2022年高考数学一轮复习-专题探究课-函数与导数中的高考热点问题-理.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 缘份让你看到我在这里一 函数与导数中的高考热点问题 对应同学用书第 44 页 命题解读 函数是中学数学的核心内容,导数是争论函数的重要工具,因此, 函数与 导数是历年高考的重点与热点,常涉及的问题有：争论函数的单调性 求函数的单调区间 、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范畴、证明不等式等,涉及的数学思想有：函数与方程、分类争论、数形结合、转化与化归思想等,中、高档难度均有利用导数争论函数的性质函数的单调性、极值是局部概念,函数的最值是整体概念,争论函数的性质必需在 定义域内进行,因此,务必遵循定义域优先的原就,本热点

2、主要有三种考查方式：1 争论函数的单调性或求单调区间；2 求函数的极值或最值；3 利用函数的单调性、极值、最值,求参数的范畴2022 全国卷 已知函数 1 争论 f x 的单调性；f x ln xa1 x 2 当 f x 有最大值,且最大值大于 2a2 时,求 a 的取值范畴1 解 1 f x 的定义域为 0 , , f xxa. 假设 a0,就 f x0 ,所以 f x 在0 , 上单调递增假设 a0,就当 x 0,1 a时, f x0 ；上单调递减当 x1 a,时, f x0 时, f x 在 x1 a取得最大值,最大值为g1 0. f1 aln1 aa 11 a ln aa1. 因此 f

3、1 a2a2 等价于 ln aa10. 令 g a ln a a1,就 g a 在0 , 上单调递增,于是,当 0a1 时, g a1 时, g a0. 因此, a 的取值范畴是 0,1 缘份让你看到我在这里名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 缘份让你看到我在这里 规律方法 1. 争论函数的性质,必需在定义域内进行,因此利用导数争论函数的性质,应遵循定义域优先的原就 . 2. 争论函数的单调性,求函数的单调区间、极值问题,最终归结到判定 f x 的符号问题上,而 f x0 或 f x0,最终可转化为一个一元一次不等式或

4、一元二次不等式问题 . fx的单调性,就转化为不等式f x0 或 f x0 在单调区间上恒成立问题求解. 跟踪训练 2022 福州质检已知函数 fxaln xx 2ax aR. 【导学号： 79140096】1 假设 x3 是 f x 的极值点,求 f x 的单调区间；2 求 g x f x 2x 在区间 1 ,e 的最小值 h a 解 1 f x 的定义域为 0 , ,f x a x2xa2x 2 axax,由于 x3 是 f x 的极值点,所以 f 3 183aa0,解得 a9. 3 2,3 . 3所以 f x 2x29x9x2 x3 x3,x所以当 0x3 2或 x 3 时, f x 0

5、；当3 2x3 时, f x 0. 所以 f x 的单调递增区间为0,3 2和3 , ,单调递减区间为2 由题知, g x f x 2xaln xx 2ax2x. g x 2x 2axa22 xa x1. xx当a 21,即 a2 时, g x 在1 ,e 上为增函数,h a g1 a1；当 1a 2 e,即 2 a2e 时, g x 在 1,a 2上为减函数,在 a2,e 上为增函数,h a g 2aln a 214a 2a；当a 2e,即 a2e 时, g x 在1 ,e 上为减函数,缘份让你看到我在这里名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - -

6、 - - - - - - 缘份让你看到我在这里h a ge 1 e ae 2 2e. 综上, h a a1,a2,alna 21 4a2a,2a 2e,1 e a e 2 2e,a2e.利用导数争论函数的零点问题争论函数零点的本质就是争论函数的极值的正负,为此, 我们可以通过争论函数的单调性来解决,求解时应注意等价转化与数形结合思想的应用,其主要考查方式有：1 确定函数的零点、图像交点的个数；2 由函数的零点、图像交点的情形求参数的取值范畴2022 全国卷 已知函数f x ae2x a2exx. 1 争论 f x 的单调性；2 假设 f x 有两个零点,求 a 的取值范畴 . 解 1 f x

7、的定义域为 , ,f x 2ae 2x a2e x1ae x12e x1 假设 a0,就 f x0,就由 f x 0 得 x ln a. 当 x , ln a 时, f x0. 所以 f x 在 , ln a 单调递减,在 ln a, 单调递增2 假设 a0,由 1 知, f x 至多有一个零点 假设 a0,由 1 知,当 x ln a 时, f x 取得最小值,最小值为 f ln a11 aln a. 当 a1 时,由于 f ln a 0,故 f x 只有一个零点；当 a1 , 时,由于11 aln a0,即 f ln a0,故 f x没有零点；当 a0,1 时, 11 aln a0,即 f

