2022年高数第二章极限与连续讲稿.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆章节名称其次章极限与连续1、懂得极限的定性定义（包括左极限、右极限）；2、娴熟把握极限的四就运算法就和常用的求极限方法；教学目的3、娴熟把握两个重要极限并会利用它求极限；4、懂得无穷小概念,把握无穷小的运算性质及与无穷大的关系、无穷小阶的比较；5、懂得函数连续性概念,会判别函数的间断点重点：极限的定性定义；极限的四就运算法就和常用的求极限方法；两个重要极限及其应用无穷小概念；函数连续性概念教学分析难点：极限定义的懂得及极限的运算无穷小定义,函数连续性的懂得教学方式指导练习法辅以直观演示法教学课时板书设计：名师归纳总结

2、- - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆教学内容备 注一、极限概念的引入例 1、抛物线yx2,直线x1及 x 轴围成的曲边三角形的面积的运算二、数列的定义定义:定义在正整数集上的函数xnfn 称为数列,记为nx；x 1,x 2,nx,项,1 其中的每个数称为数列的nx 称为通项 一般项 ；数列 1记为三、数列的极限观看数列11612当n时的变化趋势.32 nn当 n 无限增大时 , x 是否无限接近于某一确定的数值的描述（导出极限的定义）定义设 a 为常数,如对于任意给定的正数不论它多么小,总存在正数N ,使

3、得对于nN时的一切nx ,恒有x 收敛于 a ,记为xna称常数 a 是数列nx 的极限,或者称数列lim nxna ,或xnan.假如数列没有极限,就说数列是发散 的. 几何说明 :a2aax3,xx2x 1xN1axN2 内当nN 时,全部的点x n都落在 a,只有有限个 至多只有N 个落在其外.四、用定义证明极限例 2：试证lim nna1a0,a1五、数列收敛的充要条件名师归纳总结 定理 ：数列nx收敛于 a 的充要条件是他的全部子列均收敛于a . 第 2 页,共 10 页例 5：试证数列cosn不收敛；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不

4、思就惘,思而不学就殆一、 x 时函数的极限1、定义定义：设fx在xa上有定义, A 为常数；如0,X0, 使得xX,恒有fx A.就称x:时函数fx有极限为 A ；记为lim xfxA说明几何意义：2.另外两种情形 :x情形:x limfxA,0使当0 ,X,0使当xX 时 ,恒有fx A.x情形XxX 时,恒有fx A.lim xfxA,0例 1注：lim xfxAlim xfx lim xfxA .证明x limcosx0.x二、xx0时函数的极限1、 导入例 3求自由落体在0t 时的瞬时速度v 0t2、 定义定 义 : 设yfx在 x 的 某 一 去 心 邻 域 上 有 定 义 , A为

5、 常 数 ；就说0,0,使当0x0x时,恒有fx A.xx 0时函数f x 有极限 , 极限为 A 记作x lim x 0fxA或fx A 当xx 0几何说明：名师归纳总结 当x 在x 0的去心邻域时,函数yfx 图形完全落在以直第 3 页,共 10 页线yA 为中心线,宽为2的带形区域内.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆yyf xAAA例 4ox 0x0xx00x,x后,越小越好.证明:lim x x 0sinsin明显找到一个.例 5证明3 x lim x 1 x13.13.单侧极限 :名师归纳总结 左极限,0,0使当x

6、 0xx 0时 ,恒有fx A.第 4 页,共 10 页记作xlim x 00fxA或fx 00 A .Axx 00 ,使当x 0xx0时,恒有fx 右极限0 ,记作xlim x 00fxA或fx00 A .xx 0fx00fx00 A .定理 ：lim x x 0fxA例 6：试证函数fxx e,x1当x1时,无极限sinx,x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆一、极限运算法就定理：设limuxA ,limv x B,就0； 1 limux v x AB;2limux vxAB ;3limux A,其中B0.vx B推论

7、1假如limu x A 存在,而c 为常数,就limcu x cA .（常数因子可以提到极限记号外面.）推论 2假如limu x A ,而n 是正整数,就limux nAn.推论 3 对多项式Pxa 0xna 1xn1an及有理函数R x P x a0xna 1xn1a n,当x0x时,有Qx b 0xmb 1xm1b mx lim x0Px Px0,x lim x 0R xx lim x 0Px P x 0R x0Q x 0x lim x 0QxQx 0（如Q x 0,0就商的法就不能应用.）二、求极限举例3例：limx 2 x 2 x3 x 15 . 多项式与分式函数代入法求极限lim x

8、 3 x x2 39 .（0 ）0 消去零因子法求极限2 3n 2 n 1 2 x 5lim n 2 n 23 . 型 lim x 3 x 22 x 无穷小因子分出法求极限当 a 0 0 , b 0 ,0 m 和 n 为非负整数时有一. 夹逼准就1、夹逼准就准就 假如数列 x , ny n 及 nz 满意以下条件 : 1 y n x n z n n 1 2, 3, 2 lim n y n a , lim n z n a ,就 nlim xn a . 上述数列极限存在的准就可以推广到函数的极限名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - -

9、 - - 学而不思就惘,思而不学就殆准就假如 当xU0 x 0或xM时,有 1gxfx hx,xn2limx x 0 xgxA,limx x 0 xhxA ,那末limx x 0 xfx= A. 准就和准就 称为夹逼准就 . 2、利用夹逼准就求重要极限1 lim x 0sinx1x3、利用重要极限1 和夹逼准就求极限例 1lim x 0xx.例 2. lim nnsin2, tann例 3. lim x 01cosx.例 4 lim x1cosx.x2x2例 5. lim n2sinn22.1n2例 6. 设abc0, xnnanbncn求lim n例 7. 设a1, 试证 : 对任何正整数k

