2022年高考数学复习不等式的证明.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载6.2 不等式的证明（一） 学问梳理1.均值定理： a+b2 ab ；ab（a b）2（a、bR+）,2当且仅当 a=b 时取等号 . 2.比较法： ab0ab,ab0ab. 3.作商法： a0,b0,a 1 bab. 特殊提示1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法 .作差后需要判定差的符号,作差变形的方向经常是因式分解后,把差写成积的形式或配成完全平方式 . 2.比商法要留意使用条件,如 a 1 不能推出 ab.这里要留意 a、 b 两数的符号 . b 点击双基1.如 a、 b 是正数,就a2b、ab 、2 ab、a

2、22b2这四个数的大小次序是abA.ab a2b2aba2b2ab22abB.a22b2ab a2babC.2abab a2ba2b2ab22abD.ab a2ba22b2ab解析：可设a=1, b=2,就a2b=3 ,2ab =2 ,2ab=4 ,3aba22b2=124=5 = 22 . 5. 答案： C 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.设 0 x1,就 a=学习必备11x欢迎下载2 x,b=1+x,c=中最大的一个是A. a B.b C.c D.不能确定解析： 0x1,1+x2x =4x2x. x 0,只

3、需比较1+x 与1x的大小 . 11+x11x=11x21=x2x11+x11x. 答案： C 3.如 a、b、c 是常数,就“a0 且 b2 4ac0” 是“ 对任意xR,有 ax 2+bx+c0”的A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 必要条件解析：当 a0,b 24ac0 时, ax 2+bx+c0. 反之, ax 2+bx+c 0 对 xR 成立不能推出 a 0,b 24ac0. 反例： a=b=0,c=2.应选 A. 答案： A 4.（理）已知 |a+b| c（a、b、cR）,给出以下不等式：a bc； a b+c； abc； |a|b|c； |a| |b|c. 其中

4、肯定成立的不等式是_.（把成立的不等式的序号都填上）解析： |a+b| c, ca+b c. b+ca bc.故成立,不成立 . |a+b| c,|a+b|a| |b|,|a|b| c.|a|b| c. 故成立,不成立 . 答案：a 3b（文）如a、 bR,有以下不等式：a2+32a； a2+b22（ab1）； a5+b 52+a 2b 3； a+1 2.其中肯定成立的是 a_. 解析： a2+3 2a=（a1）2+2 0,a 2+32a；a 2+b22a+2b+2=（a1）2+（b+1）20,a 2+b22（ab 1）；a 5+b5a3b2 a 2b3=a3（a2b2）+b3（b2a2）=（

5、a2 b 2）（a3b3）=（a+b）（ab）2（a 2+ab+b2）. （ a b）20, a 2+ab+b 20,但 a+b 符号不确定,a 5+b 5a 3b 2+a 2b 3 不正确；aR 时, a+1 2 不正确 . a答案：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载v1和在静水中的速度v2 的大小5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度关系为 _. 解析：设甲地至乙地的距离为s,船在静水中的速度为v2,水流速度为v（v2v0）,就船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t=v2sv+v2sv

6、=2v 2s,0,v22v2平均速度 v1=2s=v22v2. tv2v1v2=v222v2v2=v2vv2v1v2. 答案： v1v2 典例剖析【例 1】 设 a0,b0,求证：（a21（b111. .变形的主要 .下面的）2）2a2+b2ba剖析：不等式两端都是多项式的形式,故可用比差法证明或比商法证明. 证法一：左边右边（a）3（b）3（a b ）ab（ab）（aabb）ab（ab）ab（ab）（a2abb）（ab）（ab）20. abab原不等式成立. 证法二：左边0,右边 0,左边 （右边ab）（aabb）aabb2ababab1. ab（ab）ab原不等式成立. 评述：用比较法证不

7、等式,一般要经受作差（或商）、变形、判定三个步骤手段是通分、因式分解或配方.在变形过程中,也可利用基本不等式放缩,如证法二例 3 就是公式法与配方法的综合应用. 【例 2】 已知 a、b、 x、yR+且1 a1 ,x y. b求证：xxayyb. 剖析：观看待证不等式的特点,用比较法或分析法较适合. 证法一：（作差比较法）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - xxayyb=（xbxay学习必备欢迎下载,b）a）（y又1 a1 且 a、bR+,bba0.又 xy0, bxay. （xbxay0,即 b）xxayyb. a）

8、（y证法二：（分析法）x、y、a、b R+,要证xxayyb,只需证明 x（y+b） y（x+a）,即证 xbya. 而由 1 1 0, ba0.又 xy 0,a b知 xbya 明显成立 .故原不等式成立 . 摸索争论名师归纳总结 该例如用函数的单调性应如何构造函数. 第 4 页,共 9 页解法一：令f（x）=xxa,易证 f（x）在（ 0,+）上为增函数,从而xxayyb. 再令 g（x） =mx,易证 g（x）在（ 0,+）上单调递减. m1 a1 ,a、bR b+. ab. g（a） g（b）,即mmammb,命题得证 . xy解法二：原不等式即为xa1yb1,ab为此构造函数f（x）