8、 ln a 0. 又 f 2 ae4 a2e222e 220,故 f x 在 , ln a 有一个零点设正整数 n0满意 n0ln3 a1 ,缘份让你看到我在这里名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 缘份让你看到我在这里就 f n0 en0 aen0a2 n0en0 n0 2n0n00. 由于 ln3 a 1 ln a,因此 f x 在 ln a, 有一个零点综上, a 的取值范畴为 0,1 规律方法 利用导数争论函数零点的两种常用方法1 用导数争论函数的单调性,借助零点存在性定理判定；或用导数争论函数的单调性和极值,再

9、用单调性和极值定位函数图像求解零点问题 . 2 将零点问题转化为函数图像的交点问题,利用数形结合来解决 . 跟踪训练 2022 武汉调研 已知 f x ln x x 32ex 2ax,aR,其中 e 为自然对数的底数f 1 假设 f x 在 xe 处的切线的斜率为e2,求 a；2 假设 f x 有两个零点,求a 的取值范畴 解 1 f x 1 x3x24exa,e 1 ee2a e 2, a1 e. 2 由 ln xx 32ex2ax0,得 ln x xx 22ex a. ln x 记 F x xx 22ex,1ln x 就 F x x 22 x e xe , , F x 0,F x单调递减x

10、0 , e ,F x 0,F x 单调递增,F x maxFe 1 ee2,而 x0 时, F x ,x时, F x . 故 a1 ee 2. 利用导数争论不等式问题 答题模板 导数在不等式中的应用是每年高考的必考内容,且以解答题的形式考查,难度较大,属中高档题, 突出转化思想、 函数思想的考查 常见的命题角度有：1 证明不等式；2 由不等式恒成立求参数范畴问题；缘份让你看到我在这里3 不等式恒成立、能成立问题名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 缘份让你看到我在这里 本小题总分值12 分2022 全国卷 设函数f x

11、1 x 2ex. 1 争论 f x 的单调性；2 当 x0 时, f x ax1,求 a 的取值范畴 标准解答 1 f x 1 2xx 2e x. 令 f x 0 得 x 12或 x 12. 2 分当 x , 12 时, f x 0；当 x 12, 12 时, f x 0；当 x 12, 时, f x 0. 4 分所以 f x 在 , 12 , 12, 单调递减,在 12, 12单调递增 . 5 分2 f x 1 x1 xe x. 当 a1 时,设函数 h x 1 xe x,h x xe x 0 x0 ,因此 h x 在0 , 单调递减而 h0 1,故 h x 1,所以 f x x1 h x

12、x1 ax 1.8 分当 0a1 时,设函数 g x e xx1,g x e x10 x0 ,所以 g x在0 , 单调递增,而 g0 0,故 e xx1. 当 0x1 x1 x 2,1 x1 x 2ax1x1 axx 2 ,取 x054a12,就 x00,1 , 1 x01 x0 2ax010,故 f x0 ax01. 10 分当 a0 时,取 x051,就 x00,1 , f x0 1 x01 x021 ax01. 112分综上, a 的取值范畴是 1 , . 12 分 阅卷者说 易错点防范措施h x ,利仔细分析不等式的结构特点,通过构造函数 h x与函数 g x 的构造 规律方法 1

13、求定义域 . 用不等式的性质, 证明命题成立, 通过构造 g x ,为举反例说明命题不成立制造了条件2求 f x,令 f x0,求出 fx的增区间；令f x0,求出 fx的减区间 . 缘份让你看到我在这里名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 缘份让你看到我在这里3写出结论 . x, 即Fx fx gx, 求1别离参数,化为最值问题求解. 2构 造 函 数 , 分 类 讨 论 , 如fxgFxmin0. 3转变主元,选取适当的主元,可使问题简化 跟踪训练 设函数 f x e2xaln x. 1 争论 f x 的导函数 f

14、x 零点的个数；2 证明：当 a 0 时, f x 2 aaln2 a. 【导学号： 79140097】 解 1 f x 的定义域为 0 , , f x2e2xa x x0 当 a0 时, f x0 ,f x 没有零点；当 a0 时,设 u x e2x, v x a x,v x a x在0 , 上单调递增,由于 u x e 2x在0 , 上单调递增,所以 f x 在0 , 上单调递增又 f a0 ,假设存在b 满意 0ba 4且 b1 4时, f b0 时, f x 存在唯独零点2 证明：由 1 ,可设 f x 在0 , 上的唯独零点为 x0,当 x0 , x0 时,f x0. 故 f x 在0 ,x0 上单调递减,在 x0, 上单调递增,所以当xx0 时,f x取得最小值,最小值为f x0 由于 2e2x0a x00,所以 f x0 a 2x0 2ax0aln2 a2aaln 2 a. 故当 a0 时, f x 2 aaln 2 a. 缘份让你看到我在这里名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页