2022年高考数学备考黄金易错点：专题坐标系与参数方程.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1在直角坐标系xOy 中,圆 C 的方程为 x62y225. 1以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程；10,求2直线 l 的参数方程是xtcos ,ytsint 为参数 ,l 与 C 交于 A、B 两点, |AB|l 的斜率解 1由 x cos ,y sin 可得圆 C 的极坐标方程 212 cos 11 0. 2已知圆 C 的极坐标方程为 22 2 sin 440,求圆 C 的半径解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x 轴的正半轴,建立直角坐标系 xOy. 圆 C 的极坐标方程为名师归纳总结 2

2、222 2 sin 2 2 cos40,第 1 页,共 9 页化简,得 22 sin 2 cos 40. 就圆 C 的直角坐标方程为x2y22x 2y4 0,即x12y126,所以圆 C 的半径为6. 3在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,如极- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 坐标方程为 cos 4 的直线与曲线xt2,t 为参数 相交于 A,B 两点,求 AB 的长yt3解极坐标方程 cos 4 的一般方程为x4,代入xt 2,yt 3,得 t 2,当 t2 时, y8；当 t 2 时, y 8. 两个交点坐

3、标分别为 4,8,4, 8,从而 AB16. x2cos4在直角坐标系中圆 C 的参数方程为 为参数 ,如以原点 O 为极点,y22sin以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程解 由参数方程消去 得圆 C 的方程为 x 2y2 24,将 x cos ,y sin ,代入得 cos 2 sin 224,整理得 4sin . 5已知曲线C：x3 3cos ,为参数 ,直线 l： cos 3sin 12. y3sin1将直线 l 的极坐标方程和曲线C 的参数方程分别化为直角坐标方程和一般方程；2设点 P 在曲线 C 上,求 P 点到直线 l 的距离的最小值易错起源 1、极坐标与直

4、角坐标的互化例 1、在极坐标系中,曲线C1： 2cos sin 1 与曲线 C2： aa0的一个交名师归纳总结 点在极轴上,求a 的值第 2 页,共 9 页解 2cos sin 1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即 2 cos sin 1 对应的一般方程为2xy10, aa0对应的一般方程为x 2y2a2. 在 2xy10 中,令 y0,得 x2 . 2将2 2,0 代入 x 2y 2a 2 得 a2 . 2【变式探究】 在以 O 为极点的极坐标系中, 直线 l 与曲线 C 的极坐标方程分别是 cos4 3 2和 sin 2 8cos ,直线 l

5、与曲线 C 交于点 A、B,求线段 AB 的长x 2 x18得 或,y 4 y12所以 A2, 4,B18,12,所以 AB18221242 162. 即线段 AB 的长为 162. 【名师点睛】1在由点的直角坐标化为极坐标时,肯定要留意点所在的象限和极角的范畴,否就点的极坐标将不唯独2在与曲线的方程进行互化时,肯定要留意变量的范畴,要留意转化的等价性【锦囊妙计,战胜自我】直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,位如图,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设

6、M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为x cos,2 x 2 y 2. tan yx 0y sinx易错起源 2、参数方程与一般方程的互化x, y和 , ,就x13cost,例 2、在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 t 为参数 在极y 23sint坐标系 与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴 中,直线 l 的方程为 2 sin 4mmR1求圆 C 的一般方程及直线 l 的直角坐标方程；2设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值【变式探究】已知直线 l 的参数方程为 x 42t,y t2 t 为参数

7、,P 是椭圆 x4 y 22 1 上的名师归纳总结 任意一点,求点P 到直线 l 的距离的最大值第 4 页,共 9 页解由于直线 l 的参数方程为x42t,t 为参数 ,yt2故直线 l 的一般方程为x2y 0. 2 由于 P 为椭圆x 4y21 上的任意一点,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故可设 P2cos ,sin ,其中 R. 因此点 P 到直线 l 的距离是d|2cos 2sin | 1 22 22 2 sin . . 45所以当 k 4,kZ 时, d 取得最大值 2 10【名师点睛】1将参数方程化为一般方程,需要依据参数方程的结构特点,

8、选取适当的消参方法常 见的消参方法有代入消参法,加减消参法,平方消参法等2将参数方程化为一般方程时,要留意两种方程的等价性,不要增解、漏解,如 x、y 有范畴限制,要标出 x、 y 的取值范畴【锦囊妙计,战胜自我】1直线的参数方程过定点 Mx0,y0,倾斜角为的直线 l 的参数方程为xx0 tcos ,t 为参数 yy0 tsin2圆的参数方程圆心在点M x0, y0,半径为r 的圆的参数方程为xx0r cos ,为参数,yy0r sin0 2 3圆锥曲线的参数方程1椭圆2 xa 2y2xacos ,为参数 t 为参数 21 的参数方程为bybsin2抛物线 y22pxp0的参数方程为x 2p

