2011第5章线性参数的最小二乘法处理ppt课件.ppt

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1、线性参数的最小二乘法处理线性参数的最小二乘法处理 最小二乘法原理最小二乘法原理 正规方程正规方程 精度估计精度估计 组合测量的最小二乘法处理组合测量的最小二乘法处理一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理 12,.,tXXX待测量待测量12,.,txxx待测量的估计值待测量的估计值12,.,nYYY与待测量有函数关系的直接测量量与待测量有函数关系的直接测量量12,.,nyyy直接测量量的估计值直接测量量的估计值12,.,nlll直接测量量的测量值直接测量量的测量值t待测量的数目待测量的数目n直接测量量的数目直接测量量的数目一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理 2212tYf ( X ,X ,.,X

2、 ) 1112tYf ( X ,X ,.,X ) 12nntYf ( X ,X ,.,X ) 2212tyf ( x ,x ,.,x ) 1112tyf ( x ,x ,.,x ) 12nntyf ( x ,x ,.,x ) 一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理 111vly 11112tvlf ( x ,x ,.,x ) 222vly nnnvly 22212tvlf ( x ,x ,.,x ) 12nnntvlf ( x ,x ,.,x ) 一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理 如果测量数据的测量误差是无偏的如果测量数据的测量误差是无偏的 （即排除了系统误（即排除了系统误差），差）， 相互

3、独立的，且服从正态分布相互独立的，且服从正态分布 。 设标准差分别为设标准差分别为 ：区域区域12n,., 12nl ,l ,.,l出现在相应真值附近出现在相应真值附近12nd,d,.,d 内得概率分别为内得概率分别为221121112/()ped 222222212/()ped 222222212/()ped 则测量数据则测量数据一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理 根据概率乘法原理，各测量数据同时出现在相应区域根据概率乘法原理，各测量数据同时出现在相应区域12nd,d,.,d 内的概率应为内的概率应为 22222211221221212nnn(/./) /nnpp p .ped. 待求量最

4、可信赖值的确定，应使得待求量最可信赖值的确定，应使得12nl ,l ,.,l同时同时出现在真值附近区域的概率出现在真值附近区域的概率P最大。要使最大。要使P最大应满足最大应满足2221222212nn. 最最 小小一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理 上述条件中用残余误差代替误差可以得到：上述条件中用残余误差代替误差可以得到：2221222212nnvvv. 最最 小小 引入权的符号引入权的符号 p 可得：可得：2221122nnp vp v.p v 最最 小小 在等精度测量中在等精度测量中：12n. 22212nvv.v 最最 小小12npp.p 则则一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理 上

5、式表明，测量结果的最可信赖值应在残余误上式表明，测量结果的最可信赖值应在残余误差平方和差平方和( (在不等精度测量的情形中应为加权残余误在不等精度测量的情形中应为加权残余误差平方和差平方和) )为最小的条件下求出，这就是最小二乘法为最小的条件下求出，这就是最小二乘法原理。原理。 实质上，按最小二乘条件给出最终结果能充分实质上，按最小二乘条件给出最终结果能充分地利用误差的抵偿作用，可以有效地减小随机误差地利用误差的抵偿作用，可以有效地减小随机误差的影响，因而所得结果具有最可信赖性。的影响，因而所得结果具有最可信赖性。 必须指出，上述最小二乘原理是在测量误差无必须指出，上述最小二乘原理是在测量误差

6、无偏、正态分布和相互独立的条件下推导出的，但在偏、正态分布和相互独立的条件下推导出的，但在不严格服从正态分布的情形下也常被使用。不严格服从正态分布的情形下也常被使用。 一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理 一般情况下，最小二乘法可以用于线性参数一般情况下，最小二乘法可以用于线性参数的处理，也可用于非线性参数的处理。由于测的处理，也可用于非线性参数的处理。由于测 量的实际问题中大量的是属于线性的，而非线性量的实际问题中大量的是属于线性的，而非线性参数借助于级数展开的方法可以在某一区域近似参数借助于级数展开的方法可以在某一区域近似地化成线性的形式。因此，线性参数的最小二乘地化成线性的形式。因此，线

