2022年高等数学下册复习题库.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆高等数学下册复习题库一、填空题1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.设|a|5, |b|2,a b,就 |2 a3 | .3设a1,0, 2,b 3,1,1,就 a b = ,ab= .设向量a b满意a b3,a b1, 1,1,就a b .设 |a| 3, |b| 2, Pr jab1,就 , .过点M4,1,0且与向量a1,2,1平行的直线方程是 .设 平 面A xB yzD 0通 过 原 点 , 且 与 平 面 6x2z50平 行 , 就A, B, D .与平面xy2z60垂直的单位向量为_. 过点M

2、2,0,1且平行于向量a2,1,1及b3,0,4的平面方程是 .曲 面z2 xy2在 点 1 , 1 , 2处 的 法 线 与 平 面AxByz10垂 直 , 就A, B .过点M00,1,0 且垂直于平面3xy20的直线方程为 .球 面x2y2z29与 平 面xz1的 交 线 在 xOy 面 上 投 影 的 方 程为 .12.曲线z2 x2y2,在 xOy 平面上的投影曲线方程为 _. z113.点M02, 1,1到直线 l ：x2yz10的距离 d 是 .x2yz3014.已知两直线方程L 1:x1,L :2x22y11z,就过L 且平行L2的平面方程z31是 .名师归纳总结 15.过原点

3、且垂直于平面,32yz20的直线方程为 _. 第 1 页,共 13 页16.过点3 1, ,2 和0 ,5 且平行于 x 轴的平面方程为 _. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆17.函数zln2 y2x1的定义域为 . 名师归纳总结 18.函数zarcsin3x2y2的定义域为 . 第 2 页,共 13 页xy219.设zxyf xy 且当y0时,z2 x ,就f x . 20.函数f xy xyx2y2,就f x y , . x22 y21.设zarctanxy,就z,z. xy22.如函数zx 22 xyy ,就 3z=

4、 . y23.zxy 就 ,z,z = . yx24.如函数zy,就2 f . xx y25.已知zlnx2y2,就 dz .26.如函数zx3y xe ,就 dz . 27.设zz x y由方程exy2zez0,求z= .x28.曲线xyzx1在点 1,1,1 处的切线方程为,法平面方程为 . y229.曲面zez2xy3在点1 ,2 ,0处的切平面方程为 . 30.曲线y2xy2在点 1,2,5 处的切线方程为,法平面方程为 . z2 x31.曲面zx2y2在 2,1,3 处的法线方程为_ . 232.设f x y zlnxy22 z,就 gradf0, 1, 2 . 33.设f x y

5、z2 xy2 yz2 zx ,就 gradf1, 2, 2 . 34.设f x y zx23y25 z22 xy4y8z ,就 gradf3,2,1= . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆35.交换积分次序1dy2y2f x y dx .0y36.交换积分次序1dyyf x y dx2dy2yf x y dx = .xy2所围区域 . 001037.二次积分1dy1ex2dx . 0y38. I 3x2y dxdy_,其中 D是由两坐标轴及直线D39.y1xf x 2y2dxdy,其中 D 是由曲线yx 及直线 2y1围成D

6、的区域 . 40.设 D 是由圆x2y22 R 围成的区域,就二重积分ex 2y2dxdy . D41. Ia2x2y2dxdy_,其中D x2y22 a . D名师归纳总结 42. 设 D 为区域12 xy24,就二重积分Dsinx22 xy2y2dxdy. 第 3 页,共 13 页43.Lx2y2dx,其中 L 是抛物线y2 x 上从点 0,0 到点 2, 4 的一段弧 . 44.设 L 为直线xy1在第一象限的部分,就曲线积分Lxyds .346845.设闭曲线 L ：2 xy24,就第一类曲线积分L2x22y25ds . 46.级数n1211的和为 . n n2n47.级数的和n12n

7、1n1= . 1248.级数n0ln3 n的和为 _. n 249.设n11,当 p 满意条件时级数收敛 . np50.如lnan收敛,就 a 的取值范畴是 _. n151.an xn在x3时收敛,就a n xn在 |x| 3时 . n1n1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆52.幂级数n12 nxn的收敛区间为 . n53.级数xn22n的收敛域为 _ . nx1n1的收敛区间为 _ .4 nn154.设幂级数n0a xn的收敛半径为3,就幂级数nan155.微分方程y2y2y0的通解为 .56.微分方程y2y5y0的通解为

