2022年高考真题数学.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2022 年一般高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学留意事项考生在答题前请仔细阅读本留意事项及各题答题要求1本试卷共4 页,均为非挑选题第 1 题第 20 题,共 20 题；本卷满分为160 分,考试时间为 120 分钟；考试终止后,请将本试卷和答题卡一片交回；2答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用 题卡的规定位置；0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答3请仔细核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符；4作答试题,必需用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,

2、在其他位置作答一律无效；5如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清晰,线条、符号等须加黑、加粗；参考公式：样本数据x x2,xn的方差s21inx ix2,其中x1inx i 第 1 页,共 18 页 - - - - - - - - - n1n1柱体的体积 VSh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高锥体的体积V1Sh,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高3一、填空题：本大题共14 小题,每道题5 分,共计70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合A 1,0,1,6,Bx x0,xR,就 AIB. 2已知复数 a2i1i的实部为 0,其中 i 为虚数单位,就实数a 的值是. 3下图是一个算法

3、流程图,就输出的S 的值是. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4函数y76xx 的定义域是 2. 5已知一组数据 6,7, 8,8,9,10,就该组数据的方差是. 6从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参与理想者服务,就选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是. 22 y7在平面直角坐标系 xOy 中,如双曲线 x 2 1 b 0 经过点（ 3, 4,就该双曲线的b渐近线方程是. *8已知数列 a n n N 是等差数列,S 是其前

4、n 项和 .如 a a 5 a 8 0, S 9 27,就 S 的值是. 9如图,长方体 ABCD A B C D 的体积是 120, E 为 CC 的中点,就三棱锥 E-BCD 的体积是. 10在平面直角坐标系 xOy 中, P 是曲线 y x 4 x 0 上的一个动点,就点 P 到直线xx+y=0 的距离的最小值是 . A 处的切线经过点 （-e, 第 2 页,共 18 页 11在平面直角坐标系xOy 中,点 A 在曲线 y=lnx 上,且该曲线在点-1e 为自然对数的底数） ,就点 A 的坐标是 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

5、- - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -12如图,在ABC中, D 是 BC 的中点, E 在边 AB 上, BE=2EA,AD 与 CE 交于点 O .如uuur uuur AB AC6uuur uuur AO EC,就AB AC的值是. . 13已知tan2,就sin2 4的值是3tan414设 f x , g x 是定义在 R 上的两个周期函数,f x 的周期为 4,g x 的周期为 2,且k x 2,0 x 1f x 是奇函数 .当 x 0, 2 时,f x 1 x 1 2,g x 1 ,1 x 2,2其

6、中 k0.如在区间 0,9上,关于 x 的方程 f x g x 有 8 个不同的实数根,就 k 的取值范畴是. 二、解答题：本大题共 6小题,共计 90分请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 14 分）在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c（1）如 a=3c,b= 2 ,cosB=2,求 c 的值；3（2）如sin A cos B,求 sin B 的值a 2 b 216（本小题满分 14 分）如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中, D,E 分别为 BC,AC 的中点, AB=BC求证：（ 1）A1B1 平面 DEC1；（2）

7、BEC1E细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -17（本小题满分 14 分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆 C:x2y21 ab0的焦点为 F1（ 1、0）,a2b2F2（1,0）过 F 2 作 x 轴的垂线 l ,在 x 轴的上方, l 与圆 F2:x12y242 a 交于点 A,与椭圆 C 交于点 D.连结 AF 1 并延长交圆 连结 DF 1已知 DF 1=5 2（1）求椭圆 C 的标

8、准方程；（2）求点 E 的坐标18（本小题满分 16 分）F 2于点 B,连结 BF2交椭圆 C 于点 E,如图,一个湖的边界是圆心为 O 的圆,湖的一侧有一条直线型大路 l,湖上有桥 AB（AB是圆 O 的直径） 规划在大路 l 上选两个点 P、Q,并修建两段直线型道路 PB、QA规划要求 :线段 PB、QA 上的全部点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径已知点 A、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD（C、D 为垂足）,测得 AB=10,AC=6, BD=12（单位 :百米）细心整理归纳 精选学习资料 （1）如道路 PB 与桥 AB 垂直,求道路PB 的长； 第 4 页,共 18

