2022年高考圆锥曲线难题集粹.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高考数学圆锥曲线训练名师归纳总结 1.已知ABC的顶点 A,B在椭圆x23y24上, C 在直线l：yx2上,且 ABl第 1 页,共 18 页（）当 AB 边通过坐标原点O时,求 AB 的长及ABC的面积；（）当ABC90,且斜边 AC 的长最大时,求AB 所在直线的方程解：（）由于 ABl,且 AB 边通过点 0 0, ,所以 AB 所在直线的方程为yx设 A,B两点坐标分别为x 1,y 1 , ,y 2由2 x32 y4,得x1yx所以AB2x 1x 22 2又由于 AB 边上的高 h 等于原点到直线l 的距离所以h2,

2、SABC1AB h22（）设 AB 所在直线的方程为yxm,由x23y24,得4x26mx3 m240yxm由于 A,B在椭圆上,所以12m2640设 A,B两点坐标分别为x 1,y 1 , ,y 2,就x 1x23 m,x x 23m24,24所以AB2x 1x23226m2又由于 BC 的长等于点 0,m 到直线 l 的距离,即BC2m2所以AC2AB2BC22 m2 m10 m2 111所以当m1 时, AC 边最长,（这时12640）此时 AB 所在直线的方程为yx12.如图,椭圆 C ：x2y21 ab0的一个焦点为F（1,0）,且过点 2 0, a2b2（）求椭圆 C 的方程；（）

3、如 AB 为垂直于 x 轴的动弦,直线l ：x4与 x 轴交y A N l x 于点 N ,直线 AF 与 BN 交于点 M O F （）求证：点M 恒在椭圆 C 上；（）求AMN面积的最大值B M - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x2y21（）由题设a2,c1,从而b2a2c23所以椭圆 C 的方程为43（）（）由题意得F10, ,N4 0, ,设A m,n ,就B m,nn0,2 m2 n1 430AF 与 BN 的方程分别为：n x1m1y0,n x4m4y设M x0,y0,就有n x 01 m1y 00, n x 04m4y

4、00,由,得x 05 m8,y 03 n5n222 9 m1y A N x 2 m52 m由于2 x 0y2 05m8223F 4342m52m5O 5m823 n236B M 42m522m525 m8212 n25 m8242m2 542m52所以点 M 恒在椭圆 C 上名师归纳总结 （）设 AM 的方程为xty1,代入x2y21得3 t24y26 ty90N x 第 2 页,共 18 页43设A x 1,y 1,M x 2,y 2,就有：y 1y 23 t26 t4,y y 23 t294y A y 1y 2y 1y224y y24 323t233 t4,O F 令3 t244,就B M

5、 y 1y 24 314 31214 3112124由于4,011,所以当11,即4 ,t0时,44y 1y 2有最大值 3,此时 AM 过点 F AMN的面积SAMN1FNy 1y 23y 1y 2有最大值9 222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3.设椭圆中心在坐标原点,学习必备欢迎下载E、FA2,0、B0,1是它的两个顶点,直线y=kxk0与 AB相交于点 D,与椭圆相交于两点 . 如 ED =6 DF ,求 k 的值； 求四边形 AEBF面积的最大值；名师归纳总结 - - - - - - -22（）解：依题设得椭圆的方程为x2y21,4直线

6、AB,EF的方程分别为x2y2,ykx k02 分如图,设D x0,kx 0,E x 1,kx 1,F x2,kx 2,其中x 1x ,且x 1,x2满意方程14 k2x24,y F B 故x2x 1122E O D A x 4 k由ED6DF 知x 0x 16x2x 0,得x 016x 2x 15x 2104k2；777 1由 D 在 AB 上知x02 kx02,得x 012k2所以12k104k2,27 1化简得24k225k60,解得 k 2或 k 3 6 分3 8（ ） 解 法 一 ： 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 式 知 , 点 E,F 到 AB 的 距 离 分 别

