2022年高考数学常用结论宝典最终版领军教育.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载函数反函数：1如 f g x x,就 f x g x 函数的单调性函数单调性的证明步骤：1,任取； 2,求差； 3,结论1 设 x 1 x 2 a , b , x 1 x 2 那么 x 1 x 2 f x 1 f x 2 0 f x 1 f x 2 0 f x 在 a , b 上是增函数；x 1 x 2 x 1 x 2 f x 1 f x 2 0 f x 1 f x 2 0 f x 在 a , b 上是减函数 . x 1 x 22 设函数 y f x 在某个区间内可导,假如 f x 0,就 f x 为增函数；假如 f x

2、0,就 f x 为减函数 . 假如函数 f x 和 g x 都是减函数 , 就在公共定义域内 , 和函数 f x g x 也是减函数 ; 假如函数 y f u 和 u g x 在其对应的定义域上都是减函数 , 就复合函数 y f g x 是增函数 . 奇偶函数的图象特点奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称 ; 在对称区间上,奇函数的单调性相同,偶函数相反； ,假如一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数；假如一个函数的图名师归纳总结 - - - - - - -象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数,假如一个奇函数的定义域包括0,就必有 f0=0; 如函数yfx是偶函数

3、,就fxa fxa；如函数yfxa 是偶函数,就fxafxa. 对 于 函 数yf x xR,fxaf bx恒 成 立 , 就 函 数f x 的 对 称 轴 是 函 数xa2b; 两个函数yfxa与yfbx 的图象关于直线xa2b对称 . 如fxxfxa, 就函数yf x 的图象关于点 a 2,0对称 ; 如fxfxa, 就函数yf为周期为2 a的周期函数 . 多项式函数P x a xna n1xn1a 的奇偶性多项式函数P x 是奇函数P x 的偶次项 即奇数项 的系数全为零 . 多项式函数P x 是偶函数P x 的奇次项 即偶数项 的系数全为零 . 函数yf x 的图象的对称性1 函数yf

4、 x 的图象关于直线xa 对称f axf axf2ax f x . 2 函数yf x 的图象关于直线xa2b对称f amx f bmxf abmx f mx . 两个函数图象的对称性1 函数yf x 与函数yfx 的图象关于直线x0 即 y 轴 对称 . 2 函数yf mxa 与函数yf bmx 的图象关于直线xab对称 . 2 m3 函数yf1 xyfx和的图象关于直线y=x 对称 . 如将函数yfx 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数yfxab的图象；如将曲线fx,y0的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线fxa,yb0的图象 . 互为反函数的两个函数的关系：fabf1b

5、a. 如函数yfkxb存在反函数 , 就其反函数为y1f1xb, 并不是yf1kxb ,k第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载g x g y ,| 2 a ,而函数yf1kxb是y1fx b的反函数 . k几个常见的函数方程 1正比例函数f x cx ,f xy f f y ,f1c . 2 指数函数f x x a ,fxyf x f y ,f1a0. 3 对数函数f log ax,fxy f x f ,f a 1 a0,a1. 4 幂函数f x ,fxy f x f ,f1. 5 余弦函数f x cosx , 正弦函数g x sinx

6、 ,f xy f x f yf01,lim x 0g x 1. x几个函数方程的周期 商定 a0 （1）fxfxa,就fx的周期 T=a；（2）fxaf1fx0 ,或f xa 1 0, xf x 就f x的周期 T=2a；3fx1f1afx0 ,就fx的周期 T=3a；x4fx 1x 2fx 1x 1fx 2且f a 1 f x 1f x 21,0|x 1x 21ffx 2就fx的周期 T=4a；5f x f x a f x2 a f x3 f x4 f x f x a f x2 a f x3 a f x4 a , 就fx的周期 T=5a；6fxafx fxa,就f x 的周期 T=6a. 二

7、次函数二次函数的解析式的三种形式1 一般式f ax2bxc a0; . 2 顶点式f a xh2k a0; 3 零点式f a xx 1xx 2a0一元二次方程的实根分布如f m f n 0,就方程fx0在区间 m n 内至少有一个实根 . 设fx x2pxq,就（1）方程f x 0在区间m ,内有根的充要条件为fm 0或2 p4q0；pm2（2）方程fx0在区间 m n 内有根的充要条件为f m f n 0f m00或f m0或f n 0；或f n 40p2qaf n 0af m 0f m0或p24q0 . mp 2n0在区间 , n 内有根的充要条件为（3）方程f x pm2定区间上含参数的

