2022年高考理科数学试题分类汇编—圆锥曲线.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载10 圆锥曲线高考真题理科数学解析分类汇编一、挑选题1.【高考浙江理 8】 如图, F1,F2分别是双曲线 C：2 2x y2 2 1（ a,b0）的左、 右焦点, B 是虚轴的端点,a b直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q两点,线段 PQ的垂直平分线与 x 轴交与点 M ,如|MF2|=|F1F2|,就 C 的离心率是A. 2 3 3B；62C.2D. 3【答案】 B 名师归纳总结 【 解 析 】 由 题意 知 直 线F1B的 方 程 为 ：ybxb, 联 立 方 程组ybxb ,得 点第 1 页,共 26

2、 页ccxy0abQcac,cbc,联立方程组ybxb ,得点 Pcac,cbc,所以 PQ 的中点坐标为caaxy0aaaba2c,c2, 所 以PQ 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 ：yc2cxa2c, 令y0, 得b2bbbb2xc 1a2,所以c1a23 c,所以a22 b22 c22 a2,即3 a22 c2,所以2b2be6；应选 B 22.【高考新课标理8】等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, C 与抛物线y216x的准线交于A B 两点,AB4 3；就 C 的实轴长为（）A2B2 2CD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

3、 优秀学习资料 欢迎下载【答案】 C 【解析】设等轴双曲线方程为 x 2y 2m m 0 ,抛物线的准线为 x 4,由AB 4 3 ,就 y A 2 3 ,把坐标 4 , 2 3 代入双曲线方程得2 2m x 2y 216 12 4,所以双曲线方程为 x 2y 24,即 x y1,所以4 4a 24 , a 2,所以实轴长 2a 4,选 C. 2 23.【高考新课标理 4】设 F F 是椭圆 E : x2 y2 1 a b 0 的左、右焦点,P 为直线a bx 3 a上一点,F 2PF 1 是底角为 30 的等腰三角形,就 E 的离心率为（）2 A 1 B 2 C D 2 3【答案】 C 【解

4、 析】因 为 F 2PF 1 是 底 角 为 30 的 等 腰 三 角 形,就 有0F 2 F 1 F 2 P ,因 为 PF 1 F 2 30,所 以PF2D600,DPF2300,所以F 2D1PF21F 1F2,即3 ac12 cyc,2222所以3 a2 c,即c3,所以椭圆的离心率为e3,选 C. 2a44O ,并且经过点M2,0；4.【高考四川理8】已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点如点 M 到该抛物线焦点的距离为3,就 |OM|（）D、 2 5A、 2 2B、 2 3C、 4【答案】 B 名师归纳总结 【解析】设抛物线方程为2yp22 px ,就点M2, 2pQ 焦点p

5、,0,点 M 到该抛物线第 2 页,共 26 页2焦点的距离为 3 ,24 P9, 解得p2,所以OM4422 3. 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点评 此题旨在考查抛物线的定义优秀学习资料欢迎下载F 为抛物线的焦点,d: |MF|=d,M 为抛物线上任意一点,为点 M 到准线的距离 . 5.【 高 考 山 东 理 10 】 已 知 椭 圆C:2 xy21 ab0的 离 心 学 率 为3. 双 曲 线a2b22x2y21的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,就椭圆 C 的方程为（A）x2y21（B）x2y21（C）

6、x2y21（D）x2y2182126164205【答案】 D 【解析】由于椭圆的离心率为 3 ,所以 e c 3,c 2 3 a 2,c 2 3a 2a 2b 2,2 a 2 4 42 2所以 b 2 1 a 2,即 a 24b 2,双曲线的渐近线为 y x,代入椭圆得 x2 x2 1,即4 a b2 2 2x2 x2 5 x2 1,所以 x 2 4 b 2, x 2 b,y 2 4 b 2,y 2b,就第一象4 b b 4 b 5 5 5 5限的交点坐标为 2b , 2b ,所以四边形的面积为 4 2b 2b 16b 216,所以5 5 5 5 52 2b 25,所以椭圆方程为 x y1,选

