2022年高考数学_冲刺必考专题解析_立体几何怎么解-高考必考.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载立体几何题怎么解高考立体几何试题一般共有4 道 客观题 3 道, 主观题 1 道 , 共计总分 27 分左右 , 考查的学问点在 20 个以内 . 挑选填空题考核立几中的运算型问题 , 而解答题着重考查立几中的规律推理型问题 , 当然 , 二者均应以正确的空间想象为前提 . 随着新的课程改革的进一步实施, 立体几何考题正朝着” 多一点摸索 , 少一点运算” 的进展 . 从历年的考题变化看 , 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证 , 角与距离的探求是常考常新的热门话题 . 例 1 四棱锥 PABCD的底面是边长为 a

2、 的正方形, PB面 ABCD. （1）如面 PAD与面 ABCD所成的二面角为60 ,求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90讲解 : （1）正方形 ABCD是四棱锥 PABCD的底面 , 其面积为a2,从而只要算出四棱锥的高就行了. PB面 ABCD, BA是 PA在面 ABCD上的射影 . 又 DAAB,PADA, PAB是面 PAD与面 ABCD所成的二面角的平面角,PAB=60 . 而 PB是四棱锥 PABCD的高, PB=ABtg60 =3 a, . V锥13aa23a3. 33PAD与 PCD恒为全等三角形（2）不论棱锥的高

3、怎样变化,棱锥侧面作 AEDP,垂足为 E,连结 EC,就 ADE CDE,AECE,CED90,故CEA是面 PAD与面 PCD所成的二面角的平面角. 设 AC与 DB相交于点 O,连结 EO,就 EOAC,名师归纳总结 2aOAAEADa.第 1 页,共 8 页2在AEC中 ,cosAECAE2EC22OA2AE2 OAAE2 OA.02AEECAE2故平面 PAD与平面 PCD所成的二面角恒大于90 . 本小题主要考查线面关系和二面角的概念,以及空间想象才能和规律推理才能, 具有一定的探干脆 , 是一道设计新奇, 特点鲜明的好题.例 2如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面 ABC为等

4、腰直角三角形,ACB=90 0,AC=1,C点到 AB1的距离为 CE=3 ,D为 AB的中点 . 2A1C1B1EC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（1）求证： AB1平面 CED；（2）求异面直线 AB1与 CD之间的距离；（3）求二面角 B1ACB的平面角 . 讲解 : （1） D 是 AB 中点,ABC为等腰直角三角形,ABC=90 0, CDAB 又 AA1平面 ABC, CDAA1. CD平面 A1B1BA CDAB1,又 CE AB1, AB1平面 CDE；（2）由 CD平面 A1B1BA CDDE AB1平面 C

5、DE DEAB1 DE是异面直线 AB1 与 CD的公垂线段CE= 3 ,AC=1 , CD= 2 . 2 2DE CE 2 CD 2 1；2（3）连结 B1C,易证 B1CAC,又 BCAC , B1CB是二面角 B1ACB 的平面角 . 在 Rt CEA中, CE=3 ,BC=AC=1, 20 B1AC=60AB 1B 112,2BB 1B 1AB 12AB22, 2 cos 60tgCBBB 1BC , CBarctg2. 作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提 规律推理作为基石 . , 当然 , 精确地作出应当有严格的名师归纳总结 例 3如图 al 是 120 的二面角, A,B

6、 两点在棱上, AB=2, D 在内,三角形第 2 页,共 8 页ABD是等腰直角三角形,DAB=90 , C在内,ABC是等腰直角三角形ACB= 900.（I ）求三棱锥 DABC的体积；（2）求二面角DACB 的大小；（3）求异面直线AB、CD所成的角 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 讲解 : 1 过 D向平面优秀学习资料欢迎下载做垂线,垂足为O,连强 OA并延长至 E. 名师归纳总结 ABAD,OA为DA在平面上的射影,ABOADAE为二面角al 的7.第 3 页,共 8 页平面角 .DAE120,DAO60.ADAB2 ,DO3. ABC