7、 为h 1x 12kx 12212k124k2,551 4kh 2x22kx 22212k124k29 分5514k又AB2 215,所以四边形AEBF 的面积为S1AB h 1h 221541 2 212 214 k224 k22251 4 k214 k214 k当 2 k1,即当k1时,上式取等号所以S的最大值为 2 2 12 分2解法二：由题设,BO1,AO2设y 1kx ,y2kx ,由得x 20,y 2y 10,第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载故四边形 AEBF 的面积为SSBEFSAEFx22y 9 分记C 为x 22y

8、22x24y24x y 2 222 x 24y22 2222当x22y 时,上式取等号所以S的最大值为 2 2 12 分4.已知曲线x C 1：ay1 ab0所围成的封闭图形的面积为4 5 ,曲线C 的内切圆半径为2 5b3以曲线C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆M 是 l 上（）求椭圆C 的标准方程； （）设 AB 是过椭圆C 中心的任意弦,l 是线段 AB 的垂直平分线异于椭圆中心的点（1）如 MOOA （ O为坐标原点） ,当点 A在椭圆C 上运动时,求点M 的轨迹方程；（2）如 M 是 l 与椭圆C 的交点,求AMB的面积的最小值2 ab4 5,22解：（）由题意得aabb22 523yk

9、x k0,又ab0,解得a25,b24因此所求椭圆的标准方程为x2y2154（）（1）假设 AB 所在的直线斜率存在且不为零,设AB 所在直线方程为A xA,yA解方程组2 xy21,得x24202,y220k22,54AA5 k45 kykx,所以OA22 x Ay2420220k222015k2A5 k45 k4k2设M x,y,由题意知MOOA0,所以MO222 OA ,即x2y22201k2,45 k2由于 l 是 AB 的垂直平分线,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载,22014k2所以直

10、线 l 的方程为y1x,即kx,ky因此x2y2220 1x2220x25y2,y245x2224yxy2又x2y20,所以5x24y2202,故x2y2245又当k0或不存在时,上式仍旧成立综上所述, M 的轨迹方程为x2y22045（2）当 k 存在且k0时,由（ 1）得x24202,y220k22AA5 k45k由x2y21,x220k22,y2520k2,54解得M54kMOM14yx,k所以OA2x2y22015k2,AB24OA2801k2,AA4k245 k25k2解法一：由于2 SAMB1AB2OM241801k2201k2445 k254k24001k2245 k254 k2

11、440015k222216001kk22402,5k24k8112292名师归纳总结 当且仅当45 k252 4 k 时等号成立,即k1时等号成立,此时AMB面积的最小值是SAMB40 912 522 540当k0,SAMB29当 k 不存在时,SAMB1542 540第 5 页,共 18 页29- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载综上所述,AMB 的面积的最小值为 4092 2解法二：由于OA 12OM 12201 1k 2 201 1k 2 4201 5 k 5k 2 4 k20 9,2 24 5 k 5 4 k又OA 12OM 1

12、2OA OM 2,OA OM 409,2 2当且仅当 4 5 k 5 4 k 时等号成立,即 k 1 时等号成立,此时AMB 面积的最小值是 SAMB 409当 k 0,SAMB 1 2 5 2 2 5 402 9当 k 不存在时,SAMB 15 4 2 5 402 9综上所述,AMB 的面积的最小值为 40925.已知抛物线 C ：y 2 x ,直线 y kx 2 交 C 于 A,B 两点, M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交C 于点 N C 在点 N 处的切线与AB 平行；2x2kx20,（）证明：抛物线（）是否存在实数k 使NA NB0,如存在,求k 的值；如不存在,说

13、明理由解法一：（）如图,设A x 1,2 x 1,B x2,x22,把ykx2代入y22 x 得M A 由韦达定理得x 1x2k,x x21,y 2xNxMx 12x2k,N 点的坐标为2 k k,4 8B 2 41 N x 设抛物线在点N 处的切线 l 的方程为yk2m xk,O 1 84将y22 x 代入上式得2x2mxmkk20,48直线 l 与抛物线 C 相切,名师归纳总结 2 m8mkk22 m2 mk0k2mk20,mk 即 lAB4第 6 页,共 18 页48,就 NANB ,又M 是 AB 的中点,（）假设存在实数k ,使NA NB1x 2|MN|1|AB 由（）知y M1 k

