2022年高考圆锥曲线中的定点与定值问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 欢迎下载专题 08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1【陕西省榆林市其次中学2022 届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为；圆过椭圆的三个顶点 . 过点且斜率不为0 的直线与椭圆交于两点 . （）求椭圆的标准方程；（）证明：在轴上存在定点,使得 为定值；并求出该定点的坐标 . 【答案】（1）（2）【解析】 试题分析：（）设圆 过椭圆的上、 下、右三个顶点, 可求得,再依据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程； （）设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得 两点的坐标,运算得；设 x 轴 上 的 定 点 为,可 得,

2、由定值可得需满意,解得 可得定点坐标；解得；椭圆的标准方程为 . （）证明：名师归纳总结 由题意设直线的方程为,第 1 页,共 24 页由消去 y 整理得设,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 要使其为定值,需满意名师精编欢迎下载,解得. . 故定点的坐标为点睛：解析几何中定点问题的常见解法1 假设定点坐标,依据题意挑选参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；2 从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意2【四川省成都市第七中学 2022-2022 学年高二上学期半期考

3、】已知斜率为 k 的直线 l 经过点 1,0 与抛物线 C : y 22 px （p 0, p 为常数）交于不同的两点 M N ,当 k 1 时,弦 MN 的长为 4 15 . 2（1）求抛物线 C 的标准方程；（2）过点 M 的直线交抛物线于另一点 Q ,且直线 MQ 经过点 B 1, 1,判定直线 NQ 是否过定点？如过定点,求出该点坐标；如不过定点,请说明理由 . 2【答案】（1）y 4 x ; （2）直线 NQ 过定点 1, 4【解析】试题分析： （1）依据弦长公式即可求出答案；名师归纳总结 （2）由（ 1）可设Mt2,2t,N t 12,2t1,Q t22,2t2,就kMNt2t1,

4、t21（2）第 2 页,共 24 页就MN: 2 xtt 1y2 tt10；20将（ 1）代入t t 1 22t 1同理：MQ: 2xtt2y2 tt20NQ: 2xt 1t 2y2 t t 1 20. 1 t 1（1）；由1,0在直线 MN 上t由 1, 1 在直线 MQ 上2tt22tt将（ 2）代入 NQ 方程2xt 1t 2y4t 1t220,即可得出直线NQ 过定点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）设Mt2,2t,N t 12,2t1,Q t22,2t2名师精编=2t欢迎下载t2t 1,就kMN2 t 1t2t2 1名师归纳总结 - -

5、 - - - - -就MN:y2 tt2t 1xt2即2xtt1y2 tt10；同理：MQ: 2xtt2y2 tt20；NQ: 2xt 1t 2y2 t t 1 20. 由1,0在直线 MN 上tt11,即t1（1）；t1由 1, 1 在直线 MQ 上2tt22tt20将（ 1）代入t t 1 22t 1t21（2）将（ 2）代入 NQ 方程2xt 1t 2y4t 1t220,易得直线 NQ 过定点 1, 43【四川省成都市第七中学2022-2022学年高二上学期半期考】已知抛物线2 C ymx m0过点1, 2 , P 是 C 上一点,斜率为1的直线 l 交 C 于不同两点A B （ l 不

6、过 P 点）,且PAB 的重心的纵坐标为 2. 3（1）求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标；（2）记直线PA PB 的斜率分别为k k ,求k 1k 的值 . 【答案】（1）方程为y24x ; 其焦点坐标为1,0 （2）k 1k20【解析】试题分析; （1）将 1, 2 代入y2mx ,得m4,可得抛物线 C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线 l 的方程为 yxb ,将它代入y24x 得x 2（b2）xb20,利用韦达定理, 结合斜率公式以及PAB 的重心的纵坐标2,化简可k 1k 2的值；3第 3 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由于PAB 的重心的纵坐标

7、为yp2,所以名师精编,欢迎下载3所以y 1y2yp2,所以2xp1所以 k 1 k 2 y 1 2 y 2 2 y 1 2 x 2 1 y 2 2 x 1 1,x 1 1 x 2 1 x 1 1 x 2 1又 y 1 2 x 2 1 y 2 2 x 1 1x 1 b 2 x 2 1 x 2 b 2 x 1 12 x x 2 b 1 x 1 x 2 2 b 222 b 2 b 1 b 2 2 b 2 0 . 所以 k 1 k 2 0 . 2 24已知椭圆 C : x2 y2 1 a b 0 的短轴端点到右焦点 F 1 0, 的距离为 2a b（）求椭圆 C 的方程；（）过点 F 的直线交椭圆