9、 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）在规划要求下,P 和 Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下,如道路PB 和 QA 的长度均为d（单位：百米） .求当 d 最小时, P、Q 两点间的距离19（本小题满分 16 分）设函数f xaxb xc, , , a b cR、f x 为 f（x）的导函数（1）如 a=b=c,f（4）=8,求 a 的值；（2）如 a b,b=c,且 f（x）和f x 的零点均在集合3,1,3

10、中,求f（ x）的微小值；（3）如 a 0,0 b , 1, c 1,且 f（x）的极大值为 M,求证 :M42720（本小满分 16 分）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”. *（1）已知等比数列 an n N 满意：a a 4 a 5 , a 3 4 a 2 4 a 4 0,求证 :数列 an为“M 数列” ；1 2 2（2）已知数列 bn 满意 : b 1 1,其中 Sn 为数列 bn 的前 n 项和S n b n b n 1求数列 bn的通项公式；设 m 为正整数,如存在“M 数列” cnnN*,对任意正整数k,当 km 时,都有ck 剟 b kck1成立,求 m 的最

11、大值数学 附加题 21【选做题】此题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答如多做,就按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -骤A. 选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分10 分）已知矩阵A3122（1）求 A2；（2）求矩阵 A的特点值 . B.选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10分）sin43. 在

12、极坐标系中,已知两点A3,4,B2,2,直线 l的方程为（1）求 A,B两点间的距离；（2）求点 B到直线 l的距离 . C.选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10分）设 x R ,解不等式 | |+|2 x 1|2 . 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤n 2 n *22. （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 设 1 x a 0 a x a x L a x , n4, n N . 已 知2a 3 2 a a . （1）求 n的值；（ 2）设 1 3 na b 3,其中 a b N ,

13、求 *a 23 b 的值 . 223.（本小题满分 10分）在平面直角坐标系 xOy中,设点集 A n 0,0,1,0,2,0, , n ,0,B n 0,1, ,1, C n 0,2,1 ,2,2,2, L , ,2, n N .令 M n A n U B n U C n .从集合 M n中任取两个不同的点,用随机变量 X表示它们之间的距离. （1）当 n=1时,求 X的概率分布；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - -

14、- - - - - -2022 年一般高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学答 案一、填空题：此题考查基础学问、基本运算和基本思想方法.每道题 5分,共计 70分. 1.1,69.10 2.2 10.4 3.5 4.1,712.35.5 313.6.7 107.y22x8.16 11.e, 1214.1 3,104二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础学问,考查运 算求解才能 .满分 14分. 解：（1）由于a3 , c b2,cosB2 3,即c21. 由余弦定理cosBa22 cb2,得23 2c2222ac32 3cc3所以c3. sinB,所

15、以 cos B2sinB . 3（2）由于sin aAcosB,2b由正弦定理aAbB,得cos B2 bsinsinb2B4 5. 从而2 cosB2sinB2,即2 cosB4 1cos2B ,故cos由于 sinB0,所以 cosB2sinB0,从而cosB2 5. 5因此sinBcosB2 5. 2516.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础学问,考查空间想象才能和推理论证才能 .满分 14 分. 证明：（1）由于 D,E 分别为 BC,AC 的中点,所以 ED AB. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AB A1B1,所以 A1B1 ED. 细心整理

16、归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -又由于 ED. 平面 DEC1, A1B1 平面 DEC 1,所以 A1B1 平面 DEC 1. （2）由于 AB=BC,E 为 AC 的中点,所以 BEAC. 由于三棱柱 ABC-A1B1C1 是直棱柱,所以 CC1平面 ABC. 又由于 BE. 平面 ABC,所以 CC1 BE. 由于 C1C. 平面 A1ACC1,AC. 平面 A1ACC1,C1CAC=C,所以

17、BE平面 A1ACC1. 由于 C1E. 平面 A1ACC1,所以 BEC1E. 17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础学问,考查推理论证才能、分析问题才能和运算求解才能 .满分 14 分 . 解：（1）设椭圆 C 的焦距为 2c. 由于 F11,0,F 21,0,所以 F 1F 2=2,c=1. 又由于 DF 1=5 2,AF 2x 轴,所以 DF 2=DF2F F252223,1222因此 2a=DF 1+DF 2=4,从而 a=2. 由 b2=a2-c2,得 b2=3. 因此,椭圆C 的标准方程为x2y21. 43（2）解法一：细