7、性参数的最小二乘法处理是最小二乘法理论所研究的基本内容。法处理是最小二乘法理论所研究的基本内容。一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理 11111221ttYaXaX.aX 相应的估计量为：相应的估计量为： 线性参数的测量方程一般为：线性参数的测量方程一般为：22112222 ttYaXaX.aX 1122nnnnttYaXaX.aX 11111221ttyaxax.ax 1122nnnnttyaxax.ax 22112222 ttyaxax.ax 一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理 残余误差方程式为：残余误差方程式为：111111221ttvl( axax.ax ) 222112222 tt

8、vl( axax.ax ) 1122nnnnnttvl( axax.ax ) 12nl ,l ,.,l直接测量结果直接测量结果12nx , x ,., x待求的被测量的估计值待求的被测量的估计值12nv, v, ., v直接测量结果的残余误差直接测量结果的残余误差1112nta,a, .,a残余误差方程的残余误差方程的 nt 个系数个系数一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理 12nll.L.l 12nvv.V.v 12txx.X.x 111212122212ttnnntaa.aaa.aAaa.a 设有列向量设有列向量和和 nt 阶矩阵阶矩阵nt一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理 111111

9、212221222212ttnnntnntvlxaa.avlaa.ax.aa.avlx 则线性参数的残余误差方程为则线性参数的残余误差方程为则等精度测量时线性参数的残余误差方程为则等精度测量时线性参数的残余误差方程为1212nnvv.vv.v.v 最最小小XALV一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理 TV V 最最小小T( LAX ) ( LAX )最最小小 线性参数的不等精度测量还可以转化为等线性参数的不等精度测量还可以转化为等精度的形式，从而可以利用等精度测量时测量精度的形式，从而可以利用等精度测量时测量数据的最小二乘法处理的全部结果。数据的最小二乘法处理的全部结果。一、最小二乘法原理一、

10、最小二乘法原理 不等精度测量的线性参数最小二乘原理不等精度测量的线性参数最小二乘原理不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：2222221221000000000000nnnnpppP权矩阵权矩阵最小）（）（最小XALPXALPVVTT思路一：思路一：一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理 思路二：不等精度等精度思路二：不等精度等精度iptnntnnnnnnnnttttxpaxpaxpaplpvxpaxpaxpaplpvxpaxpaxpaplpv22112222221221222211211211111111ivil1 ia2iaita则有：则有：最小）（）（最小

11、XALXALVVTT二、正规方程二、正规方程 为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目，即所得误差方程式的数目总是未知参数的数目，即所得误差方程式的数目总是要多于未知数的数目。因而直接用一般解代数方要多于未知数的数目。因而直接用一般解代数方程的方法是无法求解这些未知参数的。最小二乘程的方法是无法求解这些未知参数的。最小二乘法则可以将误差方程转化为有确定解的代数方程法则可以将误差方程转化为有确定解的代数方程组组( (其方程式数目正好等于未知数的个数其方程式数目正好等于未知数的个数) )，从而，从而可求解出这些未知参数。这个有确定解的代数方可求解出

12、这些未知参数。这个有确定解的代数方程组称为最小二乘法估计的正规方程程组称为最小二乘法估计的正规方程( (或称为法或称为法方程方程) )。二、正规方程二、正规方程 线性参数的最小二乘法处理程序可归结为：线性参数的最小二乘法处理程序可归结为：首先根据具体问题列出误差方程式；首先根据具体问题列出误差方程式；再按最小二乘法原理，利用求极值的方法将误差再按最小二乘法原理，利用求极值的方法将误差方程转化为正规方程；方程转化为正规方程；然后求解正规方程，得到待求的估计量；然后求解正规方程，得到待求的估计量；最后给出精度估计。最后给出精度估计。 对于非线性参数，可先将其线性化，然后按上对于非线性参数，可先将其

13、线性化，然后按上述线性参数的最小二乘法处理程序去处理。述线性参数的最小二乘法处理程序去处理。二、正规方程二、正规方程 线性残余误差方程式为：线性残余误差方程式为：111111221ttvl( axax.ax ) 222112222 ttvl( axax.ax ) 1122nnnnnttvl( axax.ax ) 22212nini= 1v=vv.v 最最 小小 在等精度测量中，要求得待求量的估计值的最可信赖在等精度测量中，要求得待求量的估计值的最可信赖值必须满足的的条件为：值必须满足的的条件为：二、正规方程二、正规方程 令：令：2221212ninti= 1v=vv.vg( x , x , .