8、C 于 A B, 两点,交直线 l x 4 于点 P ,如 PA 1 AF ,PB 2 BF ,求证：1 2为定值2 2x y【答案】 1 1 ;2 详见解析 . 4 3【解析】试题分析： （）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（）联立直线和椭圆的方程,得到关于 x 或 y 的一元二次方程,利用根与系数的关系和平面对量的线性运算进行证明 . （）由题意直线 AB过点 F 1,0,且斜率存在,设方程为 y k x 1 , 名师归纳总结 将x4代人得 P 点坐标为4,3k,0,第 4 页,共 24 页yk x1由x2,y2,1,消元得34k22 x82 k x24 k212设43,就0且x 1x

9、38 k2,B x 2,y 2A x 1y 14k2x 1x 24k21234k2方法一：由于PA1AF ,所以1PAx 14. AF1x 1同理2PBx 24,且x 14与x24异号,BF1x 21x 11x 2所以12x 14x2x4213x 11321x 112x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 23x 1名师精编1欢迎下载x22x x 2x 1x 224 k23 8 k2868k24k212k230 . 所以,112为定值 0. 120 . 当x 1x 时,同理可得名师归纳总结 所以,12为定值 0. 第 5 页,共 24 页- - - - -

10、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 同理2PBmy 23,且名师精编3与欢迎下载异号,my 1my23BFmy 2my 1my 2所以 1 2 my 1 3 my 2 32 3 y 1 y 2my 1 my 2 my y 23 6 m2 0 . m 9又当直线 AB 与 x 轴重合时,1 2 0 ,所以,1 2为定值 0 . 【点睛】此题考查直线和椭圆的位置关系,其主要思路是联立直线和椭圆的方程,整理成关于 x 或 y 的一元二次方程, 利用根与系数的关系进行求解,由于直线 AB 过点 F 1,0,在设方程时, 往往设为 x my 1m 0,可削减争论该直线是否存在斜率

11、. 5【四川省绵阳南山中学 2022-2022 学年高二上学期期中考】设抛物线 C ：y 24 x , F 为 C 的焦点,过 F 的直线 l 与 C 相交于 A B 两点 . （1）设 l 的斜率为 1,求 AB ；（2）求证：OA OB 是一个定值 . 【答案】 1 AB 8（2）见解析【解析】试题分析： （1）把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出； （2）把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - （

12、2）证明：设直线l 的方程为xky1,名师精编欢迎下载由x2ky1得y24 ky40b0的y4xy 1y24 k ,y y24OAx y 1,OBx 2,y 2,OA OBx x 2y y 2kx 11ky 21y y ,2 k y y 22k y 1y 241y y 2,4 k4k213 OA OB 是一个定值 . 点睛：娴熟把握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键,考查运算才能, 直线方程设成xky1也给解题带来了便利. 6【内蒙古包头市第三十三中2022-2022 学年高一下学期期末】已知椭圆C: x2y21 a0,a

13、2b2离心率为 6 , 右焦点为 2 ,0.1 求椭圆 C 的方程 ; 3交于 A, B 两点 , 求证 : 点 O到直线 AB的距离为定值 . 2 如过原点作两条相互垂直的射线, 与椭圆2【答案】 1 xy 21 ,2 O 到直线 AB 的距离为定值 3 . 3 2【解析】试题分析： （1）依据焦点和离心率列方程解出 a,b, c；（2）对于 AB有无斜率进行争论,设出A,B 坐标和直线方程,利用根与系数的关系和距离公式运算；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编欢迎下载2+3 原点到直线AB有 OAOB知

14、x1x2+y1y2=x1x2+ k x1+m k x2+m=1+ k2 x 1x2+k m x1+x2=0 代入 , 得 4 m 2=3 k的距离到直线点睛：dm23, 当 AB的斜率不存在时, x 1y 1 , 可得 , x 13d依旧成立 . 所以点 O1k22的距离为定值 3 . 2此题考查了椭圆的性质,直线与圆锥曲线的位置关系,分类争论思想,对于这类题目要把握解题方法设而不求,套用公式解决7【四川省成都市石室中学2022-2022 学年高二10 月月考】已知双曲线x2y21ba0渐近线方a2b2程为y3x , O 为坐标原点,点M3,3在双曲线上（）求双曲线的方程；名师归纳总结 - -

