2022年高中数学函数解题技巧与方法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 专题 1 函数 理科 一、考点回忆 1.懂得函数的概念,明白映射的概念 . . 2.明白函数的单调性的概念,把握判定一些简洁函数的单调性的方法 3.明白反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简洁函数的反函数 . 4.懂得分数指数幂的概念,把握有理指数幂的运算性质,把握指数函数的概念、图象和性质 . 5.懂得对数的概念,把握对数的运算性质,把握对数函数的概念、图象和性质 . . 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简洁的实际问题 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是争论初

2、等函数的基石,也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义的深化理 解上下功夫复习函数的性质,可以从“数 ” 和“ 形” 两个方面,从懂得函数的单调性和奇偶性的定义入手,在判定 在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深 和证明函数的性质的问题中得以巩固,化详细要求是：1正确懂得函数单调性和奇偶性的定义,能精确判定函数的奇偶性,以及函数在某一区间的单调性,能娴熟运用定义证明函数的单调性和奇偶性2从数形结合的角度熟悉函数的单调性和奇偶性,深化对函数性质几何特点的懂得和运用,归纳总 结求函数最大值和最小值的常用方法3培育同学用运动变化的观点分析问题,提高同学用换元、转化、数形结合等

3、数学思想方法解决问 题的才能这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深化懂得函数的单调性只能在函数的定义域内来争论函数y fx 在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不肯定是函数在定义域上的整体性质函数的单 调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制对函数奇偶性定义的懂得,不能只停留在 fx fx 和 fx fx 这两个等式上, 要明确对定义 域内任意一个 x,都有 fx fx ,fx fx的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具 fx的图象关于直线 x a 对称的充要条件是对定义域内的任 备奇偶性的必要条件稍加推广,可得函数 意 x

4、,都有 fx af ax成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用依据已知条件,调动相关学问,挑选恰当的方 法解决问题,是对同学才能的较高要求函数的图象是函数性质的直观载体,函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 因此,把握函数的图像是学好函数性质的关键,这也正是“ 数形结合思想” 的表达；复习函数图像要留意 以下方面；1把握描画函数图象的两种基本方法描点法和图象变换法2会利用函数图象,进一步争论函数的性质

5、,解决方程、不等式中的问题3用数形结合的思想、分类争论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题4把握学问之间的联系,进一步培育观看、分析、归纳、概括和综合分析才能以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,把握这两种方法是本节的 重点运用描点法作图象应防止描点前的盲目性,也应防止盲目地连点成线要把表列在关键处,要把线 连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范畴、大致特点、变化趋势等作一个大致的争论而这个争论要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种 函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换这也是个难点例 1 设 a 0,求函数

6、fxxlnxax 0, 的单调区间递减 ；分析：欲求函数的单调区间,就须解不等式f 0递增 及f 0解：fx21xx1ax0当 a0, x0 时 f x 0 x22a4x a20,f x 0 x22a4x a20当 a 1 时,对全部 x 0,有 x22a 4xa2 0,即 f x 0,此时 fx 在0, 内单调递增 当 a1 时,对 x 1,有 x22a4x a20,即 f x 0,此时 fx 在0, 1内单调递增,在1, 内单调递增又知函数 fx在 x1 处连续,因此,函数 f x 在0, 内单调递增 当 0a1 时,令 f x 0,即x22a4x a20,解得x2a21a,或x2a21a

7、2a21a,）内也单调递因此,函数f x 在区间0,2a21a）内单调递增,在区间增名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载令 f x 0,即 x22a4xa2 0,解得：2a21a2x2a21a21a）内单调递减因此,函数fx在区间a21a,2a点评：本小题主要考查导数的概念和运算,应用导数争论函数性质的方法及推理和运算才能M例f2 已 知a0, 函 数fx 1ax,x 0 ,； 设0x 12, 记 曲 线yfx在 点xax 1,x 1处的切线为 l ；求 l 的方程；设 l 与 x 轴交点为 x