14、x 12kx 221 k x 1y 1y 22222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载22 x 得x ,第 7 页,共 18 页1k24k22224MNx 轴,|MN| |yMyN|k22k2k281648又|AB|1k2|x 1x 2|1k2x 1x 224 x x 21k2k24 11k21k21622k28161k21k216,解得k24即存在k2,使NA NB0解法二：（）如图,设A x 1,2 x 1,B x 22,x 2,把ykx2代入y2x2kx20由韦达定理得x 1x 2k,x x21y42xNxMx 12

15、x2k,N 点的坐标为2 k k,4 8y22 x ,4抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 4kk ,lAB4（）假设存在实数k ,使NA NB0由（）知NAx 1k,x 1 2k2,NBx 2k,x 2 2k2,就4848NA NBx 1kx 2k22 x 1k222 x 2k24488x 1kx 2k42 x 1k22 x 2k2441616x 1kx 2k14x 1k 4x 2k444x x 2kx 1x 2k214x x 2k x 1x 2k241641kkk214 1kkk24216241k233k20,164- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

16、 - 6.抛物线1k20,33k2学习必备2欢迎下载x2,y00,过点 M 的一条直线交抛物线于0,解得k164即存在k2,使NA NB0x 0,y0y 0y2 x 和三个点M x 0,y0、P0,y 0、N0A 、 B 两点, AP、BP的延长线分别交曲线C 于 E、FAFNyMB（1）证明 E、 、N三点共线；P（2）假如 A、 B 、 M 、 N 四点共线,问：是否存在0y ,使以线段 AB 为直径的圆与抛物线有异于A 、 B 的交点？假如存在,求出0y 的取值范畴, 并求出该交点到直线AB 的距离；如不存在,请说明理由E名师归纳总结 22（1）证明：设2 A x x 1、B x2,2

17、x 2,E xE,yE、B xF,yFOx第 8 页,共 18 页就直线 AB 的方程：y2 x 12 x 2xx 12 x 1x 1x 2x x 2即：yx 1x2xx x 2因M x0,y0在 AB 上,所以y 0x 1x2x 0又直线 AP 方程：y2 x 1x 1y 0xy 00由y2 x 1x 1y 0xy 0得：x22 x 1x 1y 0xy 0x2y所以x 1x E2 x 1x 1y 0xEy 0,y E2 y 0x 12 x 1同理,x Fy 0,y F2 y 0x 22 x 2所以直线 EF 的方程：yx 1x 2y x2 y 0x x 2x x 2- - - - - - -

18、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备y 0,y 0欢迎下载y0,y0令xx 得yy0x 1x2x 0y0,Bx x 2将代入上式得yy ,即 N 点在直线 EF 上所以E F N 三点共线（2）解：由已知A、 、M、N共线,所以A以 AB 为直径的圆的方程：x2yy 02y 00由x2yy02y0得y22y 01y2 y 0y 0x2y所以yy （舍去）,yy 01要使圆与抛物线有异于A B 的交点,就y010所以存在y 01,使以 AB 为直径的圆与抛物线有异于A B 的交点T x T,y TNyMCBx就yTy01,所以交点 T 到 AB 的距离为y 0y Ty 0y

19、 0117.如图,矩形ABCD 的两条对角线相交于点M2 0, , AB 边所在直线的方程为x3y60点T 11, 在 AD 边所在直线上T DO（I）求 AD 边所在直线的方程；（II）求矩形 ABCD 外接圆的方程；（III）如动圆 P 过点N 2 0, ,且与矩形 ABCD 的外接圆外切, 求动圆 P 的A圆心的轨迹方程解：（I）由于 AB 边所在直线的方程为x3y60,且 AD 与 AB 垂直,所以直线AD 的斜率为3 又由于点T 11, 在直线 AD 上,所以 AD 边所在直线的方程为y13x1即 3xy20（II）由x3 y6 0,解得点 A的坐标为 0,2 = 02,3 xy由于

20、矩形 ABCD 两条对角线的交点为M2 0, 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心名师归纳总结 又AM2020222 2第 9 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 2从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 x 2 y 8（III）由于动圆 P 过点 N ,所以 PN 是该圆的半径,又由于动圆 P 与圆 M 外切,所以 PM PN 2 2,即 PM PN 2 2故点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线的左支由于实半轴长 a 2,半焦距 c 2所以虚半轴长 b c 2 a 2 22 2从而动圆 P