15、 - - - - -（）已知P Q 为双曲线上不同两点,点O 在以 PQ 为直径的圆上,求1212的值OPOQ【答案】（）x2y21；（）12121. 26OPOQ3【解析】试题分析： （1）依据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程,代入点M的坐标求得参数即可； （2）由 条 件 可 得 OPOQ , 可 设 出 直 线OP OQ 的 方 程 , 代 入 双 曲 线 方 程 求 得 点P Q 的 坐 标 可 求 得12121；OPOQ3第 8 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）由题意知OPOQ ；名师精编欢迎下载设 OP 直线方程为 y kx ,由 2 x 2

16、y6 21,解得 x 23 6k2 2,2 6 ky kx y 23 k| OP | 2x 2y 2 62 6 k 22 6 1 k2 2；3 k 3 k 3 k由 OQ 直线方程为 y 1x . 以 1 代替上式中的 k ,可得k k26 1 122 k 6 k 1| OQ | 2 2；1 3 k 13kOP 12OQ 126 1 3 kk 22 +6 1 3 k 2k 12 = 26 1 k 2k 12 13；8 【湖南省株洲市醴陵其次中学、醴陵第四中学 2022 届高三上学期两校期中联考】已知椭圆 E: 2 2x2 y2 1 a b 0 经过点 P2,1 ,且离心率为 3a b 2（）求

17、椭圆的标准方程；（）设 O为坐标原点,在椭圆短轴上有两点 M,N满意 OM NO ,直线 PM、PN分别交椭圆于 A,B探求直线 AB是否过定点,假如经过定点恳求出定点的坐标,假如不经过定点,请说明理由2 2【答案】（1）x y 1；（2）直线 AB过定点 Q（0, 2）. 8 2【解析】试题分析： （1）依据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情形得到结果,再考虑一般情况,联立直线和椭圆得到二次函数,依据韦达定理,和向量坐标化的方法,得到结果；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - x1+x2=48kt1,x1x

18、2=4 t28名师精编kx 1欢迎下载（ x 2）,k24k21t11 2（x 2）,即 y 1=又直线 PA的方程为 y 1=y 1x 1x 12因此 M点坐标为（ 0,12 k x 12 t）,同理可知： N（0,12 k x 22 t）,x 12x 22当且仅当 t = 2 时,对任意的k 都成立,直线AB过定点 Q（0, 2）. 名师归纳总结 9【广西桂林市第十八中学2022 届高三上学期第三次月考】已知椭圆C:x2y21ab0的左,右a2b2焦点分别为F 1,F . 过原点 O 的直线与椭圆交于M,N 两点,点 P 是椭圆 C 上的点,如kPMkPN1,4F N F M0,且F MN

19、 的周长为 42 3 . 的垂线交 x（1）求椭圆 C 的方程；（2） 设椭圆在点 P 处的切线记为直线,点F 1,F 2,O 在上的射影分别为A B D ,过 P 作轴于点 Q ,试问F AF B是否为定值？如是,求出该定值；如不是,请说明理由. ODPQP x 0,y 0,【答案】 1 x2y21;21. 4【 解 析 】 试 题 分 析 ; （ 1 ） 设M m n, 就Nm ,n, m2n21, 设a2b2kAPyn,kBPyn,以及kAMk BM1,a24 b2. 1,由F N F M0, 由椭圆的xmxm4定 义 可 得 2 a2 c42 3. 2, 结 合a2b2c2. . 3,

20、 综 合123 可 得 ：第 10 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a24,b21,可得椭圆C的方程；名师精编欢迎下载（2）由（ 1）知F 13,0 ,F23,0,直线的方程为：x xy y1,由此可得1. 4F AF B1. ,又 PQ,PQ 的方程为yy04y 0xx 0,可得Q3 x0,0x04就可得PQx 0216y 02,又ODx 04 1y 02,PQOD1. ,故F AF B4ODPQ216当直线平行于 x 轴时,易知F APQODF B1,结论明显成立. 综上,可知F AF B为定值 1. ODPQF NF M2 c2

