2022年高考数学之数学归纳法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高考数学之数学归纳法运用数学归纳法证明问题时,关键是 n k1 时命题成立的推证,此步证明要具有目标意识, 留意与最终要达到的解题目标进行分析比较,以此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成解题；运用数学归纳法,可以证明以下问题：与自然数等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等；、再现性题组：n 有关的恒等式、代数不等式、三角不1. 用数学归纳法证明 n 1n 2 n n 2 n 1 2 2n 1 （nN）,从“k到 k1” ,左端需乘的代数式为 _； A. 2k 1 B. 22k1 C. 2 k 1 D.

2、 2 k 3k 1 k 12. 用数学归纳法证明 111 n 1 1 时,由 nk k1 不等式成2 3 2 1立,推证 nk 1 时,左边应增加的代数式的个数是 _； A. 2 k 1 B. 2 k 1 C. 2 k D. 2 k 1 3. 某个命题与自然数 n 有关,如 nk kN时该命题成立,那么可推得 nk 1 时该命题也成立； 现已知当 n5 时该命题不成立, 那么可推得 _； 94 年上海高考 A. 当 n6 时该命题不成立 B. 当 n6 时该命题成立 C. 当 n4 时该命题不成立 D. 当 n4 时该命题成立4. 数列 a n 中,已知 a1 1,当 n2 时 a n a n

3、 1 2n1,依次运算 a 2 、a 3 、a 4 后,猜想 a n 的表达式是 _；34k A. 3n 2 B. n2 C. 3n 1 D. 4n 3 5. 用数学归纳法证明34n252n1 nN能被14 整除,当nk 1 时对于式子1 252k1 1应变形为 _；6. 设 k 棱柱有 fk 个对角面,就 k1 棱柱对角面的个数为fk+1 fk _；【简解】 1 小题： n k 时,左端的代数式是 k 1k 2 k k,n k1 时,左端的 2 k 1 2 k 2 代数式是 k 2k 3 2k 12k 2 ,所以应乘的代数式为,选 B；k 12 小题：（ 2 k 1 1）（ 2 k 1） 2

4、 k ,选 C；3 小题： 原命题与逆否命题等价,如 nk1 时命题不成立, 就 n k 命题不成立, 选 C；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载4 小题：运算出 a 1 1、a 2 4、 a 3 9、a 4 16 再猜想 a n ,选 B；5 小题：答案（ 34k252k1）3k 52k1（52 34 ）；6 小题：答案k1；、示范性题组：81 8n例1. 已知数列1 23 2,得, , 2 n 1 2 2 n 1 2, ；S n 为其前 n 项和, 求 S1、S2 、S3 、S4 ,估计 S

5、 n 公式,并用数学归纳法证明；（93 年全国理）【解】运算得 S1 89,S2 24 25,S3 48 49,S 4 80 81,2推测 S n 2 n2 n 1 1 2 1 nN；当 n1 时,等式明显成立；2假设当 nk 时等式成立,即：S k 2 k2 k 1 1 2 1,8 k 1 当 nk1 时, S k 1 Sk 2 k 1 2 2 k 3 2 2 k2 k 1 1 2 2 1 2 k 81 2 k 2 1k 3 2 2 k 1 2 2 k 3 2 2 k 3 28 k 1 2 k 1 2 2 k 3 22 2 2 2 2 k 12 k 1 2 k23 2 k 3 2 k2 1

6、2 k2 k 3 3 2 1, 由此可知,当 nk1 时等式也成立；综上所述,等式对任何 nN都成立；【注】把要证的等式 S k 1 2 k2 k 3 3 2 2 1作为目标,先通分使分母含有 2k 3 2,再考虑要约分, 而将分子变形, 并留意约分后得到（2k3）2 1；这样证题过程中简洁一些,有效地确定了证题的方向；此题的思路是从试验、观看动身, 用不完全归纳法作出归纳猜想,再用数学归纳法进行严格证明,这是关于探干脆问题的常见证法,在数列问题中常常见到；假如猜想后不用数学归纳法证明,结论不肯定正确,即使正确,解答过程也不严密；必需要名师归纳总结 进行三步：试值 猜想 证明；第 2 页,共

7、5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【另解】用裂项相消法求和：优秀学习资料欢迎下载8n 1 1由 a n 2 n 1 2 2 n 1 2 2 n 1 2 2 n 1 2 得,S n （ 11 2）（1 2 1 2） 12121123 3 5 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n2 n 1 1 2 2 1；8n此种解法与用试值猜想证明相比,过程非常简洁,但要求发觉 2 n 1 2 2 n 1 21 122 的裂项公式；可以说,用试值猜想证明三步解题,具有一般性； 2 n 1 2 n 1 例 2. 设 a n 1223 n n 1 nN, 证明：

8、12 nn 1a n 1 2n 1 2 ；【分析】与自然数 n 有关,考虑用数学归纳法证明；n1 时简洁证得, nk1 时,因为 a k 1 a k k 1 k 2 , 所 以 在 假 设 n k 成 立 得 到 的 不 等 式 中 同 时 加 上 k 1 k 2 ,再与目标比较而进行适当的放缩求解；【解】当 n1 时, a n 2 ,1 nn+1 1,1 n+1 2 2 ,2 2 2 n 1 时不等式成立；假设当 nk 时不等式成立,即：12 kk 1a k 1 2 k 1 2,当 nk1 时,12 kk 1 k 1 k 2 a k 1 1 kk 1 k 1 1 k 1k 31 k 1k 2 ,2 2 2 21k 1 2 k 1 k 2 1 k 1 2 k 23 k 2 1 k 1 2 k 3 1 k2 2 2 2 22 2,所以1 k 1k 2 a k 1 k 22 2综上所述,对全部的 n N,不等式122 ,即 nk1 时不等式也成立；nn 1a n n 可得, a n 123 n1 2 nn 1 ；由 n n 1 n1 2 可得, a n 1 23 n1 2 n1 2 nn 1 1 2 n1 2 n 2 2n1 2 n 1 2 ；所以1 2 nn 1a n n n1且 nN名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页