8、 . 57.微分方程y4y4y0的通解为 . 58.微分方程yy0的通解为 . 二、挑选题名师归纳总结 1. 设a1,2,3,b2,2,2,就 第 4 页,共 13 页（ A） ab（B）a/ /b（ C） a,b 3（D） a,b62. 向量aa a xy,az 与 x 轴垂直,就（）（ A）a x0（B）ay0（C）az0（D）ayax03. 已知 a 与 b 都是非零向量,且满意|ab| |ab ,就必有 （ A） ab（B）a/ /b（C） ab（D）ab04. 直线xy2 y1与直线xy01z1关系是 2z111A 垂直 B 平行 C 重合 D 既不平行也不垂直5. 柱面x2z0的母

9、线平行于（）（ A） y 轴（B） x 轴（C） z 轴（D） zox面6. 直线x21yz1与平面xyz1的位置关系是 11A 垂直； B 平行； C 夹角为 4； D 夹角为47. 平面1: 2xyz70与平面2:x2yz40的夹角为 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆 A 0 B 4 C 3 D 28. 平面1:10x2y2 z50与平面2:5xyz10的距离为 y22A 0 B2 C3 D32369. 空间曲线zx2y2,2在 xOy 面上的投影方程为 z5Ax2y27； B2 x5y27； C x20y27；Dz2

10、xzzz0 10.在空间直角坐标系中,方程z1x222 y 表示的曲面是 A 椭球面； B椭圆抛物面； C椭圆柱面； D单叶双曲面11. 函数zlnxy的定义域为（）（ A）x0 y0（B）x0 ,y0 或x0 ,y0（ C）x0 y0（D）x,0 y0或x0 y012.fx,yx2xyy2,就fy,1（）x（A）x2xy2（B）x2y2（ C）x2x1（D）1x24xyxy13.设f x y , 2 xxyy2,x2y20,就在 0,0 点关于f x y 的表达正确选项0,x2y20（A）连续且偏导存在（B）不连续但偏导存在（C） 连续但偏导不存在（D）不连续且偏导也不存在名师归纳总结 14

11、.以下各点中,二元函数fx y3 xy33x23y29x 的微小值点为（）第 5 页,共 13 页（A） 1,0（B） 1, 2（C） 3,0（ D） 3,215.函数fx ,y4xyx2y2的极值为（）A. 极大值为 8 B 微小值为0 C. 微小值为 8 D. 极大值为 0 16.以下各点中,二元函数fx y3 x3 y3 xy的极值点为（）A 0,1 B. 0,0（C） 1,1 D 1,0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆17.函数u2 xy z 在点P2, 1,1处沿 P 指向Q1,2, 3方向的方向导数u（）lA7

12、B.9（C）7 D9（）,就下666618.函数z2 y xe在点P1, 0处沿 P 指向Q2,1方向的方向导数zlA2 B2（C）2 D222x2z 219.设xzyf2 xz2,就zz + yz = xyA xB y C z D yf20.设Dx y|x2y2a2,y0,D 1x y|x2y2a2,y0,x0列命题不对的是： （）Ax2yd2x2ydBx2yd2xy2dDD 1DD 1C2 2x y d22 2x y dDxy2d0DD1D21.1dx1x 21x2y2dy（）00（A）3（B）2（C4（D）623322.设 D 是由 | |2, | |1所围成的闭区域,就xy2dxdy（

13、）D（ A）4 3（B）8 3（C）16 3x D （D）0 23.5x2y2d的值是 1010x2y21 B 5 C A 5 3671124.设 D 是 |x|y| 1所围成区域 , D 是由直线y1和 x轴 ,y 轴所围成的区域,就1xydxdyD名师归纳总结 A 41xydxdy B 0 C2D11nxn 4ydxdy D 2 4n第 6 页,共 13 页D125.以下级数中收敛的是（）（C）n2n 8 D2n（A）n1n 48nn 8（B）n1n 8n 8n 4n18n1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆26.以下级数