9、=xx1,x（ 0,+） . 易证 f（ x）在（ 0,+）上为单调增函数,而x ay ,bxyxa1yb1,即xxayyb. ab【例 3】 某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6 t,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3 元,购面粉每次需支付运费900 元. （1）求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少. （2）如供应面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 t 时,其价格可享受9 折优惠（即原价的90%）,问该厂是否考虑利用此优惠条件.请说明理由 . 解：（1）设该厂应每隔x 天购买一次面粉,其购买量为6x t,由题意知,面粉的保管

10、等其他费用为36x+6（x1）+ +6 2+6 1=9x（ x+1）. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设平均每天所支付的总费用为学习必备欢迎下载y1 元,就 y1=1 9x（x+1） +900+6 1800 x=900 +9x+10809 2 x9009x+10809 x=10989. 当且仅当 9x=900 ,即 x=10 时取等号,x. 即该厂应每隔10 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少（2）如厂家利用此优惠条件,就至少每隔 用为 y2 元,就35 天,购买一次面粉,平均每天支付的总费y2= 1 9x（x+1） +900+6 1

11、800 0.90 x= 900 +9x+9729（x35）. x令 f（x）=x+ 100 （x35）,xx2 x1 35,就f（x1） f（x2）=（ x1+100 x 1）（ x2+100）x2（=x2x1）（100x1x2）x1x2x2x135,x2x10, x1x20,100x1x20. f（x1） f（x2） 0,f（x1） f（x2）,即 f（x）=x+100 ,当 x35 时为增函数 . x. 当 x=35 时, f（ x）有最小值,此时y2 10989.该厂应当接受此优惠条件 闯关训练夯实基础1.设 x0,y0,且 xy（ x+y）=1,就A. x+y 22 +2 B.x+y2

12、2 +2 2C.x+y（2 +1）2 D.x+y（2 +1）解析： x0,y0, xy（x2y）2. 由 xy（ x+y）=1 得（x2y）2（ x+y） 1. x+y 2+22 . 答案： B 2.已知 x、yR,M=x 2+y2+1,N=x+y+xy,就 M 与 N 的大小关系是名师归纳总结 A. MN B.MN C.M=N D.不能确定第 5 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析： M N=x 2+y学习必备欢迎下载2+1（ x+y+xy）= =1 （x 22+y 22xy）+（x22x+1）+（ y 2 2y+1）1 （xy）2

13、2+（x1）2+（y1）2 0. 答案： A 23.设 a 0,b0,a 2+ b=1,就 a 1 b 2的最大值是 _. 22 2解析： a2+ b =1 a 2+ b 1 = 3 . 2 2 22 b 21 3a 1 b 2= 2 ab 2 12 a2 = 2 2 = 3 2. 2 2 2 4答案：3 244.如记号“ ” 表示求两个实数 a 和 b 的算术平均数的运算,即 a b= a b,就两边2均含有运算符号“ ” 和“+” ,且对于任意 3 个实数 a、b、c 都能成立的一个等式可以是_. 解析： a b=a2b,b a=b2a,a b+c=b a+c. 答案： a b+c=b a

14、+c. 摸索：对于运算“ ” 安排律成立吗 . 即 a （ b+c）=a b+a c. 答案：不成立5.当 mn 时,求证： m3m 2n3mn22m2n6mn2n32n3mn 2n 3（ m n）3,证明：（ m3m 2n3mn 2）（ 2m 2n6mn 2n 3） m 33m又 mn, mn 0.（ mn）30,即（ m 3m 2n3mn 2）（ 2m 2n6mn 2n3） 0. 故 m3m2n3mn22m2n6mn2n36.已知 a1, 0,求证： loga（a+ ） loga+（ a+2 ）. 证明： log a（a+ ） log（a+ ）（ a+2 ）=lg（aa）lg（a2）2）l

15、glg（a）=lg2（a）lgalg（algalg（a）a1, 0,lga0,lg （a+2 ） 0,且 lga lg（a+2 ）. 名师归纳总结 lgalg（a+2 ）（lga2lg（a2）2 第 6 页,共 9 页2=lg（a222 a）2lg（a）22=lg2（ a+ ）. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lg2（alg）lgalg（a2学习必备欢迎下载）0. alg（a）loga（a+ ） log（a+ ）（a+2 ）. 培育才能7.已知 x0,y0,如不等式x +y mxy恒成立,求实数m 的最小值 . 分析：x +y mxy恒成立,mxy