7、 D. 20 52 2x y6. 【高考湖南理 5】已知双曲线 C ：2-2 =1 的焦距为 10 ,点 P （2,1 ）在 C 的渐近线a b上,就 C的方程为Ax2-y2=1 B.x2-y2=1 C.x2-y2=1 D.x2-y2=120552080202080【答案】 A 名师归纳总结 【解析】设双曲线C ：x2-y2=1 的半焦距为 c ,就 2c10,c5. 第 3 页,共 26 页a22 b又C 的渐近线为ybx,点 P （ 2,1 ）在 C 的渐近线上,1b2,即a2 b . aa又c2a22 b ,a2 5, b5,C的方程为x2-y2=1. 205考查了 数形结合的思想【点评

8、】 此题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础学问,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 和基本运算才能,是近年来常考题型优秀学习资料欢迎下载.7.【高考福建理8】已知双曲线x2y21的右焦点与抛物线y2=12x 的焦点重合,就该双42 b曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. 5B. 4 2C.3 D.5 【答案】考点： 双曲线的定义；难度： 中；分析： 此题考查的学问点为双曲线的定义,焦点,渐近线,抛物线的定义；【解析】由抛物线方程 y 2 12 x 易知其焦点坐标为 3 0, ,又依据双曲线的几何性质可知4 b 23 2,所以 b 5,从而可得渐进线

9、方程为 y 5 x,即 5 x 2 y 0,所以2d | 5 3 2 0 | 5,应选5 428.【高考安徽理 9】过抛物线 y 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A B 两点,点 O 是原点,如 AF 3,就 AOB的面积为（）2 3 2 B 2 C D 2 22 2【答案】 C 【命题立意】此题考查等直线与抛物线相交问题的运算；【解析】设 AFx 0 及 BF m；就点 A 到准线 l : x 1 的距离为 3 ,得：3 2 3cos cos 1又 m 2 m cos m 2 3,3 1 cos 21 1 3 2 2 3 2AOB 的面积为 S OF AB sin 1 3 ；2 2 2

10、 3 29.【高考全国卷理 3】 椭圆的中心在原点,焦距为 4 一条准线为 x=-4 ,就该椭圆的方程为2 2 2 2 2 2 2 2x y x y x y x yA + =1 B + =1C + =1 D + =1 16 12 12 8 8 4 12 4【答案】 C 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用；通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数a b c ,从而得到椭圆的方程；名师归纳总结 【解析】椭圆的焦距为4,所以2 c4,c2由于准线为x4,所以椭圆的焦点在x 轴上,第 4 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

11、 - - 且a24, 所 以a24c优秀学习资料a2欢迎下载44, 所 以 椭 圆 的 方 程 为8,b2c28c2 2x y1,选 C. 8 410.【高考全国卷理 8】已知 F1、F2为双曲线 C：x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=|2PF2|,就 cosF1PF2= A1 4（ B）3 5C3 4D4 5【答案】 C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用；第一运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可；2 2【解析】双曲线的方程为 x y 1,所以 a b 2 c 2,由于 |PF1|=|2PF2|

12、,所以点2 2P 在双曲线的右支上,就有 |PF1|-|PF2|=2a= 2 2 ,所以解得 |PF2|= 2 2, |PF1|= 4 2,所以根2 2据余弦定理得 cos F 1PF 2 2 2 4 2 14 3,选 C. 2 2 2 4 2 411.【高考北京理 12】在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F.且与该撇物线相交于 A、B 两点 .其中点 A 在 x 轴上方；如直线 l 的倾斜角为 60o.就 OAF 的面积为【答案】32【解析】由 y 4 x 可求得焦点坐标 F1,0 ,由于倾斜角为 60,所以直线的斜率为k tan 60 3, 利 用 点 斜 式

13、, 直 线 方 程 为 y 3x 3, 将 直 线 和 曲 线 联 立A ,3 2 3 yy 24 3x x 3B 1 , 2 3 ,因此 S OAF 12 OF y A 12 1 2 3 33 3二、填空题12.【高考湖北理14】如图,双曲线x22 y1 , a b0的两顶点为A ,A ,虚轴两端点为2b2aB , 2 B ,两焦点为F ,F . 如以A A 为直径的圆内切于菱形F B F B ,切点分别为A B C D . 就名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）双曲线的离心率e优秀学习资料欢迎下载；（）菱形F