14、, x ) 11112121111111111221121211112111221122122222222222nnniiiiiiinttnnnnntttiintvvvgvv.vxxxxalal( axaal( xaax( axax.ax )x.ax )al( axax.axaa.). 11ntiitixaa) 二、正规方程二、正规方程 1111112121111niinnia aa aa aa a 1211122122121niinnia aa aa aa a 111121211niinttnntia aa aa aa a 111 121 211niinnia la la lal 11121

15、2122212ttnnntaa.aaa.aAaa.a 11112121111112nnnniiiiiitiitiiiiga l( xa axa a.xa a)x 12nll.L.l 二、正规方程二、正规方程 令：令：2221212ninti= 1v=vv.vg( x , x , ., x ) 22222111212221111212222221122221211111221222222222nnttniiiiiittnnnnnnntitiial( axax.al( axax.al( xaaxaa.vvvgvv.vxxxxal( axax.ax ).ax )x ).a. 21ntiitixaa)

16、 二、正规方程二、正规方程 2112112221211niinnia aa aa aaa 2212122222221niinnia aa aa aaa 212122221niinttnntia aa aa aaa 212 122 221niinnia la la lal 111212122212ttnnntaa.aaa.aAaa.a 21212222111212nnnniiiiiitiitiiiiga lx( xa axa a.xa a) 12nll.L.l 二、正规方程二、正规方程 112211112nnnnitiitiititititiiiitga l( xa axa a.xa a )x

17、21212222111122nnnniiiiiitiitiiiiga l( xa axa a.xa a )x 11112121111112nnnniiiiiitiitiiiiga l( xa axa a.xa a )x 二、正规方程二、正规方程 2112221111222121220nnnnitiitiititititiiiitnititttntiga l( xa axa a.xa a )xa aaaa 22121222221111222222122221220nnnniiiiiitiitiiiiniiniga l( xa axa a.xa a )xa aaaa 211112121211111

18、22211112111220nnnniiiiiitiitiiiiniiniga l( xa axa a.xa a )xa aaaa 二、正规方程二、正规方程 1122111120nnnnit iitiititititiiiitga l( xa axa a.xa a )x 212122221111220nnnniiiiiitiitiiiiga l( xa axa a.xa a )x 111121211111120nnnniiiiiitiitiiiiga l( xa axa a.xa a )x 令：令：二、正规方程二、正规方程 112211110nnnnitiitiititititiiiia l(

19、 xa axa a.xa a ) 2121222211110nnnniiiiiitiitiiiia l( xa axa a.xa a ) 1111212111110nnnniiiiiitiitiiiia l( xa axa a.xa a ) 即：即：二、正规方程二、正规方程 11221111nnnnitiitiitittitiiiiia a xa ax.a a xa l 211222221111nnnniiiiiittiiiiiia a xa ax.a a xa l 111122111111nnnniiiiiittiiiiiia a xa ax.a a xa l 即：即：11121212221

20、2ttnnntaa.aaa.aAaa.a 12nll.L.l 主对角线分布着平方项系数，正数主对角线分布着平方项系数，正数相对于主对角线对称分布的各系数两两相等相对于主对角线对称分布的各系数两两相等二、正规方程二、正规方程 1111212111110nnnniiiiiitiitiiiia l( xa axa a.xa a ) 11 121 21111112121111111122212221221112121111111122121221122221211nnnnnnttttnnttttttnn( a la lal )( a axa axa ax )( a axa axa ax )( a a

21、xa axa ax )al( axax.a x )al( axax.ax )al( ax 2211121210nnttnnax.ax )a va va v 二、正规方程二、正规方程 2121222211110nnnniiiiiitiitiiiia l( xa axa a.xa a ) 12 122 22121112221121112122222222221212222121111122122221122222211nnnnnnttttnnttttttnn( a la lal )( a axa axaax )( a axa axaax )( a a xa axaax )al( axax.a x

