从而 M 中存在两条平行直线 , 所以 A 错误；又由于 0, 2 点不存在任何直线上 ,所以 B 正确；对任意 n 3 ,存在正 n 边形使其内切圆为圆 C ,故 C 正确；M 中边能组成两个大小不同的正三角形 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】B CABC和 AEF ,故 D 错误 , 例 8（江西理16）设直线系M:xcosy2sin102 ,对于以下四个命题：AM中全部直线均经

18、过一个定点 B 存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上C 对于任意整数n n3,存在正 n 边形 ,其全部边均在 M 中的直线上D M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是2y （写出全部真命题的代号）【 解 析 】 因 为xc o s2 s i n所 以 点P 0 , 2 到 M 中 每 条 直 线 的 距 离d2 cos1sin211的全体切线组成的集合,从而 M 中存在两条平行直线, 即 M 为圆 C :x2y2所以 A 错误；名师归纳总结 又由于 0, 2 点不存在任何直线上,所以 B 正确；第 7 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - -

19、 - - - - - - 对任意n3学习必备欢迎下载,存在正 n 边形使其内切圆为圆C ,故 C 正确；M 中边能组成两个大小不同的正三角形 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】B CABC和 AEF ,故 D 错误 , 例 9（江西理16）设直线系M:xcosy2sin102 ,对于以下四个命题：A M 中全部直线均经过一个定点B 存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上C 对于任意整数n n3,存在正 n 边形 ,其全部边均在 M 中的直线上DM中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是2y （写出全部真命题的代号）【 解 析 】 因 为xc o s2 s i n所 以 点

20、P 0 , 2 到 M 中 每 条 直 线 的 距 离d2 cos1sin211的全体切线组成的集合,从而 M 中存在两条平行直线, 即 M 为圆 C :x2y2所以 A 错误；又由于 0, 2 点不存在任何直线上 ,所以 B 正确；对任意 n 3 ,存在正 n 边形使其内切圆为圆 C ,故 C 正确；M 中边能组成两个大小不同的正三角形 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】B CABC和 AEF ,故 D 错误 , 例 10已知函数fx=x21x1的图像为 C1,曲线 C2 与 C1 关于直线 y=x 对称；（ 1）求曲线 C2 的方程 y=gx；（ 2）设函数 y=gx的定义域为M ,

21、x1,x2M ,且 x1 x2,求证 |g x1gx2| x1 x2|; （ 3）设 A、B 为曲线 C2 上任意不同两点,证明直线 AB 与直线 y=x 必相交；解析：（ 1）曲线 C1和 C2 关于直线 y=x 对称,就 gx为 fx的反函数；y=x 21, x 2=y+1,又 x1, x=y1,就曲线 C2的方程为 gx= x1x0；（2）设 x1,x2M,且 x1 x2,就 x1x2 0；又 x10, x2 0,|g x1 gx2|=| 1x12x1|=x1x1x 221x 12x2| x1x2| ；1x（3）设 Ax1,y1、B（x2,y2）为曲线 C2上任意不同两点,由（ 2）知,

22、 |k AB|=|y 1y2|=|gx1gx2|1 x 1x2|x 1x 2|x1,x2M ,且 x1 x2,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载直线 AB 的斜率 |k AB| 1,又直线 y=x 的斜率为 1,直线 AB与直线 y=x 必相交；点评：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入手来处理,的对应关系 . 题型 6：轨迹问题最终转化为点的坐标之间名师归纳总结 例 11已知动圆过定点p,0,且与直线xp相B第 9 页,共 13 页22切,其中p0；yA（I ）求动圆圆心 C 的轨迹的方程；N

23、oMFp,0x（II ）设 A、B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点,直线 OA 和 OB 的倾斜角分别为和,当,变化且2为定值0 时,证明直线AB 恒过定点,xp并求出该定点的坐标；2解析：（ I ）如图,设 M 为动圆圆心,p,0为记为2F ,过点 M 作直线xp的垂线,垂足为N ,由题意知：MFMN 即动点 M 到定2点 F 与定直线xp的距离相等,由抛物线的定义知,点M 的轨迹为抛物线,其中2Fp,0为焦点,xp为准线,所以轨迹方程为y22px P0；22（II ）如图, 设A x y 1 1,B x 2,y 2,由题意得x 1x （否就）且x x20所以直线 AB 的斜率存在