14、中收敛的是（）名师归纳总结 （A）n11（B）n1n2（C）n13 n（D）n2n3n2第 7 页,共 13 页nn n3n 2127.以下级数中发散的是（）（A）n1ln 11（B）n1（C）n1n12 （D）n13n1n1 3nnn4n28.以下级数中条件收敛的是（）（A）n11 n11（B）n11 n1 C ）n11nnn1（D）n11 nn11 nn2n29.以下级数中肯定收敛的是（）（A）n1 1 n（B）n1n 15n C ）n1 1 n（ D）n1 1 n2n2n n1n30.以下结论中,正确的为（）（A）如n1un发散, 就n11发散 un0 ； （B）如n1un收敛, 就n1

15、1发散u n0 u nunC 如n1un收敛, 就n1un1收敛； D 如n1un与n1v 发散, 就n1unvn发散1010031.设unn 1 ln11, 就（）nA un与2 u 都收敛 . B u 与2 u 都发散 .n1n1n1n1C un收敛 , 而2 u发散 . D u发散 , 2 u收敛n1n1n1n132.如n1anx1n在x2处收敛 , 就此级数在x1处（）A 条件收敛B 肯定收敛C 发散D 收敛性不确定33.设幂级数a xn的收敛半径为3, 就幂级数nanxn 11的收敛区间为（）n1n1A 2, 4 B 2, 4 C 3, 3 D 4, 2 34.如幂级数n a x的收

16、敛半径为R ,就幂级数anx2n的收敛区间为（）n1n1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆（A）R,R（B）1R ,1R（C）,（D）2R ,2R35.级数x5 n的收敛区间为（）n（D）4 ,6 xnnn1（A）（4,6）（B）,4 6（C）4 6,36.函数fx （D）n01 nex2绽开成 x 的幂级数为（）（A）n0x2 n（B）n01 nx2n（C）n0xnn .n .n .n .1x42绽开成 x 的幂级数是（）37.函数fx2nx（D）1 n x（A）x2n（B）1n x2n（C）x2n1n1n2n2三、运算题1

17、. 求以下函数的偏导数（1）zx222 xy3 y ；（ 2）z2 xy2；xy（3）zxx；（ 4）uxyz；y2y（5）zlnxlny；（ 6）uxz. 2求以下函数的全微分：（1）zyx；2；z2；（2）zxyexy；2；2 z. （3）（4）yyzzx2yx2y2（5）ux2y2（6）ulnx2y3.运算以下偏导数或高阶偏导数名师归纳总结 1 设z2 xy fx2,y2,xy ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求z2z,2z,2z；第 8 页,共 13 页x2x yy2y x2 x y,其中 f 具有二阶连续偏导数,求22 设函数zf2z,2z；,x2x y2 y3设函数zf2xy ys

18、inx,其中 f 具有二阶连续偏导数,求2z2z,2z,x2x y2 y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆4设x2yz2xyz0,求z,z；xy名师归纳总结 5设x2y22 zyfz,其中 f 可导,求z,z; 第 9 页,共 13 页yxy6已知方程x2y22 z4 z0确定隐函数zz x y ,求z,z；xx27设xy2z01,求dy dx,dz dx；x 2yz 28设xu eusinv,求u,u,v,v. yu eucosvxyxy4.按要求运算以下各题. 1 求抛物面zx2y21 在点 2,1,4 处的切平面及法线方

19、程; 2 求曲面x2y2z 21上平行于平面xy2z0的切平面方程 ; 3 求曲线x1tt,y1tt,zt2在t2处的切线与法平面方程; 4 求曲线x2y2z2a2在点M00,0, a 处的切线与法平面方程; x2y2ax5 求函数u2 x2 y2 z 在曲线xt,yt2,z3 t 上点 1,1,1处沿曲线在该点的切线正方向的方向导数; 6 求函数ux2y22 z 在点M11,0,1,M20,1,0的梯度之间的夹角; 5. 运算以下重积分: 1 运算重积分Dxydxdy,其中Dx y|0x1,0yx; 2 Dydxdy,其中Dx y , |0x1, 0yx; 3 运算Dy 2e dxdy ,其