22、)al( axax.ax )al( ax 2212122220nnttnnax.ax )a va vav 二、正规方程二、正规方程 12122220nna va vav 11121210nna va va v 11220ttntna va va v 1121111222221210nnttntnaa.avaa.avaa.av 111212122212ttnnntaa.aaa.aAaa.a 112111222212nnTttntaa.aaa.aAaa.a 0TA V 二、正规方程二、正规方程 0TA V VLAX 0TTA LA AX TCA A TTA AXA L TCXA L 1TXCA L

23、 令：令：例例5-1 已知任意温度已知任意温度 t 时的铜棒长度时的铜棒长度yt 、0时的铜棒长度时的铜棒长度y0和铜的线膨胀系数和铜的线膨胀系数具有线性关系具有线性关系二、正规方程二、正规方程 现测得不同温现测得不同温t0yy (1t ) 度度 ti 下，铜棒长度下，铜棒长度li如下表，试估计如下表，试估计 y0 和和 的最可信赖值。的最可信赖值。1234561020253040452000.362000.722000.802000.072001.482001.60i/itC /ilmm解题步骤：解题步骤：分析、写出函数关系式分析、写出函数关系式列出误差方程：残余误差列出误差方程：残余误差=

24、测量值测量值-估计值估计值 写出系数矩阵和测量值矩阵写出系数矩阵和测量值矩阵求出正规方程，求解方程求出正规方程，求解方程二、正规方程二、正规方程 分析、写出函数关系式分析、写出函数关系式t000yy ( 1t )yyt 令：令：1020zzzzzxyzxzy t12yxtx 则：则：列出误差方程列出误差方程iiii12vlyl( xtx) 1122000 3610v.( xx) 2122000 7220v.( xx) 4122001 0730v.( xx) 5122001 4840v.( xx) 3122000 8025v.( xx) 6122001 6045v.( xx) 二、正规方程二、正

25、规方程 写出系数矩阵和测量值矩阵写出系数矩阵和测量值矩阵110120125130140145A 2000 362000 722000 802001 072001 482001 60.L. 111111102025304045TA 求出正规方程求出正规方程1212617012006 031705650340201 3xx.xx. 解得：解得：121999 970 03654x.m mx.m m /C 01201999 970 036540 0001831999 97yx.m mx.m m /C./Cy.m m 12xXx 二、正规方程二、正规方程 110120125130140145A 2000

26、 362000 722000 802001 072001 482001 60.L. 161701 130 03417056500 0340 0012TAAA.CA AC.A. 求出正规方程（矩阵形式）求出正规方程（矩阵形式）解得：解得：01201999 970 036540 0001831999 97yx.m mx.m m /C./Cy.m m TTA AXA L 12xXx 1121 130 03412006 031999 970 0340 0012340201 30 03654Tx.XCA Lx. 111111102025304045TA 二二 正规方程正规方程 不等精度测量线性参数最小二

27、乘处理的正规方程不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程最小niiivp120)(0)(12112nniiiniiixvpxvp由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程：正规方程：tniititiniiitiniiitiiniititniitiiniiiiniiiiiniiitniitiiniiiiniiiiiniiixaapxaapxaaplapxaapxaapxaaplapxaapxaapxaaplap12121111122122111212112121111111整理得：整理得：000222111222221121122121111n

28、ntnttnnnnnnvapvapvapvapvapvapvapvapvap二二 正规方程正规方程 即即0PVAT不等精度的正规方程不等精度的正规方程将代入上式，得将代入上式，得XALV0XPAAPLATTPLAXPAATTPAACTPLAXCTPLACXT1（待测量的无偏估计）（待测量的无偏估计）二二 正规方程正规方程 例例5.2 5.2 某测量过程有误差方程式及相应的标准差：某测量过程有误差方程式及相应的标准差： 08.0)5(27.1508.0)4(22.1308.0)3(81.1006.0)2(60.806.0)(44.652154214321322121211xxvxxvxxvxxv