8、二次不等式恒成立的条件依据名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 在给定区间4,优秀学习资料欢迎下载的子区间 L （形如,不同）上含参数的二次不等式f x t , 0 t 为参数 恒成立的充要条件是f , min0xL. 2 在给定区间,的子区间上含参数的二次不等式f x t , 0 t 为参数 恒成立的充要条件是f x t , man0xL. 3fxaxbx2c0恒成立的充要条件是a0或a00. b02 b4 acc0实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程ax2bxc0,4 ac i b24ac0如b24ac0,

9、 就x 1,2bb24ac; 2a如b24ac0, 就x 1x2b; 2a如b24ac0,它在实数集R内没有实数根；在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数根xb b22a根式的性质（1） n ana . （2）当 n 为奇数时,nana ；当 n 为偶数时,nan|a|a a00. a a有理指数幂的运算性质1 arasarsa0, , r sQ. 2 arsarsa0, , r sQ . . 3 abrr a bra0,b0,rQ . 注：如 a0,p 是一个无理数,就ap表示一个确定的实数对于无理数指数幂都适用指数式与对数式的互化式logaNbabN a0,a1,N0.对数的换底公式loga

10、NlogmN a0, 且a01,m0, 且m1,N0. n1,N0. loga推论mba, 且a1,m n0, 且m1 ,loga mbnnlogam对数的四就运算法就如 a0,a 1,M0,N0,就1 log aMNnlogaMlogaN ;2 logaMlogaMlogaN; N3 logaMnlogaM nR . 集合与简易规律名师归纳总结 元素与集合的关系：AxBAxC A ,xC AxA .第 3 页,共 18 页德摩根公式：C UAC AC B C UABC AC B . 包含关系： ABABBABC BC A- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

11、- AC BC ABR优秀学习资料欢迎下载容斥原理card ABcardAcardBcardABn 1 个；非空的card ABCcardAcardBcardCcard ABcard BCcard CAcard ABC . 集合a a 2,an的子集个数共有2n个；真子集有 2n 1 个；非空子集有 2真子集有 2 n 2 个. 常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有 n 个至多有 （n1）个小于不小于至多有 n 个至少有 （n1）个对全部 x ,存在某 x ,成立不成立p 或 qp 且q对任何 x ,存在某 x ,不

12、成立成立p 且 qp 或q平均增长率的问题假如原先产值的基础数为N,平均增长率为p ,就对于时间x 的总产值 y ,有yN1px. 数列a n如mnpq等差数列amana napapaqa2*a . d n . 等比数列aaqm数列的通项公式与前n 项的和的关系a 1s 1,s nn12 数列 a n的前 n 项的和为s ns n1,n等差数列的通项公式a na 1n1 ddna 1d nN；其前 n 项和公式为s nn a 12a nna 1n n1dd n 22 a 11 22等比数列的通项公式a na qn1a 1qnnN*；q其前 n 项的和公式为名师归纳总结 s na 11qn ,q

13、:1或s nqaa 1a q q q1. 0的通项公式为第 4 页,共 18 页1q1an1na q1na q1等比差数列annd a 1b q- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - anbn1 , d qn1d q1优秀学习资料欢迎下载bqndb q1；q1其前 n 项和公式为s nnbn n1 ,q1qn q1. bd1qnd1qq11常用求和公式12332nn1 nn1 2n13572n1 n2222 122n21 n13 13 23 3n3n n1 62三角函数常见三角不等式（1）如x0,2,就 sinxxtanx . 21 , tan=sin, t

14、ancot1. b . 2 如x0,2,就 1sinxcosx2. 3 |sinx| cosx| 1. 同角三角函数的基本关系式：sin2coscossin和角与差角公式 sincoscossin; coscoscossinsin; tantantan. 1tantan所在象限由点 , a b 的象限打算 , tanasinbcos=a2b 2 sin 帮助角asin半角正余切公式：tan21sin,cotcos1cos二倍角公式期Tsin 22sincos.cos22 cossin2x2cos2112sin2.tan 212tan2. tan函数三角函数的周期公式cos,xRA, ,为常数,