20、中 D 由yx y1及y 轴所围成 ; 4 D|y2 x dxdy,其中 D 为1x1, 0y1；52 2x y dxdy,D: |x|y| 1; D6 |x|y dxdy,D: |x|y| 1; D- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆7 Dex2y 2dxdy , 其中 D 是由圆2 xy22 R 所围成的区域 ; 8 D2 y dxdy 2 x,其中 D 是由圆x 2y222 x 所围成的区域 ; 2; 9 Dln1x2y2 dxdy, D 是由圆x2y24及坐标轴所围的在第一象限内的闭域10 Dsinx22 y dxdy

21、,其中 D 是由xy22,x 2y242,yx ,yx 所围成的在第一象限内的闭区域. 6运算以下的曲线积分（1）Lx22 y ds ,其中L xacos , t yasin 0t2 ; （2）运算曲线积分x2y2z2ds,其中为螺旋线xacos , t yasint,zkt 上相应于t从 0 到 2的一段弧 ; 为球面2 xy22 za 与平面yx 的交线 ; （3）2y22 z ds,其中4Lxydx , 其中 L 为抛物线y2x 上从A 1, 1到B 1,1的一段弧 ; 5Lydxsinxdy ,其中 L 为ysinx 0x与x 轴所围成区域的闭曲线,依顺时针方向 ; 名师归纳总结 6

22、Lxy dxxy dy,其中 L 为圆周x2y22 a ,依逆时针方向; 到点O0,0第 10 页,共 13 页x2y27运算ABOexsinymy dxexcosym dy ,其中 ABO 为由点A a ,0的上半圆周x22 yax ; 8L2 xy dy2 x ydx,其中 L 为圆周2 xy22 a 的顺时针方向 ; x2y21与位于第9L1y dxxsin eydy,其中 L 是由位于第一象限中的直线段xy2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆二象限中的圆弧x2y21 构成的曲线,方向由A1, 0到B0,1再到C1, 0

23、; 10 L2xyx3dxx2xxy3dy,其中 L 是从点A1,0沿上半圆周x2Oy21到点B1,0的弧段；x dx2yeydy ,其中L为曲线ysinx 上由原点0, 0到11 L2xy3 sinA 2, 0的一段弧 .7.判别以下级数的敛散性1 115n1n1; 2 n13 nnn0；n1. 1 66 11451n 3 n11sin2; 4 n111nanna6 n1n 5n 4n 3；sin5 n1n 3; nn 2n 38 n11n 3. 7 n1n1n 2; n en.假如是收敛的 ,是肯定收敛仍是条件收敛. 8.判别以下级数是否收敛1 n1n 11; 2 n1n 11a0; 3

24、nnn nalnn19. 求以下幂级数的收敛域名师归纳总结 1 n1x2n； 2 n1n 12 xn1. 第 11 页,共 13 页2 n2 n110.求以下级数的和函数. 1 求幂级数n1xn1的收敛域及和函数；n n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆2求幂级数nx2n1的收敛域及和函数,并运算级数n12n1n 14的和；1 2 n13求幂级数n1n nx 的收敛域及和函数,并运算级数nn的和 . ; ;n 1 211. 按要求将以下函数绽开成幂级数. 1 将函数f x21x3绽开成 x4的幂级数,并确定其收敛区间42 将函

25、数f x21x3绽开成 x2的幂级数,并确定其收敛区间; 43 将函数f x 11x绽开成x3的幂级 数,并确定其收敛区间;4 将函数f x ln3x2 x在x1处绽开成幂级 数, 并确定其收敛区间5 将函数f x arctan1x绽开成 x 的幂级 数,并确定其收敛区间. 1x12.求以下微分方程的通解1 d yy xt a ny ; x0; 2 y2x2 dy dxxydy; ; d xdx3 dy2yx5 4; 4 xyylny0; dx2xy5 tanxdy1y; 6 y1 xysin x x; dx7 dy2xy4x; 8 dy dx2y5x12dxx19 y26 x y2y2 xy . 10 y3 xy13.求以下二阶线性微分方程的通解；名师归纳总结 1 y2y3y0; 2 y4y