29、xxv试求试求 的最可信赖值。的最可信赖值。21,xx解：首先确定各式的权解：首先确定各式的权9:9:9:16:161:1:1:1:1:252423222154321ppppp二二 正规方程正规方程 二二 正规方程正规方程 令令61514131211127.1522.1381.1060. 844. 621AxxXL900000900000900000160000016nnP227. 2186. 4)(121PLAPAAxxXTT二二 正规方程正规方程 非线性参数最小二乘处理的正规方程非线性参数最小二乘处理的正规方程针对非线性函数针对非线性函数), 2 , 1(),(21nixxxfytii其测

30、量误差方程为其测量误差方程为 ),(),(),(212122221111tnnnttxxxflvxxxflvxxxflv02010,txxxtiiiititixfxfxfxxxfxxxf02021010201021)()()(),(),(令令 ，现将函数在，现将函数在 处展开，则有处展开，则有tttxxxxxx022021101,二二 正规方程正规方程 将上述展开式代入误差方程，令将上述展开式代入误差方程，令002201102010)(,)(,)(),(tiitiiiitiiixfaxfaxfaxxxfll则误差方程转化为线性方程组则误差方程转化为线性方程组)()()(221122221212

31、2121211111tntnnnnttttaaalvaaalvaaalv于是可解得于是可解得 ，进而可得，进而可得 。), 2 , 1(trr), 2 , 1(trxr近似值近似值二二 正规方程正规方程 为获得函数的展开式，必须首先确定为获得函数的展开式，必须首先确定 02010,txxx1）直接测量）直接测量2）通过部分方程式进行计算：从误差方程中选取）通过部分方程式进行计算：从误差方程中选取 最简单的最简单的t个方程式，如令个方程式，如令 ，由此可解得，由此可解得 。0iv02010,txxx二二 正规方程正规方程 二、正规方程二、正规方程 最小二乘法原理与算术平均值的关系最小二乘法原理与

32、算术平均值的关系11vlx 22vlx nnvlx 111A 12nll.L.l Xx n1iin1iiiplpx结论：结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的，最小二乘原理与算术平均值原理是一致的， 算术平均值原理是最小二乘原理的特例。算术平均值原理是最小二乘原理的特例。nlxn1ii三、精度估计三、精度估计 对测量数据最小二乘法处理的最终结果，不对测量数据最小二乘法处理的最终结果，不仅要给出待求量的最可信赖的估计量，而且还仅要给出待求量的最可信赖的估计量，而且还要确定其可信赖程度，即应给出所得估计量的要确定其可信赖程度，即应给出所得估计量的精度精度 。 为了确定最小二乘估计量的为了确定最

33、小二乘估计量的精度精度，首先需，首先需要给出直接测量所得测量数据的精度。测量数要给出直接测量所得测量数据的精度。测量数据的精度也以标准差来表示。因为无法求得据的精度也以标准差来表示。因为无法求得标标准准的真值，因而只能依据有限次的测量结果给的真值，因而只能依据有限次的测量结果给出出标准差标准差的估计值。所谓给出精度估计，实际的估计值。所谓给出精度估计，实际上是求出上是求出标准差的标准差的估计估计值。值。目的：给出估计量目的：给出估计量 的精度。的精度。txxx,21一、测量数据精度估计一、测量数据精度估计A）等精度测量数据的精度估计）等精度测量数据的精度估计nlll,21对对 进行进行n次等精

34、度测量，得次等精度测量，得 的估计量。的估计量。2可以证明可以证明 是自由度（是自由度（nt）的）的 变量。变量。根据根据 变量的性质，有变量的性质，有212/ )(niiv22tnvEnii212212tnvEnii三、精度估计三、精度估计 则可取tnvnii122作为 的无偏估计量。2因此测量数据的标准差的估计量为tnvnii12三、精度估计三、精度估计 三、精度估计三、精度估计 等精度测量数据的精度等精度测量数据的精度 111111221ttvl( axax.ax ) 222112222 ttvl( axax.ax ) 1122nnnnnttvl( axax.ax ) 公式中的残余误差由

35、根据残余误差方程式求得公式中的残余误差由根据残余误差方程式求得例例 5-3 5-3 求例求例 5-15-1中铜棒长度的测量精度。中铜棒长度的测量精度。21niivnt 三、精度估计三、精度估计 等精度测量数据的精度等精度测量数据的精度 iiii12vlyl( xtx) 12000 361999 97100 036540 03v.(.)m m.m m 22000 721999 97200 036540 02v.(.)m m.m m 32000 801999 97250 036540 08v.(.)m m.m m 42001 071999 97300 036540v.(.)m mm m 62001