18、心整理归纳 精选学习资料 由（ 1）知,椭圆C：x2y21,a=2, 第 8 页,共 18 页 43由于 AF 2 x 轴,所以点A 的横坐标为1. 将 x=1 代入圆 F2 的方程 x-1 2+y2=16,解得 y= 4. 由于点 A 在 x 轴上方,所以A1,4. 又 F1-1,0,所以直线AF1：y=2x+2. 由y2x2216,得5x26x110,x2 1 y解得x1或x11. 5将x11代入y2x2,得y12,55 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -

19、 - - -因此B 11,12.又 F 21, 0,所以直线BF2：y3 4x1. 55由y3 4x1,得7x26x130,解得x1或x13. x2y217431. 3. 又由于 E 是线段 BF2 与椭圆的交点,所以x将x1代入y3 4x1,得y3.因此E 1,22解法二：由（ 1）知,椭圆C：x2y21.如图,连结EF 1. 43由于 BF 2=2a,EF 1+EF2=2a,所以 EF1=EB,从而 BF 1E=B. 由于 F2A=F 2B,所以 A=B,所以 A=BF1E,从而 EF 1 F 2A. 由于 AF 2 x 轴,所以 EF 1x 轴. x1y3. 3. 由于 F1-1,0,由

20、x2y21,得y243又由于 E 是线段 BF2 与椭圆的交点,所以2因此E 1,3. 218.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础学问,考查直观想象和数学建模及运用数学学问分析和解决实际问题的才能 .满分 16分. 解：解法一：（ 1）过 A作 AEBD,垂足为 E. DEBEAC6,AECD8. 由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,由于 PBAB,细心整理归纳 精选学习资料 所以cosPBDsinABE84. 第 9 页,共 18 页 105 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - -

21、 - - - - - - - - - - - - -所以PBcosBD1215. PBD45因此道路 PB的长为 15（百米） . （2）如 P在D处,由（ 1）可得 E在圆上,就线段BE上的点（除 B, E）到点 O的距离均小于圆 O的半径,所以 P选在 D处不满意规划要求 . 2 2如 Q在 D处,连结 AD,由（ 1）知 AD AE ED 10,2 2 2从而 cos BAD AD AB BD 7 0,所以 BAD为锐角 . 2 AD AB 25所以线段 AD上存在点到点 O的距离小于圆 O的半径 . 因此, Q选在 D处也不满意规划要求 . 综上, P和Q均不能选在 D处. （ 3）先

22、争论点 P的位置 . 当 OBP90 时,在PPB中,PBPB15. 由上可知, d15.再争论点 Q的位置 . 由（ 2）知,要使得2QA15,点 Q只有位于点 C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15 时,CQQA2AC152623 21.此时,线段 QA上全部点到点 O的距离均不小于圆O的半径 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -综上,当 PBAB,点 Q位于点 C右侧,且 CQ= 3

23、 21时, d最小,此时 P,Q两点间的距离PQ=PD+CD +CQ=17+ 3 21. 因此, d最小时, P,Q两点间的距离为 17+3 21（百米） . 解法二：（ 1）如图,过 O作OH l,垂足为 H. 以 O为坐标原点,直线 OH为y轴,建立平面直角坐标系 . 由于 BD=12,AC=6,所以 OH =9,直线 l的方程为 y=9,点 A,B的纵坐标分别为 3,- 3. 由于 AB为圆 O的直径, AB=10,所以圆 O的方程为 x2+y2=25. 从而 A（ 4,3）, B（- 4,- 3）,直线 AB的斜率为3 4. . 由于 PBAB,所以直线 PB的斜率为4,3直线 PB的

24、方程为y4x25. 33所以 P（ - 13, 9）,PB 134293215因此道路 PB的长为 15（百米） . （2）如 P在D处,取线段 BD上一点 E（- 4,0）,就 EO=45,所以 P选在 D处不满意规 划要求 . 如 Q在 D处,连结 AD,由（ 1）知 D（- 4,9）,又 A（4,3）,所以线段 AD：y3x6 4 剟 x4. 321522 32 45,4在线段 AD上取点 M（3,15 4）,由于OM4所以线段 AD上存在点到点 O的距离小于圆 O的半径 . 因此 Q选在 D处也不满意规划要求 . 综上, P和Q均不能选在 D处. 细心整理归纳 精选学习资料 - - -