14、 B F B 的面积S 与矩形 ABCD 的面积S 的比值S 1. S 2【答案】e51;S 1252S 22考点分析： 此题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义,运算 . 以及一般平面几何图形的面积【解析】（）由于以 A A 为直径的圆内切于菱形 F B F B ,因此点 O 到直线 F 2B 2 的距离为 a ,又由于虚轴两端点为 B ,B ,因此 OB 的长为 b ,那么在 F 2OB 2 中,由三角形的面积公式知,1bc 1a | B 2 F 2 | 1a b c 2,又由双曲线中存在关系 c 2a 2b 2联2 2 22 2 2 5 1立可得出 e 1 e,依据 e 1 , 解出

15、e ;22（）设 F 2OB 2 ,很明显知道 F 2 A 2 O AOB 2 , 因此 S 2 2 a sin 2 .在F 2OB 2 中求得 sinb 2 bc 2 , cosb 2 cc 2 , 故 S 2 4 a 2sin cosb 42 a 2bcc 2；菱形 F B F B 的面积 S 1 2 bc,再依据第一问中求得的 e值可以解出 S 1 2 5. S 2 22 213.【高考四川理 15】椭圆 x y 1 的左焦点为 F ,直线 x m 与椭圆相交于点 A 、 B ,4 3当 FAB的周长最大时,FAB的面积是 _；【答案】 3 名师归纳总结 【命题立意】此题主要考查椭圆的定

16、义和简洁几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、,考第 6 页,共 26 页查推理论证才能、基本运算才能,以及数形结合思想,难度适中. 【解析】当直线xm 过右焦点时FAB 的周长最大,m1；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 将x1带入解得y3；所以优秀学习资料2欢迎下载SFAB133. 22214.【高考陕西理13】右图是抛物线形拱桥,当水面在. l 时,拱顶离水面2 米,水面宽4 米,水位下降 1 米后,水面宽米【答案】26. A,如图建立直角坐标系就,A【解析】设水面与桥的一个交点为的坐标为（ 2,-2）.设抛物线方程为 x 2 2 py,带入点 A

17、 得 p 1,设水位下降 1 米后水2面与桥的交点坐标为 x 0 , 3 ,就 x 0 2 ,3 x 0 6,所以水面宽度为 2 6 . 215.【高考重庆理 14】 过抛物线 y 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A B 两点,如AB 25 , AF BF , 就 AF = . 12【答案】56【解析】抛物线 y 22 x 的焦点坐标为 1, 0 ,准线方程为 x 1,设 A,B 的坐标分别为2 22的 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ,就 x 1 x 2 p 1,设 AF m , BF n,就 x 1 m 1 , x 2 n 1,4 4 2 21 1 1 m n 所以有 2

18、 2 4,解得 m 5或 n 5,所以 AF 5. 25 6 4 6m n12216.【 高考辽宁理 15】已知 P,Q 为抛物线 x 2 y 上两点, 点 P,Q 的横坐标分别为 4,2,过 P、 Q 分别作抛物线的切线,两切线交于【答案】4A,就点 A 的纵坐标为 _；【解析】 由于点P,Q 的横坐标分别为4,2,代人抛物线方程得P,Q 的纵坐标分别为8,2. 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由x22 ,就y1x2,yx,优秀学习资料欢迎下载4,2,所所以过点P,Q 的抛物线的切线的斜率分别为2以 过 点P

19、, Q 的 抛 物 线 的 切 线 方 程 分 别 为y4x8,y2x2,联 立 方 程 组 解 得x1,y4, 故点 A 的纵坐标为4 【点评】 此题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题； 曲线在切点处的导数即为切线的斜率,起,这是写出切线方程的关键；从而把点的坐标与直线的斜率联系到一17.【高考江西理13】椭圆x a2y21 ab0的左、右顶点分别是A,B, 左、右焦点分2b2别是 F1,F2；如AF ,F 1F 2,F1B成等比数列,就此椭圆的离心率为_. 【答案】5 5【命题立意】此题考查椭圆的几何性质,等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率；【