24、, 设其方程为ykxb ,明显x 12 y 1,x 22 y 2,将 ykx b与2p2py22px P0联立消去x, 得2 k y2p y 2p b 由韦达定理知y 1y 22p,y 1y 22pbkk（1）当2时,即2时, tantan1所以y 1y21,x x2y y 20,x 1x22 y y2 2y y 120所以y y242 p 由知：2pb4p2所以；因此直线AB 的方程可表示为4p2kykx2Pk ,即k x2 y0,所以直线 AB 恒过定点2 ,0；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）当2时,由学习必备欢迎下载,得 tantan

25、=tan 1 tantan=2 p y 14y2,2p2pk ,tany y2p2将式代入上式整理化简可得：tanb2p,所以b2pktan此时, 直线 AB 的方程可表示为ykx2p2pk 即k x2 y2p0,tantan所以直线 AB 恒过定点2 ,2p；,当2时直线 AB 恒tan所以由 （1）（2）知,当2时,直线 AB 恒过定点2 ,0过定点2 ,2p；tan点评：该题是圆与圆锥曲线交汇题目,考察了轨迹问题,属于难度较大的综合题目；例 12如图,圆O 与圆O 的半径都是1, 1 O O24. 过动点 P 分别作圆O 、圆 2O 的切线 PM 2,PN（ M,N分别为切点） ,使得P

26、M2PN . 试建立适当的坐标系,并求动点P 的轨迹方程 .解析：以O O 的中点 O 为原点,O O 所在直线 1 2为 x 轴 , 建 立 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 , 就O1 2 0, ,O22 0, ；,. 由已知PM2PN ,得PM22PN2；由于两圆半径均为1,所以PO2 112PO2 21；设P x,y,就x22y212x22y21即x62y233 或x2y212x30 ；点评：本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算才能题型 7：课标创新题例 13已知实数x、 y 满意x22y1 21,求zy1的最x大值与最小值；x2 2y1上1 2解析：y 1 表示过点

27、 A（ 0,1）和圆x的动点（ x, y）的直线的斜率；如下图,当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载和最小值 . 设切线方程为 y kx 1,即 kx y 1 0,就 | 2k k2 21 | 1,解得 k 43 7；因此,z max 4 7,z min 4 73 3点评： 直线学问是解析几何的基础学问,敏捷运用直线学问解题具有构思奇妙、直观性强等特点,对启发思维大有裨益；下面举例说明其在最值问题中的奇妙运用 . 例 14设双曲线 xy 1 的两支分

28、别为 C 1、C 2,正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上；如 P 1,1 在 C2上, Q、R 在C1上,求顶点 Q、R 的坐标 . 分析：正三角形 PQR中,有 PQ PR QR , 就以 P 1,1 为圆心, PR 为半名师归纳总结 径的圆与双曲线交于R、Q 两点；第 11 页,共 13 页依据两曲线方程可求出交点Q、R坐标 . 解析：设以P为圆心, PRr r0 为半径的圆的方程为：x12y12r2 ,由x12y12r2得： x21r21x10 ；（其中,可令xy1tx1 进行换元解之）x设 Q、R 两点的坐标分别为x 1,y 1,x2,y 2,就x 1x 21r21 1；x x

29、2即 x 1x 22x 1x 224x x 2r21124 ,同理可得：y 1y 22r21124 ,且 因 为 PQR 是 正 三 角 形 , 就PQ2QR2r2,即 r2x 1x22y1y222r21124,得 r224 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 代入方程 x21r21x1学习必备欢迎下载10 ；0 ,即 x24 x由方程组x24x10,得：x 123或x223,对一y123y223xy1所以,所求Q、 R的坐标分别为23,23,23,23点评： 圆是最简洁的二次曲线,它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用；些数学问题,如能作一个帮助