21、 的圆心的轨迹方程为 x y1 x22 28. 如 图 , 已 知 F 10, 直 线 l x 1, P 为 平 面 上 的 动 点 , 过 点 P 作 l 的 垂 线 , 垂 足 为 点 Q , 且名师归纳总结 Q P Q FF P F Ql y F O y x P x （）求动点P 的轨迹 C 的方程；O （）过点 F 的直线交轨迹 C 于 A,B两点,交直线 l 于点 M （1）已知MA1AF ,MB2BF ,求12 的值；11 120,（2）求 MAMB 的最小值解法一：（）设点P x,y,就Q 1,y,由 QP QFFP FQ 得：x1 0 2,yx1,y 2,y,化简得C:y24x

22、 （）（1）设直线 AB 的方程为：xmy1 m0设A x 1,y 1,B x2,y2,又M1,2,m联立方程组2 y4 x,消去 x 得：my 1,y24my40, 4 m2xy 1y 24 m,Q B y y 24M F 由MA1AF ,MB2BF 得：A y 121y 1,y222y2,整理得：mm第 10 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 112,212 my 2,FQ学习必备PF欢迎下载my 1122211my 1y 222y 1y2my y2FP FQ 得：PQ0,22 4 m0m4解法二：（）由 QP QF名师归纳总结 P

23、QPF PQPF0,C 的方程为：y24x 第 11 页,共 18 页PQ2PF20,PQPF 所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹（）（1）由已知MA1AF ,MB2BF ,得120 就：MA1AF MB2BF1A,B ,y My 2y M过点 A,B分别作准线 l 的垂线,垂足分别为就有：MAAA 1AF MBBB 1BF0 由得：1AFAF,即12BFBF212 m2y 1（）（2）解：由解法一,MA MB12 my y 1 2y My 1y 22 y M12 m424m4m2 m12 m 44m2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 42

24、m21 2 m学习必备欢迎下载3 . 4 22m21162 m当且仅当2 m1,即m1时等号成立,所以MAMB 最小值为 16m29.已知椭圆 C:x2y2=1ab 0的离心率为6,短轴一个端点到右焦点的距离为a2b23 求椭圆 C的方程 ; 名师归纳总结 设直线 l 与椭圆 C交于 A、B 两点,坐标原点O 到直线 l 的距离为3 ,求 AOB 面积的最大值 . 2第 12 页,共 18 页解：（）设椭圆的半焦距为c ,依题意c6 3,b1,所求椭圆方程为x2y21a3a3,（）设A x 1,y 1,B x 2,y 2（1）当 ABx轴时,AB3（2）当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线AB

25、的方程为ykxm 由已知m23,得2 m3 4k211k2把 ykxm代入椭圆方程,整理得3k21x26kmx32 m30,x 1x 236km,x x23 m21k213k21AB21k2x 2x 121k22 236 k m122 m13 k22 13 k2112k213 k212 m3k219k213k22 13 k21239k412k22139k2126k03212646k13k2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载F F ,原点 O 到直线当且仅当9k21,即k3时等号成立k23当k0时,AB3, 综上所述ABma

26、x2当 AB 最大时,AOB面积取最大值S1ABmax3322207 天津（ 22）（本小题满分14 分）设椭圆x2y21 ab0的左、右焦点分别为F 1,F 2,A是椭圆上的一点,AF 2a2b2AF 的距离为1OF 1M x 0,y 0处的切线3（）证明a2 b ；（）求t0,b使得下述命题成立：设圆x2y22 t 上任意点交椭圆于Q ,Q 两点,就OQ 1OQ （）证法一：由题设AF 2F F 及F 1c, ,F2 0 c, ,不妨设点A c,y,其中y0,由于点 A 在椭圆上,有c2y21,a2a2b2y21,a22 bb2第 13 页,共 18 页解得yb2,从而得到2 A c,ba,a直线AF 的方程为yb2xc,整理得2ac2 b x2acy2 b c0由题设,原点 O 到直线AF 的距离为1OF ,即c4 b2 b c2,332 4 a c将c2a22 b