10、 有lim nnk0an二、 .单调有界准就1. 准就单调有界数列必有极限. 几何说明 : 利用单调有界准就证明x 1 1x2nx3xnxn1A2Mx1收敛,得到重要极限nlim n 11nenlim x 11xex2. 利用重要极限和极限准就求极限名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆例 8. lim n112n.n例 9 lim x12x.3x2例 10 lim x1sinxx.x0 有极限 , 并求出该极限2,3,4,例 11. lim nn2n2211n.n例 12 试证xxanan

11、.例 13. 设a0 ,1x0,且x1x n1xa1,n2n试证数列xn收敛 , 并求其极限 . 无穷小与无穷大1、定义： 如对0,0 或X0, 使得当0xx 0 或 xX , 恒有fx , 就说函数fx是x0x 或 x 时的无穷小2.无穷小的运算性质: 定理 2.6 在同一过程中 ,有限个无穷小的代数和仍是无穷小；定理 2.7 有界函数与无穷小的乘积是无穷小量；推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 2 有限个无穷小的乘积是无穷小. 定理 2.8 一个有极限、但极限不为零的函数去除无穷小所得的商为无穷小；定理 2.9 lim x x0fxAfxAx,其中x 是当xx 0时的无穷小3、无

12、穷大肯定值无限增大的变量称为无穷大. 定义 ：如对于M0不论它多么大 , 都M0 或X0, 使得当或为xx 00xx 0 或 xX , 恒有 , fx ,就称函数fxx时的无穷大 ,记作x lim x 0fx或lim xfx.特别情形：正无穷大,负无穷大名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆x lim x 0 xfx或x lim x 0 xfx留意 : 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; .2. 切勿将lim x x0fx认为极限存在.3. 无穷大是一种特别的无界变量,但是无界变量未必是无

13、穷大. 例如,当x0时,y1sin1是一个无界变量,但不是无穷大xx三、无穷小与无穷大的关系定理 2.10： 1 如limffx0,就limf10；f1x 2 如limx ,且fx0,就limx一、无穷小的比较名师归纳总结 定义 :设,是同一过程中的两个无穷小,且.0;第 8 页,共 10 页 1 假如lim,0就说是比高阶的无穷小,记作o2假如limCC0 ,就说与是同阶的无穷小;.特别地:假如lim,1就称与是等价的无穷小;记作;3假如limkCC0,k0 ,就说是的k阶的无穷小常用等价无穷小:当x0时,sinxx ,arcsinxx,tanxx ,arctanxx ,ln1xx,ex1x

14、,1cosx1x2.2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆一、函数的连续性 1.函数的增量设函数fx 在Ux 0 内有定义,xUx 0,.xxx 0,称为自变量在点x 0的增量.x 的增量yfxfx 0,称为函数fx 相应于2.连续的概念定义 :设函数fx 在Ux 0内有定义 , 且lim x0y0,那末就称函数fx在点x0连续 ,并称x为f x的连续点 .否就称x为f x 的间断点 . fx 0.定义:0 ,0使当xx 0时,恒有fx3.单侧连续如fx 00 xfx0,点x 0处左连续;fx 在x 0处既左连续又右连续.x 0

15、f处右连续如f0 x0,点x 0.函数fx 在0处连续是函数4.连续函数与连续区间例 1 已知函数fx xsinx,bx0 ,a,b为何值时fx 在x0连续；x a ,1 sin xx0 .x0争论1）a,b为何值时,lim x 0fx存在； 2）5、函数的间断点 跳动间断点假如fx在点x0 处左,右极限都存在,但fx 00 fx 00 ,就称点x 0为函数fx 的跳动间断点.可去间断点假如fx在点x0处的极限存在,但x lim x 0fxAfx 0,或. fx在点x0处无定义就称点x0为函数fx 的可去间断点.第一类间断点 :跳动间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 其次类间断点假如fx在

16、点x0 处的左、右极限至少有一个不存在 ,就称点x0 为函数fx 的其次类间断点.二、函数连续性的判定定理名师归纳总结 定理 2.18 假如f x和gx都在0x 点连续,就第 9 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆fxgx,fxgx,fx gx00都在x 连续；gx 定理2.19 ：假如fuxx在x 处连续,u0x 0,又yfu在点u 处连续,就复合函数y在x 处连续；定理 2.20 严格单调的连续函数的反函数是严格单调的连续函数；定理 2.21 初等函数在其有定义的“ 区间内” 到处连续；三、连续在极限运算中

17、的应用定理 2.22设fx在 点u 处连续,又limfxu 0就limfx flimx u0；例 8 试证lim x 0loga1x1xlna例 9 试证lim x 0axx1lna例 10 试证lim x 0 1x1x四、闭区间上连续函数的性质1、有界性定理 2.23 （有界性）闭区间上的连续函数必有界2、 最值性定义 2.11 假如在区间 I 上存在点,使得当 x I 时,恒有f f x f f x 就称 f 为 f x 在区间 I 上的 最小（大）值 ；定理 2.24 （最大最小值存在定理）闭区间上的连续函数必有最小值和最大值；3、介值性定理 2.25 （零点存在定理）设函数ffx闭区间 a,b上的连续,且fafb0,就至少存在一点a,b使得0；定理 2.26 （介值定理）闭区间上的连续函数肯定能取得介于最小值和最大值之间的任何值；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页