7、 是等腰直角三角形,斜边AB=2.SABC,1又 D到平面的距离 DO=3.VDABC3.3（2）过 O在内作 OMAC, 交 AC的反向延长线于M, 连结 DM. 就 ACDM. DMO 为二 面 角D AC B的 平 面 角 . 又 在 DOA 中 , OA=2cos60 =1.且OAMCAE45,OM2.tgDMO6.DMOarctg6.2（ 3）在平在内,过C作 AB的平行线交AE于 F, DCF为异面直线AB、CD所成的角 . ABAF,CFAFCFDF,又CAF45,即ACF为等腰直角三角形,又AF等于 C到 AB的距离,即ABC斜边上的高 ,AFCF1 .DF2AD2AF22AD

8、AFcos 1207 .tgDCFDF7.tgDCFCF异面直线 AB,CD所成的角为arctg7.比较例 2 与例 3 解法的异同 , 你会得出怎样的启示. 想想看 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载例 4 在边长为 a 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的,并且这三个四边形也全等,如图 如用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器, 如图 就当容器的高为多少时,最大值可使这个容器的容积最大,并求出容积的图 图讲解 : 设容器的高为 x就容器底面正三角形的边长为 a 2 3 x , 3

9、2 aV x x a 2 3 x 0 x 4 2 33 14 3 x a 2 3 x a 2 3 x 4 4 331 4 3 x a 2 3 x a 2 3 x 3 a . 16 3 543当且仅当 4 3 x a 2 3 x , 即 x 3a 时 , V max a. . 18 543故当容器的高为 3 a 时,容器的容积最大,其最大容积为 a.18 54对学过导数的同学来讲,三次函数的最值问题用导数求解是最便利的,请读者不妨一试 . 另外,此题的深化好像与 20XX 年全国高考文科数学压轴题有关,仍请做做对比 . 类似的问题是 : 某企业设计一个容积为V的密闭容器, 下部是圆柱形, 上部是

10、半球形, 当圆柱的底面半径 r 和圆柱的高 h 为何值时,制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）. 例 5 已知三棱锥 PABC中, PC底面 ABC,AB=BC,D、F 分别为 AC、PC的中点, DEAP于 E名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（1）求证： AP平面 BDE；（2）求证：平面 BDE平面 BDF；（3）如 AEEP=1 2,求截面 BEF分三棱锥PABC所成两部分的体积比讲解 : 1 ） PC底面 ABC,BD 平面 ABC, PCBD由 AB=BC,D为 AC的中

11、点,得 BDAC又 PCAC=C, BD平面 PAC 又 PA 平面、PAC, BD PA由已知 DEPA,DEBD=D, AP平面 BDE（ 2）由 BD平面 PAC,DE平面 PAC,得 BDDE由 D、F 分别为 AC、PC的中点,得 DF/AP由已知, DE AP, DEDF. BD DF=D, DE平面 BDF又 DE 平面 BDE,平面 BDE平面 BDF（ 3）设点 E 和点 A 到平面 PBC的距离分别为 h1 和 h2就 h 1 h2=EPAP=23, V P EBF V E PBF 13 h 1 S PBF 2 1.V P ABC V A PBC 1h 2 S PBC 3

12、2 33故截面 BEF分三棱锥 PABC所成两部分体积的比为 12 或 21 值得留意的是 , “ 截面 BEF分三棱锥 PABC所成两部分的体积比” 并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个 , 希不要犯这种” 会而不全” 的错误 . 例 6 已知圆锥的侧面绽开图是一个半圆,它被过底面中心 O1 且平行于母线 AB的平面所截,如截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为 p 的抛物线 . （1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）求圆锥的全面积名师归纳总结 讲解 : （1）设圆锥的底面半径为.R,母线长为l ,第 5 页,共 8 页由题意得：l2R, 即cosACO 1R1