21、 a2 c42 3. 2有F NF M ,就F NF MMN名师归纳总结 2 a2 b2 c. 3,综合 123 可得：a24,b2113x 0,Q3x 0,0第 11 页,共 24 页椭圆 C 的方程为：x2y21. ,直线的方程为：x xy y4（2）由（ 1）知F 13,0 ,F23,04即：x x4y y40,所以F A3x043x 04x 0216y02x0216y02F B 2x023x 0+42x 03x 04216y0216y 00402163 x021. F AF Bx 03 x042x03x216y 0216y163 x02 PQ,PQ 的方程为yy04y0xx 0,令y0

22、,可得xx044就PQx 03x 02y 02x 02y02x 0216y024164- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又点 O 到直线的距离为ODx 04 1名师精编欢迎下载x 0216y 02x 024y 021. y 02,PQOD216416F A ODF B1. F APQODF B1,结论明显成立. PQ当直线平行于x轴时,易知综上,F AF B1. ODPQ【点睛】此题考查的学问点是直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程,直线与圆的位置关系,是解析几何的综合应用,难度较大xOy 中,直线 l 与抛物线2 y10【云南省玉溪第一中学2022

23、届高三上学期第三次月考】在平面直角坐标系4x 相交于不同的A,B 两点 , O为坐标原点1 假如直线 l 过抛物线的焦点且斜率为1,求 AB 的值；（2）假如OA OB4,证明：直线 l 必过肯定点,并求出该定点. 【答案】（1）8；（ 2）证明见解析【解析】试题分析： （）依据抛物线的方程得到焦点的坐标,设出直线与抛物线的两个交点和直线方程,是直线的方程与抛物线方程联立,得到关于y 的一元二次方程,依据根与系数的关系,求出弦长；（）设出直线的方程,同抛物线方程联立,得到关于y 的一元二次方程,依据根与系数的关系表示出数 b 的值,即得到定点的坐标量积,依据数量积等于4,做出数量积表示式中的令

24、 b 24b 4, b24b40, b2,直线 l 过定点 2,0 如 4,就直线 l 必过肯定点点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“ 定点” 是什么、“ 定值” 是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最终必定参数统消,定点、定值显 现. 11【黑龙江省佳木斯市第一中学2022-2022 学年高二上学期期中】已知椭圆C:x2y21ab0,a2b2且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为21,最小距离为21. （1）求椭圆的方程；名师归纳总结 （2）

25、过点S0,1的动直线 l 交椭圆 C 于A B 两点,试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ,使得以3线段 AB 为直径的圆恒过点Q .如存在,求出点Q 的坐标：如不存在,请说明理由. 第 12 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】 1 椭圆方程为x2y21;2 名师精编欢迎下载Q0,1. 以线段 AB 为直径的圆恒过点2当 l 与 y 轴平行时,以线段AB 为直径的圆的方程为x2y21. 故如存在定点Q ,就 Q 的坐标只可能为Q0,1. ,B x 2,y 2,A x y 1下面证明Q0,1为所求：如直线 l 的斜率不存在,上述

26、己经证明. 如直线 l 的斜率存在,设直线l:ykx1,3 QAQB ,即以线段AB 为直径的圆恒过点Q0,1. 点睛：这个题是圆锥曲线中的典型题目,证明定值定点问题；第一问考查几何意义,其次问是常见的将图的垂直关系,转化为数量关系,将垂直转化为向量点积为0 ,再者就是向量坐标化的意识；仍有就是这种证明直线过定点问题,可以先通过特殊位置猜出结果,再证明；12【四川省成都市新津中学2022 届高三 11 月月考】 已知椭圆C:x2y21 ab0的离心率为2,a2b22且过点2,1 . （1）求椭圆 C 的方程；名师归纳总结 （ 2）设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点,过点P 作斜率为2的直线

27、1交椭圆 C 于A B 两点,求证：第 13 页,共 24 页2PA2PB2为定值 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】（1）x2y21名师精编欢迎下载；（2）证明见解析 . 42【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率 e c 2,求得 a 22 c ,由 2a 2b 2c ,得 2b 2c ,将点 22,1a 22 2代入 x2 y2 1,即可求得 a 和 b 的值,求得椭圆方程； （2）设 P m ,0 2 m 2,直线 l 的方程2 b b是 y 2 x m 与椭圆的方程联立,利用韦达,依据两点间的距离公式将 PA 2PB 2用 m 表

