2022年高数和现代知识点大全.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【高等数学】名师归纳总结 记住特别函数xsinx 、 xsin （1/x ）第 1 页,共 5 页第一章函数极限连续1.函数的基本性质a奇偶b周期c有限2.判定闭区间函数有界的方法a连续函数有界b在闭区间存在两最值的函数有界c有界函数和、积有界3.函数极限的求法a初等化简（分子分母同乘、提公因式）b直接运算出不为零的因式c等价无穷小d罗比达法就e佩亚诺余项泰勒公式f夹逼定理g重要极限h导数定义4.数列极限的求法a单调有界定理（判定单调时相减或相除）b夹逼定理c积分和式求极限d数列极限存在的充要条件（奇偶子列

2、极限存在且相等）e柯西收敛准就5.零点问题的求法a连续函数：零点定理和介值定理、超越方程的对数变形和对数方程的指数变形b导函数：导函数零点数定理c复合函数：构造法+微分方程法、罗尔定理d定积分与变限积分：i.化成变限积分看成变限积分的函数,用微分学中的方法处理ii.利用积分中值定理6.闭区间函数最值的求法a求出闭区间内一切驻点和不行导点的函数值b求出边界上的最值,两者比较7.渐近线的种类a水平 / 斜b铅直8.不等式的证明a单调性方法b最值的方法c用中值定理（拉格朗日、柯西）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思d 用

3、拉格朗日余项的泰勒公式9.第三章 一元函数积分学1、 两类反常积分的识别和运算a 奇点在区间端点（比较简单识别）b 奇点在区间内部（易被忽视！ ！）2、 定积分在物理上的应用a 建立坐标系b 依据公式建立所求量的微元（关键）c 确定上下限d 运算定积分3、 积分不等式的证明名师归纳总结 1.a将一边视为变限积分第 2 页,共 5 页b用积分不等式（被积函数比较）c一边有积分号一边没有的化归到一样d不同区间的化归同一区间第五章多元函数微分学求二重极限的方法2.a夹逼定理b等价无穷小代换c简化分母（比如x2+y2 - x2等）争论二元函数的可微性3.a利用可微的定义b可微的必要条件（必可导）c可微

4、的充分条件（一阶导连续）由一个方程确定的隐函数的偏导数4.a利用隐函数的求导公式b对方程两端求导解出偏导数（方程组）c对函数两端求微分（方程组）极值1.a无条件极值i.极值点肯定是驻点,驻点不肯定是极值点ii.二元函数取极值的充分条件（A、B、 C）b条件极值i.拉格朗日乘子法（可用于多约束条件）c闭区域二元函数的最值问题i.区域内是无条件极值问题ii.边界上是条件极值问题第六章多元函数积分学二重积分的运算a画出积分域,观看是否有对称性,并观看被积函数是否存在奇偶性,利用其化简b挑选坐标系- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟

5、读而精思c 挑选积分次序2.d确定积分限并运算S 在 xOy 面上类次积分交换积分次序3.a确定积分区域并画出草图b结合图像转变积分次序,确定积分域累次积分的运算4.a直接运算不便利就转变积分次序b任然不行就换坐标系运算三重积分5.a考察对称性和奇偶性,化简b挑选合适坐标系c化为累次积分运算（二维）对弧长的曲线积分6.a利用公式直接运算i.参数方程ii.直角坐标系iii.极坐标系b利用曲线关于坐标轴的对称性和被积函数的奇偶性c利用曲线关于y=x 的对称性（二维）对坐标的线积分7.a利用参数方程化为一元积分直接运算b用格林公式（肯定要满意公式适用的条件）c补用格林公式（补的路径也要满意公式适用条

6、件）d利用线积分与路径无关（三维）曲线积分8.a弧长：参数方程直接运算b坐标：斯托克斯公式化为面积分对 dS 的曲面积分 （求面质量,无方向）aZ=zx,y,转化到平面积分,积分域为的投影 （这是最基本的方法）9.b利用积分曲面的对称性和被积函数的奇偶性z 用 zx,y表示, 直接转化为平面c利用曲面方程中变量的交换不变性对 dxdy/dydz/dzdx的曲面积分 （求流量,有方向）a如仅求 dxdy 或其他上的积分, 就被积函数中的积分,积分域为曲面在xOy 面上的投影 （这是常见的情形）b 一般其次种情形都转化到利（补）用高斯公式上来（留意高斯公式适用条件,区域内一阶导连续） （这也是常见

7、情形）名师归纳总结 1.c利用公式将其次类曲面积分转换为对dS的曲面积分,dxdy, dydz第 3 页,共 5 页d转换到对 dS 后,再转换到对dxdy 的平面积分； 或者直接利用公式将对和 dzdx 的曲面积分,转化到只在dxdy 上的平面积分第七章无穷级数常数项级数敛散性- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思a 正项级数敛散性判别i. 比较法（ p 级数、等比级数）ii. 比较法极限形式iii. 比值法iv. 根植法v. 基本定理：级数收敛等价于部分和数列有界vi. 利用性质：1. 收敛级数加括号仍收敛,级数加

8、括号后发散原级数定发散2. 收敛必要条件：一般项趋于零b 交叉级数i. 莱布尼兹判别法c 任意项级数i. 肯定收敛的级数肯定收敛ii. 条件收敛的级数的全部正项或负向构成的级数发散iii. 利用判定数列（有限和数列）极限存在方法1. 夹逼定理；2. 单调有界原理；3. 奇数列、偶数列是否相等；2. 幂级数求和函数和收敛区间a 收敛半径的求法i. 直接法1. 比值法2. 根值法ii. 间接法（用马克劳林公式）b 考察收敛区间端点 级数敛散性i. 化归常数项级数敛散性判定3. 傅里叶级数第八章 微分方程【线性代数】第五章特点值和特点向量名师归纳总结 1.求数值矩阵的特点值和特点向量第 4 页,共

9、5 页2.求抽象矩阵的特点值和特点向量3.特点值和特点向量的逆问题4.证明两个矩阵有相同的特点值5.a证明有相同的特点方程即可相像的判定6.a特点值相同（行列式、迹）b特点方程相等方阵对角化的判定a有 n 个线性无关的特点向量i.有 n 个不同特点值ii.或者特点值的重数和对应的线性无关的特点向量个数相等上- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思第六章 二次型名师归纳总结 1.化二次型为标准形削减运算量）第 5 页,共 5 页2.a求出二次型矩阵的特点根和特点向量（取特点向量时有意使其正交,b将重特点根正交化,将特点向量单位化,构成正交矩阵Q c做变换 x=Qy 化二次型为标准形已知含参数的二次型及正交变换后的标准形,求参数3.a利用特点方程相等来运算f 正定的判定a合同于单位矩阵E b可以写成 A=DT*D的形式c全部特点值大于0 d全部次序主子式大于0 e必要条件是主对角线元素都大于0 f正定的定义式：对于任意x, xT*A*x 0 - - - - - - -