20、 解 析 】 椭 圆 的 顶 点 A a , 0 , B A , 0 , 焦 点 坐 标 为 F 1 c , 0 , F 2 c , 0 , 所 以AF 1 a c , F 1 B a c,F 1 F 2 2 c ,又由于 AF ,F 1F 2,F1 B 成等比数列,所以有4 c 2 a c a c a 2c 2,即 5 c 2a 2,所以 a 5 c,离心率为 e c 5. a 52 218.【高考江苏 8】（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中,如双曲线 x2 y1 的离心率为 5 ,m m 4就 m 的值为【答案】 2；【考点】 双曲线的性质；【解析】 由x2cm2 y41得a=m,b=

21、2 m44,c =mm2m4；m2e=m2 m4= 5,即m2m4=0,解得=2；am三、解答题名师归纳总结 19. 【高考江苏19】（16 分） 如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆x2y21 ab0的左、第 8 页,共 26 页a2b2右焦点分别为F 1c,0,F c,0已知 1,e和e,3都在椭圆上,其中e 为椭圆的离2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载心率（ 1）求椭圆的方程；（ 2）设A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点, 且直线AF 与直线BF 平行,AF 与BF 交于点 P（i ）如AF 1BF26,求直线AF 的斜

22、率；在椭圆上,得2（ii ）求证：PF 1PF 是定值【答案】 解：（1）由题设知,a2= b2c2,e = ca,由点 1,e 名师归纳总结 c 2= a1 2e 211c22=1b2c2=2 a b2a2=2 a b2b2=1,2=2第 9 页,共 26 页a2b2a22 a b21；a由点e,3在椭圆上,得232322 e221c221a24131a44 a24=0A x 1,y 1a2ba41a4椭圆的方程为2 xy21；2,（2）由（ 1）得F 1 1 0, ,F21 0,又AF BF ,设AF 1、BF 2的方程分别为my x1,my x1,B x 2,y 2,y 0,y 0；2

23、x 1=y 1 211m22y 1 22my 11=0y 1=m2m22；22m 2my 1x 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AF 1 =x 112y 12 0 =my 12优秀学习资料m欢迎下载22 m12 m m1；2 y 1=2 m12 2 m22 m22 m2PB1BF2同理,BF2=22 m1m m21；2 m =2；2 m2（i ）由得,AF 1BF 22m m21；解2m m221=6得2 m2m22留意到m 0,m = 2；直线AF 的斜率为1=2；m2,即（ii）证明：AF 1BF 2,PBBF2PF 1AF 111PBPF1B

24、FAFAF 2；1PF 1AFPFBF 2；11PF 1=AF 1BF 1；AF 1BF 2由点 B 在椭圆上知,BF 1BF 22 2,PF 1=AF 122 2PF 1+PF 2=AF 1BF同理；PF 2=BF 2222AF 1；AF 1BFAF 12 2BF 2BF 222AF 12 22AF BF 2AF 1BF 2AF 1BF 2AF 1BF2名师归纳总结 由得,AF 1BF=22m21,AF BF=2 m1,第 10 页,共 26 页m22m22PF 1+PF 2=2 22=32；22PF 1PF 是定值；20.【高考浙江理21】本小题满分15 分如图,椭圆 C：2 x+y21a

25、b0的离心率为1a22 b2其左焦点到点P2,1的距离为10 不过原点O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载AB 被直线 OP 平分求椭圆 C 的方程； 求 ABP 的面积取最大时直线 l 的方程【命题立意】 此题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解才能；【解析】 由题：e c 1； 1 a 2左焦点 c,0到点 P2, 1的距离为：d 2 c 21 210 2 由1 2 可解得：a 24,b 23,c 212 2所求椭圆 C 的方程

