2022年高考数学题涉及的数学思想方法能力.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高考数学题涉及的数学思想,方法,才能梁关化, 2022,5,25 A、 数学思想A1 、函数思想现实中存在很多变量,而变量与变量之间存在着直接或间接的关系；假如一个或几个变量的变动,引起另一个变量的变动 ,假如变量之间存在函数关系 , 我们就可以建立函数模型 ,决它们的问题；在数学中 , 我们经常遇到很多含参数的问题 , 如含参数的方程、含参数的不等式等,这时 , 我们可以用函数思想去处理；例1如不等式x6x5a对一切 xR实数恒成立,求a.；（a1）；A2 、方程思想求未知数, 使之满意肯定条件,这是数学中显现最多的问题

2、；这类问题,我们可以通过设未知数,建立方程或不等式进行求解；一般步骤为：设,列,解；例1曲线 fx=x4 -x 在点 P 处的切线平行于直线3x-y=0 ,求 P 的坐标；（1, 0）；A3 、和 A4 、转化和化归思想生活中, 为了熟识某一个人,我们可以通过他的伴侣或熟识他的人来熟识他；平常我们在争论问题时,也经常用转化的方法进行,如把生疏的问题转化为熟识的问题,把 A 问题归结 B 问题来解决；在数学中,同样也有很多问题需要用转化和化归思想来解决；例 1如下列图,已知抛物线y2 =2pxp0 ；过动点Ma,0 ,且斜率为1 的直线与该抛物线交于不同的两点A、B,|AB|2p；NAB 面积的

3、最大值；2 2 p 1 求 a 的取值范畴；（-p/21+yo x；A6 、分类争论思想物以类聚,人以群分,这是客观事实；数学也有很多问题需分类才能解决；如肯定值,开平方,指数函数,对数函数,含参数的方程、不等式、函数等；例 1解 不 等 式1mx0（ m0,x1;m=0,x1;0m1,1x1,x1 ）mA7 、补集思想在集合学问里,我们有 ACU A =U ,在概率学问里,我们有 P（A）+P（A =1；当直接求解某一量的值比较困难时,我们可以用这种补集思想；如在概率运算中, 直接求某一事件的概率困难时,可转为求它的对立大事的概率；例 1抛掷两个骰子,当至少有一个2 点或 3 点显现时,就说

4、这次试验胜利；（E1求一次试验中胜利的概率；（5/9）的概率分布列及的数学期望与方差；理科做 2 求在4 次试验中胜利次数=20/9；D=80/81）；A8 、对称思想 在数学里,有两种重要变换,轴对称变换和中心变换,这就是对称思想的由来；例1已知偶函数fx 的图象与 x 轴有五个公共点,求方程式fx=0 的全部实根之和；（0）；A9 、特别与一般的辩证思想 一般包含特别,特别孕育一般,这种辩证思想,在解挑选题时用得最多；例1一个等差数列的前n 和为 48,前 2n 和为 60,求它的前3n 和；（ 36）；A10 、整体思想由于一般包含特别,究整体,这就是整体思想；整体包括个体, 因此,在争

5、论个体问题遇到困难时,可以转向研名师归纳总结 例 1在等差数列 an中,已知a3a47,求6s ； 21 第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载；B、数学方法 B1、换元法 换元,是转化思想的详细表达；通过换元,高次向低次转化,多元向单元转化,生疏 向熟识转化；所以,这是一种很重要解题方法；例 1已知 f21lgx,求 fx ；fx=lg2-lgx-1x1 x2xa=1,x;a1, xx例 2设 a 为正常数,解关于x 的不等式：23x2xa20,1log2a;0a1,x1log2a,0 22；B2、待定法其实,

6、 这是方程思想的详细表达；把未知的量先设出来,出这些未知的量；这就是待定法；然后建立方程,通过解方程求例 1设 Pp,p3 是曲线 C:y=x3 的一点,过点P 引曲线 C 的切线,将切线以P 为中心逆时针方向旋转45；,得到直线l ；1求直线 l 的方程；（y-p313p2xp）13p22如 l 与 C 相交于不同的3 点时 ,求 p 的范畴； -1,133；B3、配方法利用公式 ab2a22abb2把形式为mx2 +nx+p 变为 mx+h2 +k 的形式,这就是配方法；配方法应用广泛；例 1设f x x22ax3,x 3,3,求f x 的最小值 .fx 的不动点 ,已知例 2对于函数fx

7、, 如存在x0R 使 fx0x 成立 ,就称 x 0为函数fx=ax2b1xb1 a0如对 bR ,fx 恒有两个相异的不动点,求实数 a 的取值范围；（0a0 , B , C 分 别 为x , y 轴 上 的 点 , 非 0 向 量 BP 满 足 ：第 3 页,共 7 页2 BC, BPAC,当 B 点在 x 轴上运动时,求点P 的轨迹方程 y24 axx0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载yPCBoAxCP；B5、和 B6 、综合法和分析法执因索果,执果索因,已知an可知,未知需知,这就是综合法和分析法；例1已知等比数列的首项