8、2 0, ；证明： 0 x 2 1；a 如 x 1 1,就 x 1 x 2 1a a分析：欲求切线 l 的方程,就须求出它的斜率,依据切线斜率的几何意义便不难发觉,问题归结为求曲线 y f x 在点 M x 1 , f x 1 的一阶导数值；解：求 f x 的导数：f x 12,由此得切线 l 的方程：x1 ax 1 1y 2 x x 1 ；x 1 x分析：要求 x 的变化范畴, 就须找到使 x 产生变化的缘由, 明显,2x 变化的根本缘由可归结为 1x 的变化,因此,找到 x 与 1x 的等量关系式,就成； 欲比较 2x 与 1x 的大小关系,判定它们的差的符号即可；证：依题意,切线方程中令

9、y 0,2 a. a x 11211x2x 1 1ax 1x 1x 1 2ax 1,其中0x 1由02x 1 , x 2a1 , 当且仅当ax 12ax 1,有x20 ,及x2aax2x 11时,x 21. ax 1aax 1,且由,x 2当x 11时,ax 11,因此,x2x 12aa所以x 1x 21；a点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法,考查不等式的基本性质,以及分析和解决问题的才能；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3、 函数 y 11学习好资料欢迎下载1 的图形变形到 xy x11,的图象是

10、 x1解析一：该题考查对fx1 图象以及对坐标平移公式的懂得,x将函数 y即向右平移一个单位,再变形到yx11即将前面图形沿x 轴翻转,再变形到y x111,从而得到答案B. 解析二：可利用特殊值法,取 答案： Bx0,此时 y1,取 x 2,此时 y0.因此选 B . 点评： 1、挑选题要留意利用特值排除法、估值排除法等；2、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为：先判定出函数的标准模型,并用换元法将问题复合、化归为所确定的标准模型；考点二：二次函数二次函数是中学代数的基本内容之一,它既简洁又具有丰富的内涵和外延 . 作为最基本的初等函数,可以以它为素材来争论函数的单调性、奇偶性

11、、最值等性质,仍可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线,可以联系其它平面曲线争论相互之间关系 . 这些纵横联系,使得环绕二次函数可以编制出层出不穷、敏捷多变的数学问题 . 同时,有关二次函数的内容又与近、现代数学进展紧密联系,是同学进入高校连续深造的重要学问基础 现,也就不足为奇了 . . 因此,从这个意义上说,有关二次函数的问题在高考中频繁出学习二次函数,可以从两个方面入手：一是解析式,二是图像特点 . 从解析式动身,可以进行纯粹的代数推理,这种代数推理、论证的才能反映出一个人的基本数学素养；从图像特点动身,可以实现数与形名师归纳总结 的自然结合,这正是中学数学中一种特别重要的

12、思想方法. ,x2满 足例 设 二 次 函 数 fxax2bxc a0, 方 程 fxx0 的 两 个 根 x10x1x21. 当 x0 ,x 1时,证明 xfxx1 . xx的a分析：在已知方程f xx0 两根的情形下,依据函数与方程根的关系,可以写出函数f表达式,从而得到函数fx 的表达式 . 第 4 页,共 19 页证明：由题意可知fxxaxx 1xx2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载faxx 1xx2.；x 和0xx 1x 21,aaxx1xx20,当 x0 ,x 1时,fxx. 又fx x 1a xx 1xx2xx1x

13、x 1axax 21 ,xx10 ,且axax211ax20 ,fxx 1,综上可知,所给问题获证. 点评：此题主要利用函数与方程根的关系,写出二次函数的零点式y例 5 已知二次函数fxax2bx1a,bR ,a0 ,设方程xx的两个实数根为x . 名师归纳总结 1假如x 12x24,设函数fx的对称轴为xx0,求证：x01；第 5 页,共 19 页2假如x 12,x2x 12,求 b 的取值范畴 . 分析：条件x12x 24实际上给出了fx x的两个实数根所在的区间,因此可以考虑利用上述图像特点去等价转化. 解：设gxfxxax2b1x1,就gx0的二根为x 和2x . 1由a0及x12x2