26、为：x+ y14 3易得直线 OP 的方程： y2x,设 AxA,yA,BxB,yB,Rx0,y0其中 y0 1 2x0A, B 在椭圆上,名师归纳总结 x A2+yA21kAByAy B3xAx B32x 0kAB3m2第 11 页,共 26 页43x B2+yB21xAxB4yAy B42y 02m m 0,301443设直线 AB 的方程为 l：y3x2代入椭圆：x2+y2x132 x3 mx2 m433my-2m20明显3m243m2331212 m12 且 m 04x x B2 m3由上又有：x Ax m,yAy 3|AB|1kAB|xAx |1kABxAx B23- - - - -

27、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载m2点 P2,1到直线 l 的距离表示为：d31m1kAB1kABSABP 1 2d|AB|1 2|m2|4m2,t 1a ；3当|m2|4m2,即 m 3 或 m0舍去 时, SABPmax 1 23此时直线 l 的方程 y3x12221.【高考辽宁理20】本小题满分12 分 如图,椭圆x C ：a2y21 ab0,a,b 为常数 ,动圆C 1:x2y22 t ,b2b2点A A 分别为C 的左,右顶点,C 与C 相交于 A,B, C,D 四点；求直线AA 与直线A B 交点 M 的轨迹方程 ;设动圆C 2:2 x

28、y2t2与C 相交于A/,B/,C/,/ D 四点,其中bt2a ,2t1t ；如矩形 ABCD 与矩形/ / / /A B C D 的面积相等,证明：2 t 12 t 为定值；【命题意图】此题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题,考查转化与化归才能、运算求解才能,是难题 . 【解析】设 A x y 1 , B x 1 ,-y 1,又知 A 1- ,0 , A 2 a ,0,就直线 A A 的方程为 y = y 1x a x 1 + a直线 A B 的方程为 y =-y 1 x a x a2由得 y 2=-2 y 12 x a 2 2x 1-a2 2 2由点 A x y

29、1 1 在椭圆 C 上,故可得 x 12 + y 12 =1,从而有 y 1 2= b 2 1- x 12,代入得a b a2 2x y2-2 =1 x - , 0 6 分a b（2）证明：设 A x y 2,由矩形 ABCD 与矩形 ABCD 的面积相等,得2 2 2 24 x 1 y 1 =4 x 2 y 2 , x y 1 = x 2 y 2,因 为 点 A A , 均 在 椭 圆 上,所 以2 22 2 x 1 2 2 x 2b x 1 1-2 = b x 2 1-2a a2 2 2 2 2 2 2 2 2 2由 t 1 t ,知 x 1 x ,所以 x 1 + x 2 = a ；从而

30、 y 1 + y 2 = b ,因而 t 1 + t 2 = a + b 为定值12 分【点评】 此题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载运算量较大； 在线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用；此题考查综合性较强,求解点 M 的轨迹方程时,要留意第一写出直线AA 和直线A2B的方程,然后求解；属于中档题,难度适中；名师归纳总结 22.【高考湖北理】 （本小题满分13 分）第 13 页,共 26 页设 A 是单位圆x2y21

31、上的任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线,D 是直线 l 与 x轴的交点, 点 M 在直线 l 上,且满意 |DM|m DA| m0,且m1. 当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线C （）求曲线C 的方程,判定曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标；（）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于 P , Q 两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N ,直线 QN 交曲线 C 于另一点H . 是否存在m ,使得对任意的k0,都有 PQPH ？如存在,求m 的值；如不存在,请说明理由. 【答案】（）如图1,设M x y ,A x 0,y0,就由 |DM|m DA| m0,且m1

32、,可得xx ,|y|m y0|,所以0xx ,|y0|1|y|. m由于 A 点在单位圆上运动,所以x 02y 021. 将式代入式即得所求曲线C 的方程为2 xy21 m0,且m1. m2由于m0, 11,所以当 0m1时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为12 m, 0, 12 m, 0；当m1时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为0,2 m1,0,2 m1. （） 解法 1：如图 2、3,k0,设P x kx ,H x2,y 2,就Qx 1,kx 1,N0,kx 1 ,直线 QN 的方程为y2 kxkx ,将其代入椭圆C 的方程并整理可得m24 k2x24