25、 - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ 3）先争论点 P的位置 . 当 OBP90 时,在PPB中,PBPB15. 由上可知, d15.再争论点 Q的位置 . 由（2）知,要使得 QA15,点Q只有位于点 C的右侧,才能符合规划要求 .当 QA=15时,设Q（a,9）,由 AQ a 4 29 3 215 a 4,得a= 4 3 21 ,所以 Q（ 4 3 21,9）,此时,线段 QA上全部点到点 O的距离均不小于圆 O的半径 . 综

26、上,当 P（- 13,9）, Q（ 43 21 ,9）时, d最小,此时 P,Q两点间的距离PQ 4 3 21 13 17 3 21 . 因此, d最小时, P,Q两点间的距离为 17 3 21（百米） . 19本小题主要考查利用导数争论函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题细心整理归纳 精选学习资料 以及规律推理才能满分16分a3 第 12 页,共 18 页 解：（ 1）由于 abc,所以f x xaxbxc x由于f48,所以4a38,解得a22ab（2）由于 bc ,所以f x xa xb2x3a2 b x2b 2ab x2 ab ,从而f x 3xbx2ab令f x 0,得

27、 xb 或x33由于a b , ,2ab,都在集合 3,1,3 中,且 ab ,3所以2ab1,a3,b33此时f x x3x32,f x 3x3x1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -令f x 0,得x3或x1列表如下：x, 33 3,1x31 bx ,1,0 + f x + 0 f Z极大值微小值Z232b1x2所以f x 的微小值为f11313（3）由于a0,c1,所以f x x xbx1f x 3x22b1 xb 2b2 130,由于 0b

28、1,所以4b1212 b就f x 有 2个不同的零点,设为x x 2x 1x 22 bb1由f x 0,得x 1b12 bb1,x 2b133列表如下：所以x,x 1fx 11xx x 2x2x 2,f x + 0 0 + f Z极大值微小值Zf x 的极大值M解法一：细心整理归纳 精选学习资料 Mfx 13 x 1 b2 1 x 1bx 122 bb1x 1b b1 第 13 页,共 18 页 2 3 x 12 b1 x 1bx 1b913992b2b1 b1b b12b2b1327927b b12b2 1 b12 27b b1132727 - - - - - - - - - - - - -

29、 - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -b b124因此M427272727解法二：由于 0b1,所以x 10,1g1 3,1当x0,1时,f x x xbx1x x2 1令g x x x2 1 ,x0,1,就g x 3x1x13令g x 0,得x1列表如下：3x0,1133g x + 0 1g x Z极大值所以当x1时,g x 取得极大值,且是最大值,故g x max43327所以当x0,1时,f x g x 4,因此M4272720本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础学问,考查代

30、数推理、转化与化归及综合运用数学学问探究与解决问题的才能满分 16分解：（ 1）设等比数列 an的公比为 q,所以 a1 0,q0. 细心整理归纳 精选学习资料 由a a 4a 54 a 10,得2 4a qa q44 a 10,解得a 11 第 14 页,共 18 页 a 34 a 2a q2q24 a q因此数列 an为“M 数列”. （2）由于1221,所以nb0S nb nb n由b 11,S 1b 得122,就b 22. 11b 2由1221,得S n2b b n1,S nb nb nb n1b n - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

31、- - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当n2时,由b nS nS n1,得bn2b bn12b n1 b n1,b n1b nb nb n整理得 b n 1 b n 1 2 b 所以数列 bn 是首项和公差均为 1的等差数列 . *因此,数列 bn 的通项公式为 bn=n n N . 由知, bk=k,k N. *由于数列 cn 为“M 数列 ”,设公比为 q,所以 c1=1,q0. 由于 ckbkck+1,所以qk1kk q ,其中 k=1,2,3, , m. 当k=1时,有 q1；当k=2,3, , m时,有ln kklnqlnk

32、qf3ke e, + k1设f（x）=ln x xx1,就f x 1 lnxx2令f x 0,得 x=e.列表如下：x1,ef x + 0 f（x）极大值由于ln 2 2ln8ln 9ln 3,所以f k maxln 3 3663取q3 3,当 k=1,2,3,4, 5时,ln kk,ln,即k q ,经检验知qk1k 也成立因此所求 m的最大值不小于5如m6,分别取 k=3,6,得 3q3,且 q56,从而 q 15 243,且 q 15 216,所以 q不存在 .因此所求 m的最大值小于 6. 综上,所求 m的最大值为 5数学 附加题 参考答案细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -21【选做题】A选修 4 2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的运算、特点值等基础学问,考查运算求解才能满分10分解：（ 1）由于A31,22所以A2