28、示,化简2后消去 m 即可得结果 . 2m 4 2 2 2 2 2 2x 1 x 2 m x x 2 , PA PB x 1 m y 1 x 2 m y 222 1 2 2 1 2 5 2 2x 1 m x 1 m x 2 m x 2 m x 1 m x 2 m4 4 45 2 2 2 5 2x 1 x 2 2 m x 1 x 2 2 m x 1 x 2 2 2 m x 1 x 2 2 x x 2 2 m4 45m 22 m 2m 24 5（定值）,PA 2PB 2为定值 . 4【方法点睛】此题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题,属于难题 . 探究圆锥曲线

29、的定值问题常见方法有两种：从特殊入手,先依据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关； 直接推理、运算,并在运算推理的过程中消去变量,从而得到定值 . 2 213【北京朝阳日坛中学 2022-2022 学年高二上学期期中】已知椭圆 : x2 y2 1 a b 0 的离心率为a b2,半焦距为 c c 0,且 a c 1,经过椭圆的左焦点 F ,斜率为 k 1 k 1 0 的直线与椭圆交于 A , B3两点,O为坐标原点（I ）求椭圆 的标准方程（II ）设 R 1,0,延长 AR, BR分别与椭圆交于 C , D 两点,直线 CD 的斜率为 k ,求证：k 1 为定k 2值名师归纳总结

30、【答案】（I ）x2y21；（II ）见解析 . 第 14 页,共 24 页95- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - c名师精编欢迎下载2【解析】试题分析： （I ）依题意 , 得a3, 再由b2a2c 求得 2b , 从而可得椭圆的标准方程 2; ac1y 11x1, 与椭圆方程联立, 由韦达定理可求（II ）设C x 3,y 3,D x 4,y 4,可求得直线的方程为yx 1得y y 34y 1 2, 进一步可求C5x 19,4y 1, 同理D5 x 29,4y 2, 从而可得2k , 化简运算即5x 1x 15x 15x 25x 25可. 试题解析：

31、名师归纳总结 （I ）由题意,得cc2解得a3,第 15 页,共 24 页a3c2b2a2c25a11,y2x2故椭圆的方程为95- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 欢迎下载点睛：此题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系,是高考的必考点,属于难题求椭圆方程的方法一般就是依据条件建立 a b c 的方程,求出 a 2, b 即可,留意 2a 2b 2c 2, e c的应用；涉及直线与a圆锥曲线相交时,未给出直线时需要自己依据题目条件设直线方程,要特殊留意直线斜率是否存在的问题,防止不分类争论造成遗漏,然后要联立方程组,得一元二次方程,利用根

32、与系数关系写出 x 1 x 2 , x 1 x ,再依据详细问题应用上式,其中要留意判别式条件的约束作用14【2022 2022 学年高中数学（苏教版）选修 11 课时跟踪训练】已知平面内的动点 P 到定直线 l ：x 2 2 的距离与点 P 到定点 F 2 ,0 之比为 2 . 1 求动点 P 的轨迹 C的方程；2 如点 N为轨迹 C上任意一点 不在 x 轴上 ,过原点 O作直线 AB,交 1 中轨迹 C于点 A、B,且直线 AN、BN的斜率都存在,分别为 k1、 k2,问 k1k2是否为定值？2 2【答案】 1 x y1 2 k 1k214 2 2【解析】试题分析： （1）设出点 P,利用

33、两点间的距离公式分别表示出 P到定直线的距离和到点 F 的距离的比,建立方程求得 x 和 y 的关系式,即 P 的轨迹方程 （2）设出 N,A,就 B 的坐标可知,代入圆锥曲线的方程相减后,可求得 k1k21 证明原式2试题解析：1 设点 P x,y ,依题意,有. 整理,得1. 所以动点 P 的轨迹 C的方程为1. 2 由题意,设N x1,y1 ,A x2,y2,就 B x2, y2 ,y21ab0的 1, 1. k1k2,为定值15【河北省鸡泽县第一中学2022-2022 学年高二 10 月月考】 如图,已知椭圆C:x2a2b2左焦点为F1,0,过点 F做 x 轴的垂线交椭圆于A,B 两点,且AB31 求椭圆 C的标准方程：名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 如 M,N为椭圆上异于点名师精编,欢迎下载.如是,A 的两点, 且直线AMAN 的倾斜角互补, 问直线 MN的斜率是否为定值求出这个定值；如不是,请说明理由【答案】 1 x2y21;2 1. 432试题解析 : （1）由题意可知c1,a2b21,令 xc ,代入椭圆可得