14、4,可得g 2 0,即4 a2 b10,即g 4 016 a4 b3033b30 ,2 a4a42b30,2 a4 a两式相加得b1,所以,x01; 2a2由x 1x 22ba1 224 a, 可得2a1b121. 1又x 1x 20,所以x 1, x同号 . ax 12,x2x 12等价于0ax 12bx221或x212x 1021,2112 ab1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即g210b1 2学习好资料00b1 21欢迎下载g2g00或g02a12 a1解之得b1 4或b7. 4点评： 在处理一元二次方程根的问题时,题的关键；考点三：抽象函

15、数考察该方程所对应的二次函数图像特点的充要条件是解决问抽象函数是指没有给出详细的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满意的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是高校高等数学函数部分的一个连接点,由于抽象函数没有详细的解析表达式作为载体,因此懂得争论起来比较困难 .但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查同学的思维才能,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层面去分析争论抽象函数问题,一函数性质法函数的特点是通过其性质如奇

16、偶性,单调性周期性,特殊点等反应出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,敏捷进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体摸索. ;2 ,利用单调性等价转化;3 ,利用周期性回来已知4; 利用对称性数形结合 ;5 ,借助特殊点,布列方程等二特殊化方法 1、在求解函数解析式或争论函数性质时,一般用代换的方法,将 x 换成 x 等；2、在求函数值时,可用特殊值代入；3、争论抽象函数的详细模型,用详细模型解挑选题,填空题,或由详细模型函数对综合题,的解答供应 思路和方法 . 总之,抽象函数问题求解,用常规方法一般很难凑效,但我们假如能通过

17、对题目的信息分析与争论,采纳特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍之功效,真有些山穷水复疑无路,柳暗花明又一村的快感 . 名师归纳总结 例 6、 A 是由定义在2 ,4 上且满意如下条件的函数x 组成的集合：对任意2x,12 ,都有 x 1 ,2； 存 在 常 数L0L1, 使 得 对 任 意 的x 1x1 ,2, 都 有第 6 页,共 19 页|2x12x2|L|x 1x2|设x31x,x2 ,4,证明：xA- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载设 x A,假如存在 x 0 2,1 ,使得 x 0 2 x 0 ,那么这样的 x 是唯

18、独的 ; 设 x A,任取 lx ,1 2 ,令 x n 1 2 x n , n ,1 2 , , 证明 : 给定正整数 k,对任意的正整数 p,k 1成立不等式 | x k l x k | L | x 2 x 1 |1 L解 ： 对 任 意 x ,1 2 , 2 x 3 1 2 x , x 1 , 2 ,3 3 x 3 5 ,1 3 3 3 5 2, 所 以 x ,1 2 对任意的 x 1x 2 ,1 2 ,2| 2 x 1 2 x 2 | | x 1 x 2 |3 1 2 x 1 2 3 1 2 x 1 1 x 2 3 1 x 2 2,3 3 1 2 x 1 2 3 1 2 x 1 1 x

19、 2 3 1 x 2,所以 03 1 2 x 1 2 3 1 2 2x 1 1 x 2 3 1 x 2 2 23,令3 1 2 x 1 2 3 1 2 2x 1 1 x 2 3 1 x 2 2 L ,0 L 1,| 2 x 1 2 x 2 | L | x 1 x 2 |所以 x A反证法 :设存在两个 x 0 , x 0 1 2, , x 0 x 0 使得 x 0 2 x 0 ,x 0 2 x 0 就/ / / /由 | 2 x 0 2 x 0 | L | x 0 x 0 |,得 | x 0 x 0 | L | x 0 x 0 |,所以 L 1,冲突,故结论成立；x 3x 2xk|2x 22

20、x 1Lx 21x 1,所以x n1x nk2n L1x 2x 1x 1|x 1Lk1|xkxkpxkxkxkp2xk1x|x2pp1p1Lxkpx kp1xkp1x kp2x k1x kk Lp2xx 1k Lp3x 2k L1x2x 1LK1x2x 11L点评：此题以高等数学学问为背景,与初等数学学问奇妙结合,考查了函数及其性质、不等式性质,考查了特殊与一般、化归与转化等数学思想；考点四：函数的综合应用名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 函数的综合运用主要是指运用函数的学问、思想和方法综合解