9、t2,y 2pt易错起源 3、极坐标、参数方程的综合应用例 3、在直角坐标系xOy 中,曲线 C1：x tcos ,t 为参数, t 0,其中 0 ,y tsin在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 2 3cos . 1求 C2与 C3交点的直角坐标；C2： 2sin ,曲线 C3： 2如 C1与 C2相交于点 A,C1与 C3相交于点 B,求 |AB|的最大值名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解1曲线 C2 的直角坐标方程为x2y22y0,曲线 C3的直角坐标方程为x 2y 22 3x0. 联立

10、x2y22y 0,0,0和2,3 2 . 2y223x0,x解得x0,或x3 2,y0,y3 2.所以 C2与 C3 交点的直角坐标为2曲线 C1的极坐标方程为 R, 0,其中 0 . 因此 A 的极坐标为 2sin , ,B 的极坐标为 2 3cos , 所以 |AB| |2sin 2 3cos |4 sin 3 . 当 5 6时, |AB|取得最大值,最大值为 4. 1x32t,【变式探究】在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 t 为参数 以3y2 t原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,C 的极坐标方程为 2 3sin . 1写出 C 的直角坐标方程；2P 为直线 l

11、 上一动点,当P 到圆心 C 的距离最小时,求P 的直角坐标【名师点睛】1利用参数方程解决问题,要懂得参数的几何意义2解决直线、 圆和圆锥曲线的有关问题,将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为一般方程,有助于对方程所表示的曲线的熟识,从而达到化生疏为熟识的目的,这名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 是转化与化归思想的应用【锦囊妙计,战胜自我】解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要留意一般方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范畴等1已知圆的极坐标方程为4co

12、s,圆心为C,点 P 的极坐标为 4, 3,求 CP 的长解 由 4cos 得 2 4cos,即 x 2y 24x,即x2 2y 24,圆心 C2,0 ,又由点 P 的极坐标为 4, 3可得点 P 的直角坐标为2,2 3,CP2322 3. 2在极坐标系中,求圆 8sin 上的点到直线 3R距离的最大值解 圆 8sin 化为直角坐标方程为 x 2y 28y0,即 x 2y4 216,直线 3R化为直角坐标方程为 y3x,结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径圆心 0,4到直线 y3x 的距离为3 2422,又圆的半径 r 4,所以圆上的点到直线的最大距离为 6.

13、3在极坐标系中,已知三点 M2, 3、 N2,0、 P2 3, 61将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标；2判定 M、 N、 P 三点是否在一条直线上4已知直线l 的参数方程为x 1 t,t 为参数 ,以坐标原点为极点,x 轴的正半y1t名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为 2cos24 0,3 45,求直线 l与曲线 C 的交点的极坐标解 直线 l 的直角坐标方程为 yx2,由 2cos2 4 得 2cos 2sin 2 4,直角坐标方程为 x 2y 24,把 yx 2

14、 代入双曲线方程解得 x 2,因此交点为 2,0,其极坐标为2, 5以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标xt1,系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程是 t 为参数 ,圆 C 的极坐标方yt3程是 4cos,求直线 l 被圆 C 截得的弦长xt1,解 直线 l 的参数方程 t 为参数 化为直角坐标方程是 yx4,圆 C 的极yt3坐标方程 4cos 化为直角坐标方程是 x 2y 24x0.圆 C 的圆心 2,0到直线 xy4 0的距离为 d22.又圆 C 的半径 r2,因此直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r 2d 22 2. 2x11 2t,6

15、在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 t 为参数 ,椭3y2 t,xcos,圆 C 的参数方程为 为参数 设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点, 求线段 ABy2sin的长名师归纳总结 解直线 l 的方程化为一般方程为3x y30,第 8 页,共 9 页椭圆 C 的方程化为一般方程为x2 2y 41,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7已知直线l：x53 2 t,t 为参数 ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴y31 2t建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2cos. 1将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；2设点

16、M 的直角坐标为 5,3,直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求 |MA| |MB |的值解 12cos 等价于 22cos.将 2x 2y 2,cosx 代入即得曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 y 22x0.3x52 t,2将 代入式,得 t 25 3t18 0. 1y32t设这个方程的两个实根分别为 t1,t 2,就由参数 t 的几何意义即知, |MA| |MB |t1t2|18. x2t,8已知直线 l 的参数方程是 t 为参数 ,圆 C 的极坐标方程为 4 2y4tacos 4 . 1将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；2如圆上有且仅有三个点到直线l 的距离为2,求实数 a 的值解1由 42cos 4,得 4cos 4sin. 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页