13、, l2所以母线和底面所成的角为600- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（2）设截面与圆锥侧面的交线为 MON,其中 O为截面与AC的交点,就OO 1/AB 且OO11AB.O 为抛物的顶2在截面 MON内,以 OO 1 所在有向直线为y 轴, O为原点,建立坐标系,就点,所以抛物线方程为x2=2py,点 N的坐标为（ R, R）,代入方程得R 2=2p（ R）,得 R=2p, l =2R=4p. 圆锥的全面积为RlR28p24p212p2. . 类似请摸索如下将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意 , 预示了高考命题的新动向问题

14、 : 一圆柱被一平面所截,截口是一个椭圆已知椭圆的长轴长为 5,短轴长为 4,被截后几何体的最短侧面母线长为 1,就该几何体的体积等于例 7 如图,几何体 ABCDE中, ABC是正三角形, EA和 DC都垂直于平面 ABC,且 EA=AB=2a,DC=a,F、G分别为 EB和 AB的中点 . （1）求证： FD 平面 ABC；（2）求证： AFBD； 3 求二面角 BFCG的正切值 . 面 ABC,讲解 : F、G分别为 EB、AB的中点,FG= 1 EA,又 EA、DC都垂直于面 ABC, FG=DC,2四边形 FGCD为平行四边形,FD GC,又 GCFD 面 ABC. （ 2） AB=

15、EA,且 F 为 EB中点, AF EB 又 FG EA,EA面 ABC FG面 ABC G为等边ABC,AB边的中点, AGGC. AFGC又 FD GC, AFFD 名师归纳总结 由、知AF面 EBD,又 BD面 EBD, AFBD. 第 6 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（3）由（ 1）、（2）知 FGGB,GCGB, GB面 GCF. 过 G作 GHFC,垂足为 H,连 HB, HB FC. GHB为二面角 B-FC-G 的平面角 . 易求GH3a ,tgGHBaa233. AD1 和 BD上的点,且23

16、例 8 如图,正方体2ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,P、Q分别是线段D1PPA=DQQB=512. 1 求证 PQ 平面 CDD 1C1； 2 求证 PQAD； 3 求线段 PQ的长 . 讲解 : （1）在平面 AD1 内,作 PP1 AD与 DD1 交于点 P1,在平面 AC内,作QQ 1 BC交 CD于点 Q1,连结 P1Q1. D 1 P DQ 5 , PP1 /QQ1 .PA QB 12由四边形 PQQ 1P1 为平行四边形 , 知 PQ P1Q1而 P1Q1 平面 CDD 1C1,所以 PQ 平面 CDD 1C1（ 2）AD平面 D1DCC 1,ADP1Q1又 PQ P1Q1

17、,ADPQ.（ 3）由（ 1）知 P1Q1 / PQ, DQ 1 DQ 5,而棱长 CD=1. DQ1= 5 . 同理可求得 P1D= 12 . Q 1 C QB 12 17 17在 Rt P1DQ1 中,应用勾股定理 , 立得2 22 2 12 5 13P1Q1= P 1 D DQ .17 17 17做为此题的深化 , 笔者提出这样的问题 : P, Q分别是 BD, AD 上的动点 , 试求 PQ 的最小值 , 你能够应用函数方法运算吗 . 试试看 . 并与如下 20XX 年全国高考试题做以对比 , 你会得到什么启示 . 如图, 正方形 ABCD、ABEF的边长都是1, 而且平面 ABCD、

18、ABEF相互垂直； 点 M在 AC上移动,名师归纳总结 点 N在 BF上移动,如CM=BN=a0a2.第 7 页,共 8 页（1）求 MN的长；（2）当 a 为何值时, MN的长最小；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）当 MN长最小时,求面优秀学习资料欢迎下载的大小；MNA与面 MNB所成的二面角CDMBEN名师归纳总结 AF第 8 页,共 8 页立体几何学问是复课耗时较多, 而考试得分偏底的题型. 只有放底起点 , 依据课本 , 熟化学问 , 构建空间思维网络, 把握解三角形的基本工具, 严密规范表述 , 定会突破解答立几考题的道道难关. - - - - - - -