21、决问题函数描述了自然界中量的依 存关系,是对问题本身的数量本质特点和制约关系的一种刻画,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象 其数学特点,建立函数关系因此,运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓,把握有关函数知识是运用函数思想的前提,提高用初等数学思想方法争论函数的才能,树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键例 7 设函数f x tx222 t xt1xR,t01,2 递减求f x 的最小值h t ；如h t 2tm对t0 2,恒成立,求实数m 的取值范畴解： Qf x t xt2t3t1xR,t0,当 xt 时,f x 取最小值ftt3t1,即h t t3t1令g

22、t h t 2 tm t33 t1m ,由g t 3t230得t1,t1不合题意,舍去当 t 变化时g t ,g t 的变化情形如下表：t0,1 1g t 0g t 递增极大值1mg t 在 0 2, 内有最大值g11m h t 2 tm 在 0 2, 内恒成立等价于g t 0在 0 2, 内恒成立,即等价于 1m0,所以 m 的取值范畴为m1点评：此题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用,考查运用数学学问分析问题解决问题 的才能名师归纳总结 例 8 甲、乙两地相距S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c 千米时,已知汽车每第 8 页,共 19 页小时的运输成本以元为单位 由

23、可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v 千米时 的平方成正比,比例系数为b；固定部分为a 元. 把全程运输成本y 元表示为速度v 千米时 的函数,并指出函数的定义域；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶？分析：几个变量运输成本、速度、固定部分有相互的关联,抽象出其中的函数关系,并求函数的最小值 . 解： 读题 由主要关系：运输总成本每小时运输成本 时间,建模 有 y abv2 S va；当ac 时,行驶速度解题 所以全程运输成本y 元表示为速度v千米时 的函数关系式是：ySa vbv ,

24、其中函数的定义域是v0, c . a整理函数有ySa vbv Sv b,v由函数 y xk xk 0的单调性而得：当ac 时,就 v a时, y 取最小值；bb当ac 时,就 v c 时, y 取最小值 . b综上所述,为使全程成本y 最小,当ac 时,行驶速度应为v bbb应为 v c . 点评： 1.对于实际应用问题,可以通过建立目标函数,然后运用解 证不等式的方法求出函数的最大值.此或最小值,其中要特殊留意蕴涵的制约关系,如此题中速度v 的范畴,一旦忽视,将显现解答不完整种应用问题既属于函数模型,也可属于不等式模型. 方法总结与2022 年高考猜测一方法总结 本专题主要思想方法：1. 数

25、形结合 2. 分类争论 3. 函数与方程 二2022 年高考猜测 1.考查有关函数单调性和奇偶性的试题,从试题上看,抽象函数和详细函数都有,有向抽象函数进展 的趋势,另外试题留意对转化思想的考查,且都综合地考查单调性与奇偶性 . 2.考查与函数图象有关的试题,要从图中或列表中 读取各种信息,留意利用平移变换、伸缩变换、对名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载称变换,留意函数的对称性、函数值的变化趋势,培育运用数形结合思想来解题的才能 . 3.考查与反函数有关的试题,大多是求函数的解析式,定义域、值域

26、或函数图象等,一般不需求出反函数,只需将问题转化为与原函数有关的问题即可解决 . 4.考查与指数函数和对数函数有关的试题 .对指数函数与对数函数的考查,大多以基本函数的性质为依托,结合运算推理来解决 . 5 加强函数思想、 转化思想的考查是高考的一个重点 .善于转化命题, 引进变量建立函数,运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识,进展才能 . 6 留意与导数结合考查函数的性质 . 一、强化训练（一）挑选题 12 个 f x2 | |x2x 1|恒1. 函数yex1xR 的反函数是 A y1lnx x0By1lnx x0Cy1lnx x0Dy1lnx x02. 已知f x 3 a1 x4