15、且A 0, 0 的周ysinx,xR 及函数y2；函数ytanx,xk2,kZ A, ,为常数, 且 A 0, 0 的周期 T. 正弦定理aAbBcC2R. sinsinsin余弦定理名师归纳总结 a2b2c22 bccosA ; b2c2a22 cacosB ; c2a22 b2abcosC . 第 5 页,共 18 页面积定理- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）S1aha1bh b1 2ch （h优秀学习资料欢迎下载22AB . a、h b、h c分别表示 a、b、c 边上的高） . 2 12（2）1casinB . 1SabsinCbcsin

16、A222（3）SOAB1|OA| |OB|2OA OB2. 2三角形内角和定理ABC2A2B2 C在 ABC中,有ABCC2在三角形中有以下恒等式：sinABsinC2角的变形：2向量实数与向量的积的运算律 设 、 为实数,那么 1 结合律： a= a; 2 第一安排律： + a= a+ a; 3 其次安排律： a+b= a+ b. 向量的数量积的运算律：ab= a （b）; 1 a b= b a （交换律） ; 2 （a）b= （a b） =3 （a+b）c= a c +b c.平面对量基本定理 假如 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数

17、 1、2,使得 a=1e1+2e2不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底 向量平行的坐标表示设 a=x 1,y 1, b=x 2,y2,且 b0,就 a 平行 bb0x y2x y 10.|b|cos 的乘积a 与 b 的数量积 或内积 ： ab=| a| b|cos ab 的几何意义数量积ab 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影平面对量的坐标运算1 设 a=x y 1, b=x2,y2,就 a+b=x 1x 2,y 1y 2. 2y 1. 2 设 a=x y 1, b=x2,y2,就 a-b=x 1x 2,y 1y2. 3 设 Ax 1,y 1, B

18、x 2,y 2, 就ABOBOAx 2x y 14 设 a= , x y,R ,就a= x,y . y y2. 5 设 a=x 1,y 1, b=x2,y2,就 a b=x x2两向量的夹角 公式cos2 x 1x x 2y y 22 y 2 a=x y 1, b=x2,y2. 2 y 12 x 2平面两点间的距离公式dA B=|AB|AB ABx 2x 12y 2y 12Ax 1,y 1,Bx2,y2. 向量的平行与垂直设 a=x 1,y 1, b=x 2,y2,且 b0,就 a| bb= a x y 2x y 10. aba0ab=0x x2y y 20. 线段的定比分公式名师归纳总结 -

19、 - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载,且PP ,就 2设P x 1,y 1,P x2,y2,P x y 是线段P P 的分点 ,是实数,且PP 1xx 1x2OPOP 1OP 21y2yy 111OPtOP 11t OP （t11）. 三角形的重心坐标公式ABC三个顶点的坐标分别为Ax ,y 、1 1Bx ,y 22 、Cx ,y , 3 3就 ABC的重心的坐标是G x 1x 2x 3,y 1y 2y 3. 33点的平移公式xxhxxhOPOP PP . yykyyk PP 的坐标为 , h k . 注: 图形

20、 F 上的任意一点Px,y 在平移后图形 F 上的对应点为P x y“ 按向量平移” 的几个结论（1）点P x y 按向量 a= , 平移后得到点Pxh yk . f xh yk0. 2 函数yf x 的图象 C 按向量 a= , 平移后得到图象 C , 就 C 的函数解析式为yf xh k . 3 图象 C 按向量 a= , h k 平移后得到图象C , 如 C 的解析式yf x , 就 C 的函数解析式为yf xh k . 4 曲线 C :f x y , 0按向量 a= , 平移后得到图象 C , 就 C 的方程为5 向量 m= , x y 按向量 a= , h k 平移后得到的向量仍旧为

21、m= , x y . 三角形五“ 心” 向量形式的充要条件设 O 为 ABC 所在平面上一点,角 A B C 所对边长分别为a b c ,就（1） O 为ABC的外心OA2OB22 OC . （2） O 为ABC的重心OAOBOC0. （3） O 为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA . （4） O 为ABC的内心aOAbOBcOC0. （5） O 为ABC的A的旁心aOAbOBcOC . 不等式常用不等式：（1）a bRa22 b2ab 当且仅当 a b 时取“=” 号 （2）a bRabab 当且仅当 ab 时取“=” 号 2（3）a3b3c33 abc a0,b0,c0.（4）柯