30、圆,可以沟通题设与结论之间的关系,从而使问题得解,起到铺路搭桥的作用 . 五【思维总结】1关于直线对称问题：（1）关于 l ：Ax By C 0 对称问题：不论点,直线与曲线关于0l 对称问题总可以转化为点关于l 对称问题,由于对称是由平分与垂直两部分组成,如求P（x0 ,y0）关于l ：Ax By C 0 对称点 Q（x1 ,y1）有y0y 1A（ 1）与 ABx2x 1By02y 1x 0x 1C 0；（2）解出 x1 与 y1 ；如求 C1 ：曲线 f（x ,y） 0（包括直线）关于 l ：Ax By C1 0 对称的曲线 C2 ,由上面的 （1）、（2）中求出 x0 g1（x1 ,y1

31、）与 y0 g2（x1 ,y1）,然后代入 C1 ：f g1（x1 ,y1）,g2（x2 ,y2）0,就得到关于 l 对称的曲线 C2 方程： f g1（x ,y）,g2（x ,y）0；（3）如 l ：Ax By C 0 中的 x , y 项系数 | A| 1,| B | 1就可以用直接代入解之,特殊是挑选填空题； 如曲线 C1 ：y 2 4 x 2 关于 l ：x y 40 对称的曲线 l2 的方程为： x 4 2 4（y 4） 2即 y 用 x 4 代, x 用 y 4 代,这样就比较简洁了 . （4）解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决 . 点与圆位置关系：P（ x0 ,y

32、0）和圆 C ：x a 2 y b 2 r 2；点 P 在圆 C 外有 x0 a 2 y0 b 2 r 2；点 P 在圆上： x0 a 2 y0 b 2 r 2；点 P 在圆内： x0 a 2 y0 b 2 r 2 ；3直线与圆的位置关系：0；l ：f1（x ,y） 0圆 C ：f2（x ,y） 0 消 y 得 F（ x2）名师归纳总结 （1）直线与圆相交：F（x ,y） 0 中 0；或圆心到直线距离d r ；第 12 页,共 13 页直 线 与 圆 相 交 的 相 关 问 题 ： 弦 长 | AB|1k2| x1 x2|1k2x 1x 224x 1x 2,或| AB| 2r2d2；弦中点坐标

33、 （x 12x2,y 12y2）；弦中点轨迹方程；（2）直线与圆相切： F（x）0 中0,或 d r 其相关问题是切线方程y0）是圆 x 2 y 2 r 2 上的点,过 P 的切线方程为 x0x y0y r 2 ,其二是圆外点如 P（ x0 ,P（x0 ,y0）向圆到两条切线的切线长为x 0a2y 0b 2r2或x 02y02r2；其三是P（x0 ,y0）为圆 x 2 y程为 x0x y0y r 2 ；2 r2 外一点引两条切线,有两个切点A ,B ,过 A ,B 的直线方- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3）直线与圆相离： F（x

34、） 0 中0；或 d r ；主要是圆上的点到直线距离 d 的最大值与最小值, 设 Q 为圆 C ：x a 2 y b 2 r 2 上任一点, | PQ| max | PC| r ；| PQ| min | PQ| r ,是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值4圆与圆的位置关系：依平面几何的圆心距| O1O2| 与两半径 r1 ,r2 的和差关系判定（1）设 O1 圆心 O1 ,半径 r1 , O2 圆心 O2 ,半径 r2 就：当 r 1 r2 | O1O2| 时 O1 与 O2 外切；当 | r 1 r2| | O1O2| 时,两圆相切； 当| r1 r2| | O1O2| r 1 r2 时两圆相交； 当 | r1 r2| | O1O2| 时两圆内含； 当 r 1 r2| O1O2| 时两圆外离 . （2）设 O1 ：x 2 y 2 D1x E1y F1 0,O2 ：x2 y