16、恒成立 . xym 的最小值就是xy的最大值 . xy解：x +y mxy恒成立,mxy恒成立 . xyx0,y0,xy（x2y）2=x2y. xyxy y=2 . xyx2m 的最小值为 2 . 评述：分别参数法是求参数的范畴问题常用的方法,化归是解这类问题常用的手段 . 8.有点难度哟！求证： 在非 Rt ABC 中,如 a b,ha、hb分别表示 a、b 边上的高,就必有 a+hab+hb. 证明：设 S 表示 ABC 的面积,就S=1 aha= 21 bhb= 21 absinC. 2ha=bsinC,hb=asinC.（ a+ha）（ b+hb）=a+bsinC basinC=（ab

17、）（1sinC）. C , 1sinC0. 2（ a b）（1sinC） 0. a+hab+hb. 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载探究创新9.设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0）,方程 f（x） x=0 的两根 x1、x2 满意 1x1x21 . a（1）当 x（ 0,x1）时,证明xf（x） x1；（2）设函数 f（x）的图象关于直线x=x0 对称,求证x0x1. 2证明：（ 1）令 F（ x）=f（x） x,x1、x2 是方程 f（x） x=0 的根,F（ x）=a（ xx1）（x

18、x2） . 当 x（ 0, x1）时,由于 x1 x2,（ xx1）（xx2） 0. 又 a0,得 F（x）=a（xx1）（xx2） 0,即 xf（x）. 又 x1f（ x）=x1 x+F（x）=x1x+a（x1x）（xx2）=（ x1 x）1+a（xx2）,0xx1x21 , x1 x0,a1+a（ xx2）=1+axax21 ax20,x1f（x） 0,即 f（x） x1. 综上,可知 xf（x） x1. （2）由题意知 x0=b . 2 ax1、x2 是方程 f（x） x=0 的根,即 x1、x2 是方程 ax 2+（b1） x+c=0 的根,x1+x2=b 1 . ax0=b= a（x

19、 1 x 2）1= ax 1 ax 2 1. 2 a 2 a 2 a又 ax2 1, x0ax 1 = 1x. 2 a 2 思悟小结1.比较法有两种形式： 一是作差,二是作商 .用作差法证明不等式是证明不等式中最基本、最常用的方法 .它的依据是不等式的基本性质. .如是作差,就判定与0 的2.步骤是：作差（商）变形判定.变形的目的是为了判定大小关系,为了便于判定,往往把形式变为积或完全平方式 与 1 的大小关系 . .如是作商,两边为正,就判定3.有时要先对不等式作等价变形再进行证明,有时几种证明方法综合使用 . 4.在应用均值定理求最值时,要把握定理成立的三个条件,就是“ 一正各项均为正；二

20、定积或和为定值；三相等等号能否取得”.如忽视了某个条件,就会显现错误 . 老师下载中心教学点睛1.在证明不等式的各种方法中,作差比较法是一种最基本、最重要的方法,它是利用不名师归纳总结 等式两边的差是正数仍是负数来证明不等式,其应用特别广泛,肯定要娴熟把握. 第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.对于公式a+b2学习必备b）欢迎下载ab ,ab（a22 要讲清它们的作用和使用条件及内在联系,两个公式也表达了 ab 和 a+b 的转化关系 . 拓展题例【例 1】设 a、bR,关于 x 的方程 x 求证： 1, 1. 证法一： a,

21、b,2axb0 的实根为 、 .如 a b 1, a b 1. 1,（ 1）（ 1） 0. 1.同理, 1. 证法二：设f（x）=x2ax b,就有f（1） 1ab1（ a b） 110,f（ 1） 1a b1（ a b） 0. 0 a 1, 1a1. 1 2a 21 . 2方程 f（x） 0 的两实根在（1,1）内,即 1, 1. 评述： 证法一先利用韦达定理,再用肯定值不等式的性质恰好能分解因式；证法二考虑根的分布,证两根在（1,1）内 . 【例 2】 是否存在常数 C,使得不等式 x+ yCx+ y 对任意正2 x y x 2 y x 2 y 2 x y数 x、y 恒成立 .试证明你的结论 . 解：当 x=y 时,可由不等式得出 C= 2 . 3下面分两个方面证明 . 先证 x+ y2 ,此不等式 3x（x+2y）+3y（2x+y）2（2x+y）（ x+2y）x2+y 22 x y x 2 y 32xy. 名师归纳总结 再证xx2y+2xyy2 ,3第 9 页,共 9 页此不等式3x（2x+y）+3y（x+2y） 2（ x+2y）（ 2x+y）2xyx2+y 2. 综上,可知存在常数C=2 ,使对任何正数 3x、y 不等式恒成立 . - - - - - - -