2022年随机过程习题解答第,章借鉴 .pdf
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1、习题 1 1.令 X(t) 为二阶矩存在的随机过程,试证它是宽平稳的当且仅当EX(s) 与 EX(s)X(s+t)都不依赖s. 证明:充分性:若X(t) 为宽平稳的,则由定义知EX(t)=, EX(s)X(s+t)=r(t) 均与 s 无关必要性:若EX(s) 与 EX(s)X(s+t)都与 s 无关,说明EX(t)= 常数, EX(s)X(s+t)为 t 的函数2.记1U, ,nU为在( , )中均匀分布的独立随机变量,对0 t , x 1 定义 I( t , x)=,txtx01并记 X(t)=),(11nkkUtIn,10t,这是1U, ,nU的经验分布函数。试求过程X(t )的均值和协
2、方差函数。解: EIkUt,= PtUk= t , D),(kUtI= EIkUt,2),(kUtEI = t2t= t(1 t) jk, cov),(),(jkUsIUtI,=EI(t,kU)I(s,jU) EI(t, kU)EI(s, jU) = stst=0 k = j , cov),(),(jkUsIUtI,= EI(t,kU)I(s,jU) st = min(t,s)st EX(t)=),(11nkkUtEIn=nktn11= t cov)(),(sXtX=),(),(cov1),(),(cov1212jkjknkkkUsIUtInUsIUtIn =nksttsn12),min(1
3、=sttsn),min(1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 18 页 - - - - - - - - - 3.令1Z,2Z为独立的正态分布随机变量,均值为0,方差为2,为实数,定义过程tSinZtCosZtX21.试求tX的均值函数和协方差函数, 它是宽平稳的吗?Solution:221, 0,NZZ. 02221EZEZ. 221ZDZD,0,21ZZCov,0tEX,sSinZsCosZtSinZtCosZEsXtXCov2121,t C o sS i
4、nZZst S i nC o sZZst S i nS i nZt C o sC o sZE1221222102st S i nS i nst C o sC o s=stCos2tX为宽平稳过程 . 4.Poisson过程0,ttX满足( i)00X;(ii)对st,sXtX服从均值为st的 Poisson分布; (iii)过程是有独立增量的 . 试求其均值函数和协方差函数. 它是宽平稳的吗?Solution tXtXEtEX0,ttXDstsXtEXsXtXCov,tssEXsXsXtXE22tssEXsXD220tsss22tss 1显然tX不是宽平稳的 . 5. tX为第 4 题中的 P
5、oisson过程,记tXtXty1,试求过程ty的均值函数和协方差函数,并研究其平稳性. Solution 1tEy, tyD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 18 页 - - - - - - - - - Cov(y(t),y(s)=Ey(t)y(s)-Ey(t)y(s) =E(x(t+1)-x(t)(x(s+1)-x(s)-2(1) 若 s+1t, 即 st-1 ,则 Cov(y(t),y(s)=0-2=-2(2) 若 tst-1, 则Cov(y(t),y
6、(s)=Ex(t+1)-x(s+1)+x(s+1)-x(t)x(s+1)-x(t)+x(t)-x(s) -2=E(x(t+1)-x(s+1)(x(s+1)-x(t)+E(x(t+1)-x(s+1)(x(t)-x(s) +E(x(s+1)-x(t)+E(x(s+1)-x(t)(x(t)-x(s)- 2=(s+1-t)= -(t-s)- 2(3) 若 tst+1 Cov(y(t),y(s)=0-2=-2由此知,故方差只与t-s 有关,与t,s 无关故此过程为宽平稳的。6,令 z 1和 z2是独立同分布的随机变量,P(z1=-1)=P(z2=1)=1/2 记 x(t)=z1cost+z2sint,
7、tR,试证: x(t)是宽平稳的,它是严平稳吗?证明: Ez1=0, Ez12=(-1)21/2+121/2=1/2+1/2=1=D(z1) Cov(z1,z2)=0 Ext=0 cov(xt,xs)=E(xt,xs)=E(z12costcoss+z22sintsins+z1z2costsins+z1z2sintcoss)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 18 页 - - - - - - - - - coscossinsin00cos()tststs故( )
8、x t为宽平稳的。而显然, x(t) 与 x(t+h)的分布不相等,故不是严平稳的。7、 试证:若01,.ZZ为独立同分布的随机变量,定义01.nnXZZZ, 则nx, n0是独立增量过程。Proof: 1.n mnnn mXXZZ与01,.,nZZZ相互独立,故nmnXX与nX相互独立。8、若12,.XX为独立随机变量,还要添加什么条件才能确保它是严平稳的随机过程?Solution:添加12,.XX,同分布的条件。9. 令 X和 Y是从单位圆内的均匀分布中随机选取一点所得的横坐标和纵坐标,试计算条件概率: P(2234XYXY)Solution: 1( ,)2xyP XYf x y dxdy
9、( )x tcossinttcossinttcossinttcossinttP 14141414()x thcos( ()sin()ththcos( ()sin()ththcos()sin()ththP 141414()x thcos()sin()ththP 14名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 18 页 - - - - - - - - - P(2234XYXY)2291435243(,)1 1142()28P XYXYrddrP XY10. 粒子依参数为
10、的 Poisson 分布进入计数器,两粒子到达的时间间隔T1,T2,是独立的参数为 的指数分布随机变量。记S是 0,1时段中的粒子总数,时间区间I 0,1,其长度记为 |I|.试证明 P (T1I,S=1 ) =P (T1I,T1+T21 ) , 并由此计算P(T1I|S=1)=|I|. Proof 。T1I,S=1 表明在 I 内来到了一个粒子,在0,1-I内再也没有来到粒子,也就是说第二个粒子的到来在0,1之后,即 T1+T21.(T1+T2 为第二个粒子来到的时间) 。从而PT1I,S=1=PT1 I,T1+T21 P(T1I|S=1 )= P(T1I,S=1 )/P(S=1) = P(
11、T1I,T1+T21)/P(S=1) SP() =|I|e-|I|*( (1-|I|)0*e- (1-|I|)/ e- =|I| 11.X,Y 为两独立随机变量且分布相同,证明E(x|x+y=z)=E(y|x+y=z).并试求基于x+y=z 的x 的最佳预报,并求出预报误差 E(x- (x+y) )2 Proof :因 x 与 y 独立,且分布相同,则x|x+y=z =d y|x+y=z 故 E(x|x+y=z)=E(y|x+y=z) 而 E(x+y|x+y=z)=z,故 E(x|x+y=z ) =z/2 用任意的 (z)来对 x 做预报,预报误差为: E(x- ( z) )2=E(x- E(
12、x|x+y=z)+ E(x|x+y=z) -( z))2 =E(x- E(x|x+y=z)2+E(E(x|x+y=z) -( z))2+2E(x- E(x|x+y=z) *(E(x|x+y=z) -(z)) = E(x- E(x|x+y=z)2+E(E(x|x+y=z) -(z))2E(x- E(x|x+y=z)2 取等号,当且仅当(z)= E( x|x+y=z )预报误差E(x- (x+y) )2=E(x-z/2)212、气体分子的速度V有三个垂直分量xV,yV,zV,它们的联合分布密度依名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
13、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 18 页 - - - - - - - - - Maxwell-Boltzman定律为vvvfvvvzyx321,2321TTvvv2ex p232221, 其中 k 是 Boltzman 常数, T 为绝对温度,给定分子的总动能为e. 试求分子沿x 方向的动量的绝对值的期望值。解:由于xV,yV,ZV的联合密度函数为vvvfvvvzyx321,2321TTvvv2exp2322212321TkTv2exp21.2321T. kTv2exp22.2321TkTv2exp23因此,xV,yV,ZV互相独立,且xV,yV,ZV都服从
14、正态分布N (0 ,T) .故气体分子的总动能为22221zyxVVVmEeTm23由此可得Tm3e2 (1) 而气体沿x 方向的动量的绝对值的期望值为xVmE212Tm1v1212ex pdvTv212Tm1210112112exp2expdvTvvdvTvv2122Tm121012expdvTvv名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 18 页 - - - - - - - - - 212Tm210212expvdTv212Tm由此及( 1)可得xVmE2123
15、2Te13. 若独立同分布,他们服从参数的指数分布,试证:是参数为的分布,其密度函数为:Proof.=记 Y, 则 () 由矩母函数与分布函数相互唯一决定知为 分布。14. 设为相互独立的均值为和的 Poisson 随机变量。试求的分布。并计算给定时的条件分布。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 18 页 - - - - - - - - - Solution. ,15. 若1X,2X,独立且有相同的以为参数的指数分布,N服从几何分布,即10,.,2,1n,-1
16、)n(1nNP. 试求随机和NXY1ii的分布。解:,d)!1-n(t)n|y(y01-nnteNYP)y(YP=1n)ny(NYP, =)n()n|y(1nNPNYP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 18 页 - - - - - - - - - =,-1d)!1-n(t11ny01-nnnte)(1ny1-n)!1-n(y-1eyf1n1-ny)!1-n(y-1e)0.(yy-1yyeee)( Ey16. 若1X,2X,独立同分布,21)1(iXP,N 与
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