22、西不等式a22 bc2d2acbd2 , , , , a b c dR .（5）ababab.极值定理名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载已知 x, y 都是正数,就有（1）如积 xy是定值 p ,就当 x y 时和 x y 有最小值 2 p；（2）如和 x y 是定值 s ,就当 x y 时积 xy有最大值 1 s . 4推广 已知 x, y R,就有 x y 2 x y 2 2 xy（1）如积 xy是定值 , 就当 | x y | 最大时 , | x y | 最大；当 | x y | 最小时

23、 , | x y | 最小 . （2）如和 | x y | 是定值 , 就当 | x y | 最大时 , | xy 最小；当 | x y | 最小时 , | xy 最大 . 2 2 2一元二次不等式 ax bx c 0 或 0 a 0, b 4 ac 0,假如 a 与 ax bx c 同号,就其解集在两根之外；假如 a 与 ax 2bx c 异号,就其解集在两根之间 . 简言之： 同号两根之外,异号两根之间 . x 1 x x 2 x x 1 x x 2 0 x 1 x 2 ；x x 1 , 或 x x 2 x x 1 x x 2 0 x 1 x 2 . 含有肯定值的不等式当 a 0 时,有x

24、ax2a2axa . xax2a2xa 或 xa . 75. 无理不等式f x 0g x f x 02或f x 0. （1）f x g x g x 0 . （2）f x g x 0g x 0f x g x f x f x f x 0（3）f x g x g x 0. f x g x 20指数不等式与对数不等式1 当a1时, af ag xf x g x ; logaf x logag x g x 0. 2 当 0a1 时, logaf x logag x f x g x f x 0af ag xf x g x ; g x 0f x g x 解析几何斜率公式ky2y 1（P x y 1、P 2x

25、2,y 2）. k=tan 为直线倾斜角）x 2x 1直线的五种方程名师归纳总结 （1）点斜式yy 1k xx 1 直线 l 过点P x 1,y 1,且斜率为 k x . 第 8 页,共 18 页（2）斜截式ykxb b 为直线 l 在 y 轴上的截距 . （3）两点式yy 1xx 1y 1y P x 1,y 1、P x2,y 2 x 1y2y 1x 2x 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 截距式xy1 a、b优秀学习资料欢迎下载a、b0分别为直线的横、纵截距,a Axb By（5）一般式C0其中 A、 B 不同时为0.两条直线的平行和垂直1如l

26、 1:yk xb ,l2:yk xbk k 21. l1|l2k 1k2,b 1b 2; l1l22如l 1:A xB yC 10, 2 l:A xB2yC20,且 A1、A2、B1、 B2都不为零 , l1|l2A 1B 1C 1；A 2B2C20；即：l1l2A A 2B B20两直线垂直的充要条件是A A 2B B 2夹角公式1 tan | k 2 k 1 | . 1 : y k x b ,l 2 : y k x b , k k 2 1 1 k k 12 tan | A B 2 A B 1 | . 1 : A x B y C 1 0 , 2 : A x B y C 2 0 , A A 2

27、 B B 2 0 . A A 2 B B 2直线 l 1 l 时,直线 l1与 l2的夹角是 . 21l 到 2l 的角公式1 tan1 k 2k k k 11 . 1 : y k x b ,l 2 : y k x b , k k 2 1 2 tan A BA A 2 2B B A B2 1. 1 : A x B y C 1 0 , 2 : A x B y C 2 0 , A A 2 B B 2 0 . 直线 l 1 l 时,直线 l1 到 l2 的角是 . 2四种常用直线系方程1 定点直线系方程：经过定点 P 0 x 0 , y 0 的直线系方程为 y y 0 k x x 0 除直线 x x

28、 , 其中 k是待定的系数 ; 经过定点 P x 0 , y 0 的直线系方程为 A x x 0 B y y 0 0 , 其中 A B 是待定的系数2 共点直线系方程：经过两直线 l 1 : A x B y C 1 0 , l 2 : A x B y C 2 0 的交点的直线系方程为 A x B y C 1 A x B y C 2 0 除 2l ,其中 是待定的系数3 平行直线系方程：直线 y kx b 中当斜率 k 肯定而 b 变动时, 表示平行直线系方程与直线Ax By C 0 平行的直线系方程是 Ax By 0 0 , 是参变量4 垂 直 直 线 系 方 程 ： 与 直 线 A x B y C 0 A 0 , B0 垂 直 的 直 线 系 方 程 是Bx Ay 0 , 是参变量点到直线的距离 d | Ax 02 By 02 C |点 P x 0 ,