27、 , a x1是 , 上的减函数,那么a 的取值范畴是logax x1A 0,1B0,1 C1 1 7 3D1 7,133. 在以下四个函数中,满意性质： “ 对于区间 1,2 上的任意x x2x 1x2,|f x 1成立” 的只有Af x 1B fx|x|Cf x 2xDf x x21f3 ,2cf5,就xf x lg . x 设af6 ,5b4. 已知f x 是周期为 2 的奇函数,当 0x1时,2A abcB bacCcbaDcab5. 函数f x 3x2xlg3x1的定义域是1 1 , 3 3D. ,1A .1,B. 1,1C. 3336、以下函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的

28、是名师归纳总结 A .yx 3 ,xRB. ysin ,xRC. yx ,xRD. y y1 2x ,xR第 10 页,共 19 页7、函数yf x 的反函数yf1 x 的图像与 y 轴交于点4 2Oyf1 P0,2如右图所示 ,就方程f x 0在 1,4 上的根是 x3xA .4 B.3 C. 2 D.1 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载R的最小值是8、设f x 是 R 上的任意函数,就以下表达正确选项Af x fx 是奇函数B f x fx 是奇函数C f x fx 是偶函数D f x fx 是偶函数9、已知函数yx e 的图

29、象与函数yfx 的图象关于直线yx 对称,就A f2 x2 exxR Bf2xln 2 ln x x0Cf2 x2 e x xR Df2xlnxln 2x010 、设f x 2x e1,x ,2x2.就ff2的值为log 2 x1,A 0 B1 C2 D3 11 、对 a,bR,记 max a,ba ,ab,函数 fxmax |x 1|,|x2| xb ,abA 0 B1 2C 3 2D3 12 、关于 x 的方程x22 1x21k0,给出以下四个命题：存在实数 k ,使得方程恰有2 个不同的实根；存在实数 k ,使得方程恰有4 个不同的实根；存在实数 k ,使得方程恰有5 个不同的实根；存在

30、实数 k ,使得方程恰有8 个不同的实根；其中假命题的个数是名师归纳总结 A 0 B 1 C2 D 3 f105,就（二）填空题 4 个 1.函数fx对于任意实数x满足条件fx2f1,如xff5_；xe x0.就g g 1_ 2 设g x lnx x0.1的 解 集23. 已知函数fxa211,如 fx 为奇函数,就a_ ；x4. 设a0,a1, 函 数f x log x22x3有 最 小 值 , 就 不 等 式 log ax为第 11 页,共 19 页；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （三）解答题 6 个 . 学习好资料,046,欢迎下载A和B之间

31、的关系, 并给出1. 设函数fxx24x51 在区间2,6上画出函数fx 的图像；. 试判定集合2 设集合Axfx 5,B,2证明；3 当k2时,求证：在区间,15上,ykx3k 的图像位于函数fx图像的上方 . 2、设 fx 3axb2 bxc . 如abc0,f00,f1 0,求证：a 0 且 2a 1；b方程 fx 0 在0 ,1内有两个实根 . 3. 已知定义域为R 的函数f 22xb是奇函数；a0设两曲线x1a求a b 的值；如对任意的 tR,不等式f t22 f2t2k0恒成立,求 k 的取值范畴；4. 设函数 f xx2c2a,其中 a 为实数 . ax如 fx的定义域为R,求

32、a 的取值范畴 ; 当 fx的定义域为R 时,求 fx 的单减区间 . 5. 已知定义在正实数集上的函数f x 1x22 ax ,g x 3a2lnxb ,其中2yf x ,yg x 有公共点,且在该点处的切线相同I用 a 表示 b ,并求 b 的最大值；名师归纳总结 II求证：f x g x x0 ,f x 是 fx 的导数；设a 11,6. 已知函数f x 2 xx1,是方程fx 0 的两个根a n1a nf a nn 1,2, 第 12 页,共 19 页fa n1 求,的值；2 证明：对任意的正整数n,都有a a；3 记b nlnanan1,2, ,求数列 b n的前 n 项和 Sn；an（四）创新试题- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -