连续性定理可微性定理可积性定理例题ppt课件.ppt

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1、 连续性定理连续性定理 可微性定理可微性定理 可积性定理可积性定理 例题例题,),(dcbaRyxf 是矩形域是矩形域设设上的连续函数上的连续函数, 则积分则积分 dcyyxfd),(确定了一个定义在确定了一个定义在a, b上的函数上的函数, 记作记作,d),()(baxyyxfxIdc x 称为参变量称为参变量, 上式称为含参变量的积分上式称为含参变量的积分. 一般地，设一般地，设 f (x, y ) 为区域为区域),()(| ),(bxaxdyxcyxG 上的二元函数上的二元函数, c ( x ), d ( x ) 在在 a, b 连续，定义连续，定义含参量的积分含参量的积分,d),()(

2、)()(baxyyxfxFxdxc xOy)(xdy )(xcy G下面讨论含参量积分的连续性、下面讨论含参量积分的连续性、可微性和可积性可微性和可积性.定理定理19.1 (连续性连续性) ),(yxf上连续上连续, 则函数则函数在在a, b上连续上连续.若若 ,dcbaR 在矩形区域在矩形区域 ,d),()(baxyyxfxIdc 分析分析对任何对任何 x a, b, 要证：要证：连续性定理连续性定理)()(lim0 xIxxIx , 0 ,0 ,时时当当 x就有就有 )()(xIxxI即即(积分号下取极限积分号下取极限)()(xIxxI dcyyxfyxxfd),(),(证证设设 x, x

3、+x a, b,),(yxf在闭区域在闭区域 R 上连续上连续, 所以一致连续所以一致连续,由于由于即即, 0 ,0 ,),( , ),(2211Ryxyx 只要只要 2121,yyxx就有就有 ),(),(2211yxfyxf, 0 ,0 ,时时当当 x就有就有 )(dcdydc 这说明这说明.,)(上连续在baxI所以，所以，)()(xIxxI dcyyxfyxxfd| ),(),(|同理可证同理可证, 上连上连在矩形域在矩形域若若,),(dcbaRyxf 续续, baxyxfyJd),()(则含参变量的积分则含参变量的积分.,上连续上连续也在也在dc定理定理19.1 表明表明,即在定理的

4、条件下，极限运算与积分运算的顺序即在定理的条件下，极限运算与积分运算的顺序有有于是对任意于是对任意, ,0bax dcxxyyxfd),(lim0 dcyyxfd),(0 )(lim0 xIxx)(0 xI dcxxyyxfd),(lim0是可交换的，或说可在积分号下取极限是可交换的，或说可在积分号下取极限 .),(yxf若若 上连续上连续, 则则,dcbaR 在矩形区域在矩形区域 在在a, b上连续上连续.,d),()(baxyyxfxIdc 定理定理19.2（连续性）（连续性） 如果函数如果函数 在区域在区域),(yxf上连续，又函数上连续，又函数 与与 在区间在区间 上连续，上连续，)(

5、xc)(xd,ba则函数则函数),()(| ),(bxaxdyxcyxG ,d),()()()(baxyyxfxFxdxc 在在 a, b 上连续上连续. .证证对积分用换元积分法，令对积分用换元积分法，令),()()(xcxdtxcy 于是于是dtxcxddy)()( 从而从而 )()(d),()(xdxcyyxfxF 10)()()(,(xcxdtxcxftxcxdd)()( )()()()()(,(xcxdxcxdtxcxf 因为因为在矩形在矩形 a, b 0, 1 上连续，由定理上连续，由定理 19.1得得 )()(d),()(xdxcyyxfxF在在 a, b 上连续上连续 1220

6、1dlimxx例例1求求解解记记 1221d)(xxI因为因为2211,1, x都是都是x, 的连续函数的连续函数所以所以)( I在在0 连续，从而连续，从而 )0()(lim0II 1021dxx 10|arctanx4 定理定理19.3 (可微性可微性),(),(yxfxyxf 及其偏导数及其偏导数若若都在都在,上连续上连续矩形域矩形域dcbaR dcyyxfxId),()(则则且且上连续可微上连续可微在在,ba dcyyxfxxId),(dd)( dcyyxfxd),(可微性定理可微性定理（积分号下求导数（积分号下求导数)分析分析: dcxyyxfxxxIxxId),()()(lim0要

7、证：要证：即即, 0, 0 使得当使得当 | x时，有时，有 |d),()()(|dcyyxfxxxIxxI对任意的对任意的,baxxx dcyxyxfyxxfxxIxxId),(),()()(由拉格朗日中值定理，存在由拉格朗日中值定理，存在)1 , 0( 使得使得xyxxfyxfyxxfx ),(),(),( 证证: 所以所以 dcyxyxfyxxfxxIxxId),(),()()( dcxyyxxfd),( 因此因此|d),()()(| dcxyyxfxxIxxI|d),(),(| dcxxyyxfyxxf dcxxyyxfyxxfd| ),(),(| ,),(上连续上连续在在由由dcba

8、yxfx 从而一致连续，即从而一致连续，即, 0, 0 只要只要 | x，有，有 | ),(),(|yxfyxxfxx因此因此|d),()()(| dcxyyxfxxIxxI dcxxyyxfyxxfd| ),(),(| )(dcdydc 故故 I ( x ) 在在 x 可导，且可导，且 dcxyyxfxId),()(由由 x 的任意性，及定理的任意性，及定理 19.1知知I ( x ) 在在 a, b有连续的导函数有连续的导函数. 在定理的条件下在定理的条件下,求导和求积分可交换次序求导和求积分可交换次序,也说可在积分号下求导数也说可在积分号下求导数例例2.d1)1ln(102xxxI 求求

9、解解: 考虑含参变量考虑含参变量 t 的积分所确定的函数的积分所确定的函数.d1)1ln()(102xxtxtI 显然显然, txxt及其对及其对21)1ln( ,)1(, 0)0(III 于是由定理于是由定理19.3xxtxxtId)1)(1()(102 xxttxtxxtd1111121022 ,1, 01, 0)1)(1(2上连续上连续在在的偏导数的偏导数 xtxx112t 211t )0()1(III ttId)(10 01arctan2ln21t 012)1ln(8t tttd1)1ln(102 I 2ln4 故故2ln8 I因此得因此得 xxttxtxxtd1111121022 )

10、1ln(212xxtarctan 10)1ln(xt 2ln21 t4 )1ln(t ttttd)1ln(42ln2111210 定理定理19.4（可微性可微性）),(),(yxfyxfx,qpbaR 如果函数如果函数在矩形在矩形上连续，上连续， ,)(),(内的可微函数内的可微函数上其值含于上其值含于为定义在为定义在qpbaxdxc则函数则函数 )()(d),()(xdxcyyxfxF在在 a, b 上可微，且上可微，且 )()(d),()(xdxcxyyxfxF)()(,()()(,(xcxcxfxdxdxf 证证: 把把 F ( x )看作复合函数：看作复合函数： dcyyxfdcxHx

11、Fd),(),()(),(xcc )(xdd 由复合函数求导法则及变上限定积分的求导法则，有由复合函数求导法则及变上限定积分的求导法则，有 )(ddxFx )()(d),(xdxcxyyxf xxxHdd xccHddxddHdd )()(,(xdxdxf )(,(xcxf )(xc例例.).(,dsin)(2xyyxyxxx 求求设设解解: )(x yyxxxdcos2 xxx2sin23 1sin2 xx2sinxxxyx xx3sin2 xx2sin xxx23sin2sin3 例例.,0)(的某邻域内连续的某邻域内连续在在设设 xxf验证当验证当 | x | 充分小时充分小时, 函数函

12、数 xnttftxnx01d)()(! )1(1)( 的的 n 阶导数存在阶导数存在, 且且. )()()(xfxn 证证: 令令 , )()(),(1tftxtxFn ),(),(,txFtxFx及及显然显然在原点的某个闭矩形邻域内连续在原点的某个闭矩形邻域内连续, 由定理由定理19.4 可得可得 xnttftxnnx02d)()(1(! )1(1)( )()(! )1(11xfxxnn xnttftxn02d)()(! )2(1 xnttftxnx02d)()(! )2(1)( 即即同理同理,d)()(! )3(1)(03 xnttftxnx xnttfx0)1(d)()( )()()(x

13、fxn 当当 x = 0 时，有时，有0)0()0()0()1( n 定理定理19.5 (可积性可积性) ),(yxf上连续上连续, 则函数则函数在在a, b上可积上可积.若若 ,dcbaR 在矩形区域在矩形区域 ,d),()(baxyyxfxIdc ,d),()(dcyxyxfyJba 在在c, d上可积上可积.可积性定理可积性定理 dcbabadcbayyxfxxyyxfxxId),(ddd),(d)(记记 badcdcbadcxyxfyyxyxfyyJd),(ddd),(d)(统称为累次积分或二次积分统称为累次积分或二次积分.问：累次积分与积分顺序有关吗？即是否有问：累次积分与积分顺序有

14、关吗？即是否有 badcdcbaxyxfyyyxfxd),(dd),(d定理定理19.6 ),(yxf上连续上连续, 则则若若 ,dcbaR 在矩形区域在矩形区域 badcdcbaxyxfyyyxfxd),(dd),(d证证 记记 dcuayyxfxuId),(d)(1 uadcxyxfyuId),(d)(2其中其中 ,bau （积分交换顺序）（积分交换顺序） uaxyxfyuHd),(),( uaxxId)( dcyyuHd),(于是于是 )(d)(dd)(1uIxxIuuIua dcyyuHuuId),(dd)(2)(d),(uIyyufdc uaxyxfyuHd),(),(,d)()(1

15、 uaxxIuI,d),()(2 dcyyuHuI所以所以 ),()(21uIuI 从而从而 kuIuI )()(21( k 为常数为常数 )当当 u = a 时，时，, 0)()(21 aIaI于是，于是，k = 0 即得即得 )()(21uIuI dcuayyxfxd),(d uadcxyxfyd),(d dcuyyuHd),(取取 u = b , 就得就得 badcdcbaxyxfyyyxfxd),(dd),(d例例4. )0(dln10baxxxxIab 求求解解:yxbayd 由被积函数的特点想到积分由被积函数的特点想到积分:abyxx lnxxxabln yxxxxxxIbayab

16、dddln1010 xxyIybadd10 yyxbayd1011 yybad11 11ln ab所以交换积分顺序所以交换积分顺序上连续上连续在在因为因为，baxy,1 , 0 内容小结内容小结),(yxf上连续上连续, 则函数则函数在在a, b上连续、可积上连续、可积.若若 ,dcbaR 在矩形区域在矩形区域 ,d),()(baxyyxfxIdc ,d),()(dcyxyxfyJba 在在c, d上连续、可积上连续、可积.且且 badcdcbaxyxfyyyxfxd),(dd),(d),(yxf上连续上连续, 则函数则函数在在a, b上可微，且上可微，且.若若 ,dcbaR 在矩形区域在矩形区域 ,d),()(baxyyxfxIdc ,d),()(dcyxyxfyJba 在在c, d上可微，且上可微，且.),(yxfx dcyyxfxd),(dd dcyyxfxd),(),(yxf上连续上连续, 则函数则函数若若 ,dcbaR 在矩形区域在矩形区域 ),(yxfy babaxyxfyxyxfyd),(d),(dd