36、 601999 97450 036540 02v.(.)m m.m m 52001 481999 97400 036540 05v.(.)m m.m m 62210.0106iivmm 210.01060.05162niivmmnt B）不等精度测量数据的精度估计）不等精度测量数据的精度估计tnvpniii122tnvpniii12测量数据的单位权测量数据的单位权标准差的无偏估计标准差的无偏估计三、精度估计三、精度估计 三、精度估计三、精度估计 最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度估计 12,.,txxx待测量的估计值待测量的估计值12,.,nlll直接测量量的测量值直接测量量的测量值

37、11221111nnnnitiitiitittitiiiiia a xa ax.a a xa l 211222221111nnnniiiiiittiiiiiia a xa ax.a a xa l 111122111111nnnniiiiiittiiiiiia a xa ax.a a xa l 三、精度估计三、精度估计 最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度估计 12,.,txxx待测量的估计值的精度。待测量的估计值的精度。12,.,nlll直接测量量的测量精度直接测量量的测量精度问题：已知问题：已知求求解决问题的思路：解决问题的思路：想办法用想办法用12,.,nlll分别表示分别表示12

38、,.,txxx然后找出待测量估计值的精度与直接测量量的测然后找出待测量估计值的精度与直接测量量的测量精度的关系量精度的关系解决问题的办法：解决问题的办法：不定乘数法。不定乘数法。三、精度估计三、精度估计 最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度估计 111122111111nnnntititititititttitiiiiida a xda ax.da a xda l 12211122221221221111nnnniiiiiittiiiiiida a xda ax.da a xda l 11111111221111111111nnnniiiiiittiiiiiida a xda ax.d

39、a a xda l 11121,.,tddd设有不定乘数设有不定乘数为求出用为求出用12,.,nlll表示表示的关系式，用不定乘数的关系式，用不定乘数1x11121,.,tddd分别乘以正规方程的各式，可以得到：分别乘以正规方程的各式，可以得到：三、精度估计三、精度估计 最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度估计 把上面的方程组的各式左右两部分相加，得：把上面的方程组的各式左右两部分相加，得：11111221111111111212221221111111221111111122111nnniiiititiiiinnniiiititiiiinnniitiittitittiiinniiii

40、tii( da ada a.da a)x( da ada a.da a)x.( da ada a.da a )xda lda l.da 1nitiil 三、精度估计三、精度估计 最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度估计 令：令：111112211111111121222121111111221111100nnniiiititiiiinnniiiititiiiinnniitiittititiiida ada a.da ada ada a.da ada ada a.da a 三、精度估计三、精度估计 最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度估计 则：则：111112211111111

41、121 211212 122 2211122111112121111121122212211nnniiiitit iiiinnnntttntnttttxda lda l.da ld ( a la l.al )d( a la l.al ).d ( a la l.al )( d ad a.d a)l( d ad a.d a)l.( d 11221nntntnad a.d a)l 三、精度估计三、精度估计 最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度估计 令：令：11111212111111211222121211112211ttttnntntnd ad a.d ahd ad a.d ahd ad

42、a.d ah 111 112 21n nxh lh l.h l 则：则：222222211111221222211121211xnnnhh.h( hh.h)d 三、精度估计三、精度估计 最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度估计 211222221111nnnntititititititttitiiiiida a xda ax.da a xda l 22211222222222221111nnnniiiiiittiiiiiida a xda ax.da a xda l 21111211222112111111nnnniiiiiittiiiiiida a xda ax.da a xda l

43、 21222,.,tddd设有不定乘数设有不定乘数为求出用为求出用12,.,nlll表示表示的关系式，用不定乘数的关系式，用不定乘数2x21222,.,tddd分别乘以正规方程的各式，可以得到：分别乘以正规方程的各式，可以得到：三、精度估计三、精度估计 最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度估计 把上面的方程组的各式左右两部分相加，得：把上面的方程组的各式左右两部分相加，得：21112221211111211222222221112112222111211222211nnniiiititiiiinnniiiititiiiinnniitiittitittiiinniiiitii( da a