8、a1 =2,公比为1 ,前 2n 项和为s n ,证明：1log2s nlog2s n2log2s n12；B7、演绎法这是从一般到特别的证明数学命题的证明方法；详细步骤就是所谓的三段论式：大前提,小前提,结论；例 1已知数列 a n 中,a 1 =3 ,a n =2-511n2,nN,数列 b n 满意 b n =an11an求证数列 b n 是等比数列；B8、归纳法 有不完全归纳法和完全归纳法（数学归纳法）两种；例 1一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的两倍）第一行 1 其次行 2 3 4 5 6 7 第三行；就第九行中的第4 个数是2n_, B n =n2nnN

9、,试比较A 与 B n大小例2设A =21n2；B9、构造法 依据条件,构造详细的对象进行求解；名师归纳总结 AP例 1如非空集合P 与 Q 的关系为 PQ ,就以下结论中正确选项第 4 页,共 7 页Q =P B PQ =CQPD PQ =Q - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载；B10、试验法 按题设条件,赋值试验；例1如ab11b0ab有a下,4列2a不等式：ab1 ,2a3, b a2a2b,其中正确的不等式有 bb个；（3 个）；B11、反证法 正难就反；由于原命题与逆否命题等价,所以证明原命题可以改证它的逆否命题；例 1

10、设 fx= x2axb,1 ；2求证： |f1|,|f2|,|f3| 中,至少有一个不小于；B12、割补法 在解几何问题时有时要把一个复杂的图形分割成几个简洁的图形,或反之, 把一个图形 补整为一个规章的图形,转化为一个简洁解决的问题；例 1四周体 ABCD 各顶点到其所对平面之距离分别是H 、H2、H3、H4、四周体内任意一点O 到各面的距离分别为h 1、 h1 、h 3 、h 4求证：h 1+h2+h3+h4=1 H1H2H2H4；B13、极限法 极限,是争论变量的变化趋势；如,切线就是割线的极限位置；例1设 x n =b1n1,其中 b1,nN ,求函数 fx=n+bn x-x n ,（

11、x0 ）bb1的定义域（ x0,bb1）；B14、特别法在解挑选题时, 利用特别值代入检验,或将问题特别化,构造满意条件的特别函数或图形特别位置进行解题,这就是特别法；名师归纳总结 例 1如 0|x|4,就（）（B）D.cot2xsinx B.cos2xtanx 例 2定义在 R 上的奇函数fx 为减函数,设a+b0 ,给出以下不等式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）faf-a0 2fbf-b优秀学习资料欢迎下载0 3fa+fb f-a+f-b 其中正确的不等式序号是 1,3 ；B15、解析法通过直角坐标系这座桥梁,使数与形得以结合；用代数的方法

12、争论几何问题,这就是解析法；例 1如图,在 Rt ABC 中,已知 BC=a,如长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ与 BC 的夹角 取何值时 BP CQ 的值最大 .并求出这个最大值 .0;0 CaA B；B16、向量法 利用向量解几何题,关键是将有关线段设为向量；当然设出有关向量的坐标,用坐标 运算,这样解题过程更加程序化,使解法变简洁；例 1正方形 OABC 两边 AB ,BC 的中点分别为D 和 E,求DOE 的余弦值；（4 ）5；C、数学才能 C1、运算才能 对运算的要求是：准；快；合理；例 1已知函数fx=xa1xa,aR .; 1证明：函数y=fx 的图象关于点

13、a,-1成中心对称图形2当 xa,1a2 时,证明： fx2 ,32；C2、规律推理才能 推理要合符规律,要严密；例 1设函数 fx=x22bxccb1 ,f1 1,0,且方程 fx+1=0 有实根；证明： -30,b+c0 ,c+a0,试证明： fa+fb+fc0 ；C5、观看、推测、归纳才能 敏捷的洞悉才能,是人的一种高级才能；特别到一般,详细到抽象,这也是人们熟识自然的一种方法；先归纳推测,后严格证明,在科学争论中也经常使用；例 1已知数列 a n 的各项均为正整数, 且满意an1an22nan2,nN,a5111求 a1、a2、a3、a 的值 ;（3,5,7,9）2求数列 a n 的通

14、项公式； （an2n1）；C6、阅读、懂得、应用才能 给出一个新定义（或定理）,课本没显现过,让你运用它去解决一个实际问题；例 1定义两种运算： a b= a 2 b 2 , a*b= a b 2 , 就函数 fx=2x/x *2-2是（）A奇函数B；偶函数C；奇函数或偶函数D；既非奇函数又非偶函数此（A ）；C7、类比、推广、学问迁移才能 平面图形类比空间图形,特别推广到一般,此学问迁移到情形相同的彼地方；例1在平面几何里,可以得出正确结论：“ 正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的1 ” ；拓展到空间,类比平面几何的上述结论,就正四周体的内切 3球半径等于这个正四周体的高的；1/4 ；C8、探究、发觉、独立摸索和创新才能 由条件探究可能成立的结论或由结论去探究应具备的充分条件,发觉和捕捉有助解题的信息（包括明的和暗的） ,排除干扰,独立摸索,制造性解决问题；例 1已知函数fx 在定义域 -1, 上是减函数,问是否存在实数k,使得不等式fk-sinxfk2sin2x 对一切实数x 恒成立？ 存在； k=-1 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页