44、da a.da a)x( da ada a.da a)x.( da ada a.da a )xda lda l.da 1nitiil 三、精度估计三、精度估计 最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度估计 令：令：211122212111121122222221112112222111010nnniiiititiiiinnniiiititiiiinnniitiittititiiida ada a.da ada ada a.da ada ada a.da a 三、精度估计三、精度估计 最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度估计 则：则：nnniiiitit iiiinnnntttntn

45、ttttxda lda l.da ld( a la l.al )d( a la l.al ).d( a la l.al )( d ad a.d a)l( d ad a.d a)l.( d 221122221112111 121 212212 122 2221122211122122112121222222221nntntnad a.d a)l 12222三、精度估计三、精度估计 最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度估计 令：令：ttttnntntnd ad a.d ahd ad a.d ahd ad a.d ah 21112212212121212222222221122222 n n

46、xh lh l.h l 221 122 22则：则：222222222112222222222212222xnnnhh.h( hh.hd.) 三、精度估计三、精度估计 最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度估计 以此类推以此类推, ,可以得到：可以得到：则：则：221112222222xxxtttddd 22234xxxt,., 111222xxxtttddd 三、精度估计三、精度估计 三、精度估计三、精度估计 ttttttTdddddddddPAA2122221112111)(EADA,dddddddddDTtt2t1tt22221t 11211tt2t1tt22221t 112111

47、TdddddddddD)AA(三、精度估计三、精度估计 最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度估计 已知正规方程为：已知正规方程为：1212617012006 031705650340201 3xx.xx. 例例 5-4 5-4 求例求例 5-15-1中铜棒长度上和线膨胀系数估计量的中铜棒长度上和线膨胀系数估计量的精度。精度。测量数据的标准差为：测量数据的标准差为：0.051mm 1112111112617011 1317056500ddd.dd 2122222122617000 001217056501ddd.dd 三、精度估计三、精度估计 最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度

48、估计 61701705650TCAAA AAA 110120125130140145A 111 13d. 220 0012d. 11 130 0340 0340 0012T.D( A A). 三、精度估计三、精度估计 最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度估计 1112220 051 1 130 0540 051 0 00120 0018xxd.mm.mmd.mm / C.mm / C 1020zzzzzxyzxzy 010 054Yx.mm 7200 00189101999 97x.mm / CCy.mm 三、精度估计三、精度估计 最小二乘法处理的步骤：最小二乘法处理的步骤：分析、写出

49、函数关系式分析、写出函数关系式列出误差方程：残余误差列出误差方程：残余误差= =测量值测量值- -估计值估计值 写出系数矩阵和测量值矩阵写出系数矩阵和测量值矩阵求出正规方程，求解方程，得到待测量的估计值求出正规方程，求解方程，得到待测量的估计值根据待测量的估计值，计算测量数据的估计标准差根据待测量的估计值，计算测量数据的估计标准差用不定乘数法进行待测量估计值的精度估计用不定乘数法进行待测量估计值的精度估计四、组合测量的最小二乘法处理四、组合测量的最小二乘法处理 在精密测试工作中，组合测量占有十分重要的地位。在精密测试工作中，组合测量占有十分重要的地位。例如，作为标准量的多面棱体、度盘、砝码、电

50、容器以及例如，作为标准量的多面棱体、度盘、砝码、电容器以及其它标淮器的检定等，为了减小随机误差的影响，提高测其它标淮器的检定等，为了减小随机误差的影响，提高测量精度，可采用组合测量的方法。量精度，可采用组合测量的方法。 组合测量是通过直接测量待测参数的各种组合量组合测量是通过直接测量待测参数的各种组合量( (一一般是等精度测量般是等精度测量) )，然后对这些测量数据进行处理，从而，然后对这些测量数据进行处理，从而求得待测参数的估计量，并给出其精度估计。求得待测参数的估计量，并给出其精度估计。 通常组合测量数据是用最小二乘法进行处理，它是最通常组合测量数据是用最小二乘法进行处理，它是最小二乘法在